En este caso se requiere encontrar el lado y los dos ángulos faltantes, para esto nos apoyamos en los teoremas del seno y del coseno.

 

representación gráfica de resolución de triángulos

 

Supongamos que conocemos los lados {a, b} y el ángulo C entre ellos. Para encontrar los elementos restantes realizamos lo siguiente:

 

1 Aplicamos el teorema del coseno para encontrar el tercer lado {c}

 

{c=\sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos \, C}}

 

2 Aplicamos el teorema del seno para encontrar uno de los dos ángulos faltantes

 

{\displaystyle \frac{sen \, A}{a} = \frac{sen \, C}{c}}

 

Despejamos {sen \, A} y buscamos los valores de {A} que satisfacen la igualdad. Observa que hay dos valores para {A}, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo cuadrante

 

{Sen \, A = \displaystyle \frac{a \cdot sen \, C}{c}}

 

3 Para encontrar el ángulo faltante, aplicamos el resultado de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es {180^o} y despejamos el ángulo que nos interesa. Debes realizarlo para cada uno de los valores de {A}

 

{B = 180^o - A - C}

 

Para determinar cual de las parejas de ángulos es correcta, debes verificar cual de ellas satisface el teorema del seno

 

Ejemplo 1

 

De un triángulo sabemos que: {a = 10 \, m, b = 7 \, m} y {C = 30^o}. Calcula los restantes elementos.

 

ejemplo de triangulo oblicuangulo

 

Para encontrar los elementos solicitados, aplicamos los teoremas del seno y coseno como se muestra a continuación

 

1 Aplicamos el teorema del coseno para encontrar el tercer lado {c}

 

{\begin{array}{lcl} c & = & \sqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot cos \, 30^o} \\\\  & = & \sqrt{27.76} \\\\ & = & 5.27 \,  m\end{array}}

 

2 Aplicamos el teorema del seno para encontrar uno de los dos ángulos faltantes

 

{\displaystyle \frac{sen \, A}{10} = \frac{sen \, 30}{5.27}}

 

Despejamos {sen \, A} y encontramos el valor de {A}

 

{sen \, A = \displaystyle \frac{10 \cdot sen \, 30}{5.27} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ A = \left\{\begin{array}{l}71^o \,  34' \\ 108^o \, 26' \end{array} \right.}

 

3 Encontramos el ángulo faltante. Observa que se obtiene un valor para cada uno de los valores de {A}

 

Si {A = 71^o \, 34'}, entonces {B = 180^o - 71^o \, 34' - 30^o = 78^o\, 26'}

 

Si {A = 108^o \, 26'}, entonces {B = 180^o - 108^o \, 26' - 30^o = 41^o \, 34'}

 

Determinamos cual de las parejas de ángulos es correcta

 

Si {A = 71^o \, 34', \ B = 78^o \, 26' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, A}{a} \neq \frac{sen \, B}{b}}

 

Si {A = 108^o \, 26', \ B = 41^o \, 34' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, A}{a} = \frac{sen \, B}{b}}

 

Así, la pareja de ángulos buscada es {A = 108^o \, 26', \ B = 41^o \, 34'}

 

 

De un triángulo sabemos que: {a = 10 \, m, c = 20 \, m} y {B = 70^o}. Calcula los restantes elementos.

Ejercicio triangulo oblicuanguo 2

1 Aplicamos el teorema del coseno para encontrar el tercer lado {a}

 

{\begin{array}{lcl} b & = & \sqrt{10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot cos \, 70^o} \\\\ & = & \sqrt{363.19} \\\\ & = & 19.06 \, m \end{array}}

 

2 Aplicamos el teorema del seno para encontrar uno de los dos ángulos faltantes

 

{\displaystyle \frac{sen \, C}{20} = \frac{sen \, 70^o}{19.06}}

 

Despejamos {sen \, C} y encontramos el valor de {C}

 

{sen \, C = \displaystyle \frac{20 \cdot sen \, 70^o}{19.06} = 0.986 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ C = \left\{\begin{array}{l} 80^o \, 24' \\ 99^o \, 36' \end{array} \right.}

 

3 Encontramos el ángulo faltante para cada uno de los valores de {C}

 

Si {C = 80^o \, 24'}, entonces {A = 180^o - 80^o \, 24' - 70^o = 29^o \, 36'}

 

Si {C = 99^o \, 36'}, entonces {A = 180^o - 99^o \, 36' - 70^o = 10^o \, 24'}

 

Determinamos cual de las parejas de ángulos es correcta

 

Si {C = 80^o \, 24', \ A = 29^o \, 36' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, C}{c} = \frac{sen \, A}{a}}

 

Si {C = 99^o \, 36', \ A = 10^o \, 24' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, C}{c} \neq \frac{sen \, A}{a}}

 

Así, la pareja de ángulos buscada es {C = 80^o \, 24', \ A = 29^o \, 36'}

 

Ejemplo 3

 

De un triángulo sabemos que: {b = 16 \, m, c = 20 \, m} y {A = 50^o}. Calcula los restantes elementos.

ejemplo de triangulo oblicuangulo 1

 

1 Aplicamos el teorema del coseno para encontrar el tercer lado {a}

 

{\begin{array}{lcl} a & = & \sqrt{16^2 + 20^2 - 2 \cdot 16 \cdot 20 \cdot cos \, 50^o} \\\\ & = & \sqrt{244.62} \\\\ & = & 15.64 \, m \end{array}}

 

2 Aplicamos el teorema del seno para encontrar uno de los dos ángulos faltantes

 

{\displaystyle \frac{sen \, C}{20} = \frac{sen \, 50^o}{15.64}}

 

Despejamos {sen \, C} y encontramos el valor de {C}

 

{sen \, C = \displaystyle \frac{20 \cdot sen \, 50^o}{15.64} = 0.98 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ C = \left\{\begin{array}{l}78^o \, 31' \\ 101^o \, 29' \end{array} \right.}

 

3 Encontramos el ángulo faltante para cada uno de los valores de {C}

 

Si {C = 78^o \, 31'}, entonces {B = 180^o - 78^o \, 31' - 50^o = 51^o \, 29'}

 

Si {C = 101^o \, 29'}, entonces {B = 180^o - 101^o \, 29' - 50^o = 28^o \, 31'}

 

Determinamos cual de las parejas de ángulos es correcta

 

Si {C = 78^o \, 31', \ B = 51^o \, 29' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, C}{c} = \frac{sen \, B}{b}}

 

Si {C = 101^o \, 29', \ B = 28^o \, 31' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, C}{c} \neq \frac{sen \, B}{b}}

 

Así, la pareja de ángulos buscada es {C = 78^o \, 31', \ B = 51^o \, 29'}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗