Podemos describir el Teorema del coseno en palabras de la siguiente forma. En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Lo que se traduce en la siguientes formulas para cada uno de los lados

    $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(A),$$

    $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B),$$

    $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C),$$

donde a,b,c son los lados del triángulo, A es el ángulo opuesto al lado a, B es el ángulo opuesto al lado b y C es el ángulo opuesto al lado c.

En lo siguiente presentaremos algunos ejemplos de cómo aplicar el Teorema del coseno.

Ejemplos

1

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48^{\circ}15'. Calcular los lados.

Primero consideremos la siguiente imagen sobre el problema,

Lados de un paralelogramo

Notemos que el ángulo 48^{\circ}15' es opuesto al lado AD. Y podemos considerar el el triángulo AOD. De la hipótesis sabemos que los la dos AO y OD miden 5cm y 6cm respectivamente. Entonces del Teorema del coseno podemos concluir que

    $$AD=\sqrt{AO^2+OD^2-2(AO)(OD)\cos(48^{\circ}15')}$$

    $$=\sqrt{5^2+6^2-2(5)(6)\cos(48^{\circ}15')}=4.5877cm$$

ángulos opuestos

Dado que el ángulo 180^{\circ}-48^{\circ}15'=131^{\circ}45' es opuesto al lado BA, entonces le podemos aplicar el Teorema del coseno al triángulo BOA. De nuevo de las hipótesis, sabemos que los lados BO, AO miden 6 y 5 respectivamente. Por lo tanto,

    $$BA=\sqrt{BO^2+OA^2-2(AO)(BO)\cos(131^{\circ}45')}$$

    $$=\sqrt{6^2+5^2-2(5)(6)\cos(48^{\circ}15')}=10.047cm.$$

Finalmente podemos decir que los lados miden 10.047cm y 4.5877cm.

 

2

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

La siguiente imagen describe gráficamente el problema,

cuerdas de una circunferencia

De aplicar el Teorema del coseno al triángulo AOB tenemos que

    $$36^{2}=25^{2}+25^{2}-2(25)(25)\cos(O)$$

    $$\cos(O)=\cfrac{25^{2}+25^{2}-36^{2}}{2(25)(25)}=92^{\circ}6'32''.$$

Ahora notemos que en el cuadrilátero AOBT los ángulo en los vértices A y B son rectos. Por lo tanto podemos concluir que los ángulos en O y T cumplen que

    $$O+T=180^{\circ}.$$

Finalmente el ángulo que resulta de las tangentes a la circunferencia es

    $$T=180^{\circ}-92^{\circ}6'32''=87^{\circ}53'28''.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗