Teorema del coseno

Podemos describir el Teorema del coseno en palabras de la siguiente forma. En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Lo que se traduce en la siguientes formulas para cada uno de los lados

donde son los lados del triángulo, es el ángulo opuesto al lado , es el ángulo opuesto al lado y es el ángulo opuesto al lado .

En lo siguiente presentaremos algunos ejemplos de cómo aplicar el Teorema del coseno.

Ejemplos

1

Las diagonales de un paralelogramo miden y , y el ángulo que forman es de . Calcular los lados.

Primero consideremos la siguiente imagen sobre el problema,

Notemos que el ángulo es opuesto al lado . Y podemos considerar el el triángulo . De la hipótesis sabemos que los la dos y miden y respectivamente. Entonces del Teorema del coseno podemos concluir que

Dado que el ángulo es opuesto al lado , entonces le podemos aplicar el Teorema del coseno al triángulo . De nuevo de las hipótesis, sabemos que los lados , miden y respectivamente. Por lo tanto,

Finalmente podemos decir que los lados miden y

2

El radio de una circunferencia mide . Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud .

La siguiente imagen describe gráficamente el problema,

De aplicar el Teorema del coseno al triángulo tenemos que

Ahora notemos que en el cuadrilátero los ángulo en los vértices y son rectos. Por lo tanto podemos concluir que los ángulos en y cumplen que

Finalmente el ángulo que resulta de las tangentes a la circunferencia es