El teorema o ley del seno es una expresión que relaciona los lados y ángulos de un triángulo, no necesariamente rectángulo. Esta ley es útil para cuando necesitamos calcular el valor de un lado o ángulo solo conociendo el valor de uno de sus otros lados y su ángulo opuesto. De la siguiente figura podemos deducir que

Representación grafica del seno

En un triángulo cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto, es decir,

    $$\cfrac{a}{{\rm sen}(A)}=\cfrac{b}{{\rm sen}(B)}=\cfrac{c}{{\rm sen}(C)}=2R.$$

Ejercicios

1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45^{\circ} y C = 105^{\circ}. Calcula los restantes elementos.

Seno y triángulo escaleno

Debemos calcular el ángulo A, el cual se obtiene restando a 180^{\circ} los valores de los dos ángulos conocidos.

    $$A=180^{\circ}-45^{\circ}-105^{\circ}=30^{\circ}$$

Para hallar el valor de los lados restantes utilizaremos el Teorema del seno, pues ya sabemos el valor del ángulo A.

    $$\cfrac{6}{{\rm sen}(30^{\circ})}=\cfrac{b}{{\rm sen}(45^{\circ})},\quad b=\cfrac{6{\rm sen}(45^{\circ})}{{\rm sen}(30^{\circ})}=6\sqrt{2}m.$$

    $$\cfrac{6}{{\rm sen}(30^{\circ})}=\cfrac{c}{{\rm sen}(105^{\circ})},\quad c=\cfrac{6{\rm sen}(105^{\circ})}{{\rm sen}(30^{\circ})}=11.6m.$$

2 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45^{\circ}, B = 72^{\circ} y a=20m.

Seno y circunferencia

Recordemos que el Teorema del seno nos dice que cada lado del triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. Dado que el triángulo esta circunscrito sabemos cual es el valor de dicha proporción, es decir,

    $$\cfrac{a}{{\rm sen}(A)}=2R.$$

Finalmente reemplazando los valores y despejando el radio de la anterior ecuación tenemos que.

    $$R=\cfrac{20}{2{\rm sen}(45^{\circ})}=14.14m.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗