Ejercicios propuestos

1 Expresa el \operatorname{sin} 3 x, en función de \operatorname{sin} x.

  • Primero, recordemos que \sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}, de tal manera que podemos reescribir, la expresión inicial de la siguiente forma:

    \begin{equation*}\sin 3x=\sin{(2x + x)} = \sin{2x}\cos{x} + \cos{2x}\sin{x}\end{equation*}

  • Luego, recordemos que entre las razones trigonométricas de ángulo doble hay una que satisface que \sin{(2 \alpha)} = 2 \sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)} y otra que satisface que \cos{(2 \alpha)} = \cos^{2}{(\alpha)} - \sin^{2}{(\alpha)}, de tal manera que podemos reescribir la relación de la siguiente manera:

    \begin{equation*}=(2\sin{x}\cos{x})\cos x + (\cos^2{x}-\sin^2{x})\sin{x}\end{equation*}

  • Desarrollamos los productos:

    \begin{equation*}=2\sin{x}\cos^2{x} + \cos^2{x}\sin{x}-\sin^3{x}\end{equation*}

    \begin{equation*}=3\sin{x}\cos^2{x}-\sin^3{x}\end{equation*}

.

  • Utilizando que \cos^2{x}=1-\sin^2{x}, finalmente obtenemos la expresión:

    \begin{equation*}=3\sin{x}(1-\sin^2{x})-\sin^3{x}\end{equation*}

    \begin{equation*}=3\sin{x}-4\sin^3{x}\end{equation*}

2 Calcula el \sin {x},  \cos {x} y \tan {x}; en función de \tan{\frac{x}{2}}

1 Para calcular el \sin {x} en función de \tan{\frac{x}{2}} usemos que \sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}, de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \operatorname{sin} x=\sin{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=2 \operatorname{sin} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \end{equation*}

  • Luego, utilicemos que \cos^2{x}+\sin^2{x}=1, dividamos todo entre 1 y desarrollemos:

    \begin{equation*} =\frac{2 \operatorname{sin} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{2 \operatorname{sin} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}=\frac{2 \operatorname{tan} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tan}^{2} \frac{x}{2}} \end{equation*}

2 Para calcular el \cos {x} en función de \tan{\frac{x}{2}} usemos que  \cos{(2 \alpha)} = \cos^{2}{(\alpha)} - \sin^{2}{(\alpha)}, de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \cos x=\cos{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2} \end{equation*}

  • Luego, utilicemos que \cos^2{x}+\sin^2{x}=1, dividamos todo entre 1 y desarrollemos:

    \begin{equation*} \frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}-\frac{\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}=\frac{1-\operatorname{tan}^{2} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tan}^{2} \frac{x}{2}} \end{equation*}

3 Para calcular el \tan {x} en función de \tan{\frac{x}{2}} usemos que \tan{(2 \alpha)} = \frac{2 \tan{(\alpha)}}{1 - \tan^{2}{(\alpha)}}, de la siguiente forma:

    \begin{equation*}\tan{(x)}=\tan{\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)} = \frac{2 \tan{\frac{x}{2}}}{1 - \tan^{2}{\frac{x}{2}}}\end{equation*}

3 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

  1. 2\cos {x}=3\tan {x}
  2. \sin {2x}\cos{x}=6\sin^3{x}
  3. 4\sin {\frac{x}{2}}+2\cos{x}=3

1 Resuelve la ecuación 2\cos {x}=3\tan {x}.

  • Para resolver, primero utilicemos que \tan {x}=\frac{\sin x}{\cos x}:

    \begin{equation*}2\cos {x}=3\frac{\sin x}{\cos x}\quad \Rightarrow 2\cos^2{x}=3\sin x\end{equation*}

  • Luego, recordemos que \cos^2{x}=1-\sin^2 {x}:

    \begin{equation*}2(1-\sin^2{x})=3\sin x\Rightarrow 2-2\sin^2{x}=3\sin x\end{equation*}

  • Escribiendo todo a la izquierda obtenemos:

    \begin{equation*}= 2-2\sin^2{x}-3\sin x=0\end{equation*}

.

  • Calculamos el \sin x:

\begin{equation*}\operatorname{sin} x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3 \pm 5}{4}\\ \Rightarrow\operatorname{sin} x=\frac{1}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}=30^{\circ}+360^{\circ}k \\ x_{2}=150^{\circ}+360^{\circ} k\end{array}\right.\begin{equation*}

  • Notemos que \operatorname{sin} x=-2 no tiene solución porque -1 \leq \operatorname{sin} x \leq 1

2 Resuelve la ecuación \sin {2x}\cos{x}=6\sin^3{x}.

  • Primero, recordemos que \displaystyle \sin{(2 \alpha)} = 2 \sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)} y sustituyamos:

    \begin{equation*} \sin{(2x)}\cos{x}= 2 \sin{x}\cos{x}\cos{x}=2 \sin{x}\cos^2{x}=6\sin^3{x}\end{equation*}

  • Reescribimos la expresión:

    \begin{equation*} 2 \sin{x}\cos^2{x}=6\sin^3{x}\quad\Rightarrow \sin x(\cos^2{x}-3\sin^2{x})=0\end{equation*}

  • Finalmente, resolvemos:

    \begin{equation*}\begin{aligned} &\operatorname{sin} x=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=0^{\circ}+360^{\circ} k \\ x=180^{\circ}+360^{\circ} k \end{array} \Rightarrow x=0^{\circ}+180^{\circ} k\right. \\ &\cos ^{2} x-3 \operatorname{sin}^{2} x=0 \quad \cos ^{2} x=3 \operatorname{sin}^{2} x \\ &\operatorname{tan}^{2} x=\frac{1}{3} \quad \operatorname{tan} x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ &\operatorname{tan} x=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=30^{\circ}+180^{\circ} k \\ &\operatorname{tan} x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=150^{\circ}+180^{\circ} k \end{aligned}\end{equation*}

3 Resuelve la ecuación 4\sin {\frac{x}{2}}+2\cos{x}=3

  • Para resolver, iniciemos usando que \displaystyle \cos{(2 \alpha)} = \cos^{2}{(\alpha)} - \sin^{2}{(\alpha)}:

    \begin{equation*}\begin{aligned}4 \operatorname{sin} \frac{x}{2}+2\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}\right)=3\end{aligned} \end{equation*}

    \begin{equation*}\begin{aligned}4 \operatorname{sin} \frac{x}{2}+2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-2 \operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}=3\end{aligned}\end{equation*}

    \begin{equation*}\begin{aligned}4 \operatorname{sin} \frac{x}{2}+2\left(1-\operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}\right)-2 \operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}=3\end{aligned}\end{equation*}

    \begin{equation*}\begin{aligned}4 \operatorname{sin}^{2} \frac{x}{2}-4 \operatorname{sin} \frac{x}{2}+1=0\end{aligned}\end{equation*}

  • Finalmente, resolvemos:

    \begin{equation*}\begin{aligned} &\left(2 \operatorname{sin} \frac{x}{2}-1\right)^{2}=0 \quad\Rightarrow 2 \operatorname{sin} \frac{x}{2}-1=0 \\ &\operatorname{sin} \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \begin{cases}\frac{x}{2}=30^{\circ}+360^{\circ} k & x=60^{\circ}+360^{\circ} k \\ \frac{x}{2}=150^{\circ}+360^{\circ} k & x=300^{\circ}+360^{\circ} k\end{cases} \end{aligned}\end{equation*}

4 Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sin} x \cdot \cos y+\cos x \cdot \operatorname{sin} y=1 \\ \operatorname{sin} x \cdot \cos y-\cos x \cdot \operatorname{sin} y=\frac{1}{2} \end{array}\right.\end{equation*}

  • Para resolver, utilicemos las siguientes dos igualdades:

    \begin{equation*} \sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}\end{equation*}

    \begin{equation*} \sin{(\alpha - \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta}\end{equation*}

  • De tal manera que podemos reescribir el sistema de la siguiente forma:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sin} (x+y)=1 \\ \operatorname{sin}(x-y)=\frac{1}{2} \end{array}\right.\end{equation}

  • Notemos que \sin {90^{\circ}}=1, que \sin {30^{\circ}}=\frac{1}{2} y \sin {150^{\circ}}=\frac{1}{2}, para finalmente resolver el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{lrl} x+y=90^{\circ} & 2 x=120^{\circ}+360^{\circ} k \\ & x=60^{\circ}+180^{\circ} k \\ x-y=30^{\circ} & y=30^{\circ}+180^{\circ} k \end{array}\end{equation*}\right.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{lrl} x+y=90^{\circ} & 2 x=240^{\circ}+360^{\circ} k \\ & x=120^{\circ}+180^{\circ} k \\ x-y=150^{\circ} & y=-30^{\circ}+180^{\circ} k \end{array}\end{equation*}\right.

5Las diagonales de un paralelogramo miden 10 \;cm y 12 \;cm, y el ángulo que forman es de 48^{\circ} 15'. Calcular uno de los lados del paralelogramo.

  • Primero, planteemos la interpretación gráfica que describe la situación:
Medida de los lados de un triángulo
  • Después, notemos que como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180^{\circ} se debe satisfacer lo siguiente:

    \begin{equation*}180^{\circ}-48^{\circ} 15'=131^{\circ}45'\end{equation*}

  • Finalmente, como conocemos dos lados del triángulo y el ángulo formado por estos dos lados, podemos calcular la longitud del segmento \overline{AB}, utilizando el teorema del coseno:

    \begin{equation*}\overline{AB}=\sqrt{5^{2}+6^{2}-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 131^{\circ}45'}=10.047 cm\end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗