Conversión de grados

 

1 Convierte los siguientes ángulos de radianes a sexagesimal

 

a 3 \text{ rad}

 

b \frac{2\pi}{5} \text{ rad}

 

c \frac{3\pi}{10} \text{ rad}

 

Recordemos que la fórmula para calcular un ángulo en radianes a grados es

 

\displaystyle \alpha = \frac{180}{\pi}r

 

donde r es el ángulo en radianes. Por lo tanto, los ángulos en grados son:

 

a 3 \text{ rad}

 

Aquí tenemos que r = 3 \text{ rad}. Por lo tanto, los grados son

 

\displaystyle \alpha = \frac{180}{\pi} \cdot 3 = \frac{540}{\pi} \approx 171.887339^{\circ}

 

Para obtener los minutos, multiplicamos la parte decimal por 60:

 

\displaystyle 0.887339^{\circ} \cdot 60 = 53.24034'

 

Para obtener los segundos, multiplicamos de nuevo la parte decimal por 60:

 

\displaystyle 0.24034' \cdot 60 = 14.4204"

 

Por lo tanto, el ángulo en sexagesimal es 171^{\circ}53'14.42"

 

b \frac{2\pi}{5} \text{ rad}

 

Al igual que en el ejercicio anterior, utilizamos la fórmula

 

\displaystyle \alpha = \frac{180}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{180 \cdot 2}{5} = 72^{\circ}

 

c \frac{3\pi}{10} \text{ rad}

 

Aquí también utilizamos la misma fórmula:

 

\displaystyle \alpha = \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{10} = \frac{180 \cdot 3}{10} = 54^{\circ}

 

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

 

a 316^{\circ}

 

b 10^{\circ}

 

c 127^{\circ}

 

La fórmula para convertir de grados a radianes es muy simpliar a la anterior

 

\displaystyle r = \frac{\pi}{180}\alpha

 

Así, los ángulos son:

 

a 316^{\circ}

 

Utilizamos la fórmula

 

\displaystyle r = \frac{\pi}{180} \cdot 316 = \frac{79\pi}{45}

 

Por lo tanto, el ángulo mide (79/45)\pi radianes.

 

b 10^{\circ}

 

Utilizamos la fórmula

 

\displaystyle r = \frac{\pi}{180} \cdot 10 = \frac{\pi}{18}

 

Por lo tanto, el ángulo mide \pi/18 radianes.

 

c 127^{\circ}

 

Utilizamos la fórmula

 

\displaystyle r = \frac{\pi}{180} \cdot 127 = \frac{127\pi}{180}

 

Que no se puede simplificar ya que 127 es primo. Por lo tanto, el ángulo mide (127/180)\pi.

 

Cálculo de razones trigonométricas a partir de una dada

 

3 Sabiendo que \cos \alpha = 1/4 y que 270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}, calcula las razones trigonométricas restantes para el ángulo \alpha.

 

En primer lugar, sabemos que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante del plano cartesiano. En este cuadrante tenemos que \cos \alpha \geq 0 pero \sin \alpha \leq 0. Por tanto,

 

\displaystyle \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

 

De aquí se sigue que

 

\displaystyle \sin \alpha = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}

 

Como ya tenemos \sin \alpha y \cos \alpha, entonces las otras identidades son más sencillas.

 

    \begin{align*} \tan \alpha & = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{15}/4}{1/4} = -\sqrt{15}\\\cot \alpha & = \frac{1}{\tan \alpha} = - \frac{1}{\sqrt{15}}\\\sec \alpha & = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{1/4} = 4\\\csc \alpha & = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{15}/4} = - \frac{4}{\sqrt{15}}\end{align*}

 

Obsevemos que tanto en la cotangente como en la cosecante se puede racionalizar el resultado. Por lo que también es correcto si tuviéramos

 

    \begin{align*} \cot \alpha & = - \frac{\sqrt{15}}{15}\\\csc \alpha & = - \frac{4\sqrt{15}}{15}\end{align*}

 

Lo cual se obtiene si multiplicamos los resultados anteriores por 1 = \sqrt{15}/\sqrt{15}, con lo que evitaríamos tener radicales en el denominador.

 

4 Sabiendo que \tan \alpha = 2 y que 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}, calcula las restantes razones trigonométricas para el ángulo \alpha.

 

El ángulo \alpha se encuentra en el 3er cuadrante del plano cartesiano. De aquí sabemos que \cos \alpha < 0 y \sin \alpha < 0.

 

Por otro lado, la tangente se relaciona con la secante con su identidad pitagórica:

 

\displaystyle \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1 = 2^2

 

De donde tenemos que

 

\displaystyle \sec^2 \alpha = 2^2 + 1 = 5

 

Como \cos \alpha < 0, entonces \sec \alpha = 1/\cos \alpha < 0. Por lo tanto,

 

\displaystyle \sec \alpha = -\sqrt{5}

 

De aquí se sigue que

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{\sec \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}

 

Notemos que \cos \alpha = -\sqrt{5}/5 también es una respuesta correcta (al racionalizar el resultado anterior).

 

Sabemos, también, que \tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha. De aquí se sigue que

 

\displaystyle \sin \alpha = \cos \alpha \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{5}}

 

Las dos identidades que faltan se calculan de forma muy sencilla:

 

\displaystyle \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}

 

y

 

\displaystyle \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{-2/\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}

 

5 Sabieno que \sec \alpha = 2 y que 0 < \alpha < \pi /2, calcula las razones trigonométricas restantes para el ángulo \alpha.

 

Notemos, en primer lugar, que el ángulo está en radianes. Además, nos encontramos en el primer cuadrante del plano cartesiano, por lo que \cos \alpha > 0 y \sin \alpha > 0.

 

Por otro lado, la secante se relaciona con \tan \alpha por medio de su identidad pitagórica:

 

\displaystyle \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1 = 2^2 - 1 = 3

 

Además, \tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha > 0 ya que \sin \alpha > 0 y \cos \alpha > 1, por lo que

 

\displaystyle \tan \alpha = \sqrt{3}

 

Asimismo,

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{\sec \alpha} = \frac{1}{2}

 

Y como tenemos que \tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha, entonces se sigue que

 

\displaystyle \sin \alpha = \cos \alpha \tan \alpha = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

 

Con esto las últimas dos identidades trigonométricas son muy sencillas de calcular:

 

\displaystyle \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}

 

y

 

\displaystyle \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}

 

Cálculo de razones trigonométricas a partir del ángulo

 

6 Calcula el seno, coseno y tangente para los siguientes ángulos:

 

a 225^{\circ}

 

b 330^{\circ}

 

Aquí asumiremos ya tenemos memorizadas el seno y el coseno para algunos ángulos muy comunes (30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}, etcétera):

 

a 225^{\circ}

 

Para calcular el seno del ángulo, utilizaremos algunas identidades de traslación. Observemos que

 

\displaystyle \sin \left( 225^{\circ} \right) = \sin \left( 180^{\circ} + 45^{\circ} \right) = -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Similarmente,

 

\displaystyle \cos \left( 225^{\circ} \right) = \cos \left( 180^{\circ} + 45^{\circ} \right) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Por último

 

\displaystyle \tan 225^{\circ} = \frac{\sin 225^{\circ}}{\cos 225^{\circ}} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1

 

b 330^{\circ}

 

Al igual que en el caso anterior, utilizaremos algunas identidades de traslación. Observemos que

 

    \begin{align*} \sin \left( 330^{\circ} \right) & = \sin \left( 180^{\circ} + 150^{\circ} \right)\\& = -\sin 150^{\circ} = -\sin \left( 90^{\circ} + 60^{\circ} \right)\\& = -\sin \left( 90^{\circ} - 60^{\circ} \right)\\& = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}\end{align*}

 

Similarmente,

 

    \begin{align*} \cos \left( 330^{\circ} \right) & = \cos \left( 360^{\circ} - 30^{\circ} \right)\\& = \cos -30^{\circ} = \cos 30^{\circ}\\& = \frac{\sqrt{3}}{2}\\\end{align*}

 

}

 

Por último

 

\displaystyle \tan 330^{\circ} = \frac{\sin 330^{\circ}}{\cos 330^{\circ}} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

 

7 Calcula las razones trigonométricas para los siguientes ángulos:

 

a 2655^{\circ}

 

b -840^{\circ}

 

a 2655^{\circ}

 

Primero debemos encontrar un ángulo que esté entre 0^{\circ} y 360^{\circ} y que igual a 2655^{\circ}. Para esto, dividimos 2655 entre 360 y el residuo será el ángulo que buscamos:

 

\displaystyle \frac{2655}{360} = 7 + \frac{135}{360}

 

donde el residuo es 135. Por lo tanto

 

    \begin{align*} \sin 2655^{\circ} & = \sin 135^{\circ}\\& = \sin \left( 90^{\circ} + 45^{\circ} \right)\\& = \sin \left( 90^{\circ} - 45^{\circ} \right)\\& = \sin \left( 45^{\circ} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}

 

Similarmente,

 

    \begin{align*} \cos 2655^{\circ} & = \cos 135^{\circ}\\& = \cos \left( 90^{\circ} + 45^{\circ} \right)\\& = -\cos \left( 90^{\circ} - 45^{\circ} \right)\\& = -\cos \left( 45^{\circ} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}

 

Por último,

 

\displaystyle \tan 2655^{\circ} = \frac{\sin 2655^{\circ}}{\cos 2655^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1

 

b -840^{\circ}

 

Este es muy similar al caso anterior. Dividimos primero 840 entre 360 y nos quedamos con el residuo:

 

\displaystyle \frac{840}{360} = 2 + \frac{120}{360}

 

Por lo que -840^{\circ} = -120^{\circ}. De este modo:

 

    \begin{align*} \sin \left( -840^{\circ} \right) & = \sin \left(-120^{\circ} \right)\\& -\sin \left( -120^{\circ} + 180^{\circ} \right) = -\sin 60^{\circ}\\& = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}

 

Similarmente,

 

    \begin{align*} \cos \left( -840^{\circ} \right) & = \cos \left(-120^{\circ} \right)\\& -\cos \left( -120^{\circ} + 180^{\circ} \right) = -\cos 60^{\circ}\\& = -\frac{1}{2}\end{align*}

 

Por último,

 

\displaystyle \tan \left( -840^{\circ} \right) = \frac{\sin \left( -840^{\circ} \right)}{\cos \left( -840^{\circ} \right)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}

 

Resolución de triángulos

 

8 Dado el triángulo rectángulo ABC, rectángulo en el ángulo A, se conoce que a = 5 \text{ m} y B = 41.7^{\circ}. Encuentra los otros ángulos y lados.

 

Observemos el siguiente triángulo:

 

Triangulo ABC.

 

Ahí podemos ver los datos que nos faltan (los lados b, c y el ángulo C). El más sencillo es el ángulo C, puesto que A + B + C = 180^{\circ}. Por lo que

 

\displaystyle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 41.7^{\circ} = 48.3^{\circ}

 

Como el triángulo es rectángulo, entonces podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la longitud de los lados restantes. Sabemos que

 

\displaystyle \sin B = \frac{b}{a}

 

por lo que

 

\displaystyle b = a \sin B = 5 \cdot \sin 41.7^{\circ} = 5 \cdot 0.6652 = 3.3261

 

Similarmente, como \cos B = c/a, entonces

 

\displaystyle c = 5\cdot \cos 41.7^{\circ} = 5 \cdot 0.7466 = 3.7332

 

Con lo que ya encontramos todos los datos faltantes.

 

9 Del triángulo ABC, rectángulo en el ángulo A, conocemos que b = 3 \text{ m} y B = 54.6^{\circ}. Encuentra los otros ángulos y lados.

 

Observemos el triángulo de este ejercicio:

 

Triangulo ABC. 2

 

Ahí podemos ver los datos que nos faltan (los lados a, c y el ángulo C). Al igual que en el caso anterior, el más sencillo es el ángulo C, ya que A + B + C = 180^{\circ}. Por lo que

 

\displaystyle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54.6^{\circ} = 35.4^{\circ}

 

Ahora no tenemos la hipotenusa. Por tanto debemos utilizar la tangente para empezar:

 

\displaystyle \tan B = \frac{b}{c}

 

por lo que

 

\displaystyle c = \frac{b}{\tan B} = \frac{3}{\tan 54.6^{\circ}} = \frac{3}{1.4071} = 2.1320

 

Similarmente, como \cos B = c/a, entonces

 

\displaystyle a = 2.1320 \cdot \cos 54.6^{\circ} = 2.1320 \cdot 0.5793 = 1.2350

 

Con lo que ya encontramos todos los datos faltantes.

 

10 Del triángulo ABC, rectángulo en el ángulo A, conocemos que a = 6 \text{ m} y b = 4 \text{ m}. Encuentra los ángulos agudos y el lado restante.

 

Observemos el triángulo:

 

Triangulo ABC. 3

 

Los datos que nos faltan son el cateto c y los ángulos B y C. Por el teorema de pitágoras, sabemos que a^2 = b^2 + c^2, de modo que

 

\displaystyle c^2 = a^2 - b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20

 

Así, c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. Además,

 

\displaystyle \sin B = \frac{4}{6} = 0.6666

 

Por lo que B = \arcsin(0.6666) = 41.8103. Por último, debido a que los ángulos suman 180^{\circ}:

 

\displaystyle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 41.8103^{\circ} = 48.1896^{\circ}

 

Con lo que terminamos de resolver el triángulo.

 

11 Dado un triángulo ABC, se conoce que b = 3 \text{ m}, c = 5 \text{ m} y A = 105^{\circ}. Encuentra los ángulos y el lado restantes.

 

Observemos que este triángulo no es rectángulo. De hecho, el triángulo se muestra en la siguiente figura:

 

triángulo ABC no rectángulo

 

Donde vemos que nos faltan los ángulos B, C y el lado a. Como el triángulo no es rectángulo, entonces no podemos utilizar el teorema de pitágoras, pero sí podemos utilizar el teorema de los cosenos:

 

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

 

donde ya tenemos todos los datos. Tenemos

 

    \begin{align*} a^2 & = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos 105^{\circ}\\& = 9 + 25 - 30(-0.2588)\\& = 34 + 7.7646 = 41.7646\end{align*}

 

Por lo tanto a = 6.4626. Con esto, ya podemos calcular cualquiera de los ángulos restantes utilizando la ley de los senos:

 

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

 

de donde se sigue que

 

    \begin{align*} \sin B & = \frac{b \sin A}{a} = \frac{3 \sin 105^{\circ}}{6.4626}\\& = \frac{2.8978}{6.4626} = 0.4484\end{align*}

 

de donde se sigue que B = \arcsin(0.4484) = 26.64^{\circ}.

 

Por último,

 

\displaystyle C = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 26.64^{\circ} = 44.36^{\circ}

 

con lo que resolvemos todo el triángulo por completo.

 

Problemas de la vida cotidiana

 

12 Un árbol de 50 metros de altura proyecta una sombra de 60 metros de longitud. Encuentra el ángulo de elvación del Sol en ese momento.

 

Observemos que el árbol (lado b) y la sombra (lado a) forman el siguiente triángulo:

 

triángulo formado por el árbol y su sombra

 

Notemos que no es necesario calcular el lado c. Buscamos el ángulo B, cuya tangente está dada por

 

\displaystyle \tan B = \frac{b}{a} = \frac{50}{60} = 0.8333

 

Utilizando el arcotangente, obtenemos

 

\displaystyle B = \arctan(0.8333) = 39.8056^{\circ}

 

Que es el ángulo que buscábamos.

 

13 Un dirigible está volando a 800 metros de altura. Obserav un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿Qué distancia debe recorrer el dirigible en linea recta, manteniendo la altura, para estar exactamente sobre el pueblo?

 

Observemos que entre el pueblo y el dirigible se forma el siguiente triángulo:

 

triángulo formado por el dirigible

 

donde la distancia incógnita la denotamos por d. La altura del dirigible la denotamos por h y el ángulo de depresión coincide con el ángulo H.

 

Sabemos que la tangente de H se calcula utilizando

 

\displaystyle \tan H = \frac{h}{d}

 

por lo que

 

\displaystyle d = \frac{h}{\tan H} = \frac{800}{\tan 12^{\circ}} = \frac{800}{0.2126} = 3763.70

 

Por tanto, el dirigible debe recorrer 3763.70 metros, o 3.764 km.

 

14 Hallar el radio de una circunferencia donde una cuerda de 24.6 metros tiene un arco de 70° correspondiente.

 

Observemos la siguiente figura:

 

Triángulo formado por el radio y el extremo que une al centro con el punto medio de la cuerda

 

Notemos que se forma un triángulo rectángulo con los puntos ACM donde M es el punto medio del arco.

 

El radio r es la hipotenusa de este triángulo, la longitud de c es la mitad de la cuerda, es decir,

 

\displaystyle c = \frac{24.6}{2} = 12.3

 

y el ángulo C mide 35^{\circ} (la mitad del arco). Sabemos que

 

\displaystyle \sin C = \frac{c}{r}

 

ya que r es la hipotenusa. Por tanto,

 

\displaystyle r = \frac{c}{\sin C} = \frac{12.3}{\sin 35^{\circ}} = \frac{12.3}{0.5735} = 21.4444

 

por lo tanto, el radio mide 21.44 metros.

 

15 Calcular el área de una parcela triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden 80 \text{ m} y 130 \text{ m}, y el ángulo entre ellos es de 70°

 

Existen varias formas de resolver este problema. Podemos utilizar la fórmula de Herón o podemos intentar calcular alguna de sus alturas. Primero observemos el triángulo:

 

parcela triangular

 

Donde b = 130 \text{ m}, a = 80 \text{ m} y C = 70^{\circ}.

 

Si trazamos la altura que es perpendicular a b, notemos que se forma un triángulo rectángulo donde h es un cateto y a es la hipotenusa. Además, notemos que el seno de C es

 

\displaystyle \sin C = \frac{h}{80}

 

de modo que

 

\displaystyle h = 80 \cdot \sin 70^{\circ} = 80 \cdot 0.9397 = 75.1754

 

Por lo tanto, el área es

 

\displaystyle A = \frac{130 \cdot 75.1754}{2} = 4886.40 \text{ m}^2

 

16 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa en un ángulo de 30° sobre el nivel de la tierra, y si nos acercamos 10 \text{ m} entonces la copa se observa en un ángulo de 60° sobre la tierra.

 

Observemos la siguiente figura, la cual es una representación del problema:

 

triángulos formados por un árbol y dos observadores

 

Notemos que hay varias formas de resolver este problema. Una es encontrar la distancia CB = x resolviendo el triángulo CXB; después utilizamos esa distancia para encontrar la altura.

 

Para resolver el triángulo, notemos que el ángulo X_2 del triángulo CXB es

 

\displaystyle X_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}

 

por tanto, ya podemos utilizar el teorema de los senos para resolver triángulo. Sin embargo, necesitamos primero al ángulo C_2, que es,

 

\displaystyle C_2 = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}

 

Por el teorema de los senos se tiene que

 

\displaystyle \frac{x}{\sin X_2} = \frac{c_2}{\sin C_2}

 

donde

 

\displaystyle \frac{c_2}{\sin C_2} = \frac{10}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20

 

Por lo tanto,

 

\displaystyle x = 20 \sin X_2 = 20 \sin 120^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m}

 

Con esto ya podemos calcular la altura del árbol. Notemos que el triángulo ABC es rectángulo. Por tanto,

 

\displaystyle \sin B = \frac{h}{x} = \frac{h}{10\sqrt{3}}

 

Por tanto,

 

\displaystyle h = 10\sqrt{3} \sin 30^{\circ} = 10\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66

 

Por tanto, el árbol mide 8.66 metros de altura.

 

17 Un octágono regular tiene lados que miden 12 metros. Encuentra los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

 

Observa la siguiente figura de un octágono con sus circunferencias inscritas y circunscritas:

 

octágono y sus circunferencias

 

Notemos que se forma un triángulo rectángulo entre los puntos CBM donde M es el punto medio de cualquier lado del octágono. Observemos con más detalle este triángulo rectángulo:

 

detalle del triángulo formado por el apotema de un octágono y el radio de la circunferencia circunscrita

 

Sabemos que el ángulo \angle BOA = 360/8 = 45^{\circ}. Por lo que el ángulo C del triángulo rectángulo será C = 22.5^{\circ}. Además, el lado BM = c = 12/2 = 6.

 

Los dos lados del triángulo que nos faltan son, de hecho, los radios de las circunferencias. Empezando por el lado b, tenemos que

 

\displaystyle \tan C = \frac{c}{b} = \frac{6}{b}

 

Por lo que

 

\displaystyle b = \frac{6}{\tan C} = \frac{6}{\tan 22.5^{\circ}} = \frac{6}{0.4142} = 14.4853

 

Por lo tanto, el radio r de la circunferencia inscrita es 14.49 metros.

 

Luego, el lado m satisface

 

\displaystyle m^2 = b^2 + c^2 = 14.49^2 + 6^2 = 245.8239

 

de modo que m = 15.6788. Es decir, el radio R de la circunferencia circunscrita es 15.68 metros.

 

Demostración de identidades trigonométricas

 

18 Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

 

a \tan \alpha + \cot \alpha = \sec \alpha \cdot \csc \alpha

 

b \cot^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \left( \cot \alpha \cdot \cos \alpha \right)^2

 

c \displaystyle \frac{1}{\sec^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha

 

a \tan \alpha + \cot \alpha = \sec \alpha \cdot \csc \alpha

 

Empezamos escribiendo a \tan \alpha y \cot \alpha con su definición en senos y cosenos:

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

 

Después realizamos la suma de las fracciones (con el común denominador):

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha}

 

Notamos que \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, por lo que

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha}

 

las cuales son las definiciones de \sec \alpha y \csc \alpha. Por tanto,

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot \alpha = \sec \alpha \cdot \csc \alpha

 

b \cot^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \left( \cot \alpha \cdot \cos \alpha \right)^2

 

Aquí conviene empezar del lado derecho de la ecuación:

 

\displaystyle \cos^2 \alpha + \left( \cot \alpha \cdot \cos \alpha \right)^2 = \cos^2 \alpha + \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha

 

Factorizamos el \cos^2 \alpha

 

\displaystyle \cdots = \cos^2 \alpha (1 + \cot^2 \alpha )

 

Recordemos que la identidad pitagórica de la \cot \alpha es 1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha, de modo que tenemos

 

\displaystyle \cdots = \cos^2 \alpha \cdot \csc^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha

 

que era justo lo que queriamos demostrar.

 

c \displaystyle \frac{1}{\sec^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha

 

Aquí tambien conviene empezar del lado derecho de la identidad, factorizando \cos^2 \alpha:

 

\displaystyle \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = \cos^2 \alpha \left( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \right)

 

Notamos que \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, por lo que

 

\displaystyle \cdots = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \frac{1}{1/\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\sec^2 \alpha}

 

que era lo que buscábamos demostrar.

 

19 Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

 

a \cot \alpha \cdot \sec \alpha = \csc \alpha

 

b \displaystyle \sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \cdot \cos^2 \alpha}

 

a \cot \alpha \cdot \sec \alpha = \csc \alpha

 

La forma más sencilla de demostrar esta identidad es empezar del lado izquiero y escribir las relaciones en términos de senos y cosenos:

 

\displaystyle \cot \alpha \cdot \sec \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha

 

Ya que \cos \alpha se cancela. Esta identidad era posible demostrarla en una sola línea.

 

b \displaystyle \sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \cdot \cos^2 \alpha}

 

Empezamos del lado izquierdo y escribimos las relaciones en términos de senos y cosenos:

 

\displaystyle \sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha}

 

Luego sumamos las fracciones utilizando el común denominador:

 

\displaystyle \cdots = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}

 

ya que \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. Por lo tanto, llegamos a lo que queríamos demostrar.

 

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00/5 - 45 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗