Un triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos.

 

Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

 

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

 

Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

 

Supongamos que se conocen el lado a y sus ángulos adyacentes B, C. Para encontrar el ángulo y los lados restantes realizamos

 

triangulo oblicuangulo 1

 

1 Para encontrar el ángulo A restante aplicamos

 

A = 180^o - B - C

 

2 Para calcular b aplicamos el teorema de los senos

 

\cfrac{a}{sen \, A} = \cfrac{b}{sen \, B}

 

Multiplicando ambos lados de la ecuación por sen \, B se obtiene

 

b = \cfrac{a \cdot sen \, B}{sen \, A}

 

3 Para calcular c aplicamos el teorema de los senos

 

\cfrac{a}{sen \, A} = \cfrac{c}{sen \, C}

 

Multiplicando ambos lados de la ecuación por sen \, C se obtiene

 

c = \cfrac{a \cdot sen \, C}{sen \, A}

 

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Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

 

Supongamos que se conocen los lados a, b y el ángulo C. Para encontrar el lado y los ángulos restantes realizamos

 

triangulo oblicuangulo 2

 

1 Para encontrar el lado c restante aplicamos el teorema de los cosenos

 

c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos \, C}

 

2 Para calcular el ángulo B aplicamos el teorema de los senos, considerando los recíprocos

 

\cfrac{sen \, B}{b} = \cfrac{sen \, C}{c}

 

Multiplicando ambos lados de la ecuación por b se obtiene

 

sen \, B = \cfrac{b \cdot sen \, C}{c}

 

Buscamos los valores de {B} que satisfacen la igualdad. Observa que hay dos valores para {B}, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo cuadrante

 

3 Para encontrar el ángulo faltante, aplicamos el resultado de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es {180^o} y despejamos el ángulo que nos interesa. Debes realizarlo para cada uno de los valores de {B}

 

{A = 180^o - B - C}

 

Para determinar cual de las parejas de ángulos es correcta, debes verificar cual de ellas satisface el teorema del seno

 

Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

 

Supongamos que se conocen los lados a, b y el ángulo A. Para encontrar el lado y los ángulos restantes, primero analizamos el seno del ángulo opuesto al lado conocido B empleando el teorema del seno

 

triangulo oblicuangulo 3

 

\cfrac{sen \, B}{b} = \cfrac{sen \, A}{a}

 

Despejamos sen \, B y analizamos su valor para determinar si tiene solución y con ello conluir si es posible encontar lo elementos restantes del triángulo.

 

No hay solución

 

Si sen \, B >  1, la ecuación no tiene solución, este se debe a que el seno de un ángulo no puede ser mayor que 1.

 

Solución única

 

Si sen \, B =  1, la ecuación tiene una única solución B = 90^o por lo que se trata de un triángulo rectángulo.

 

Una o dos soluciones

 

Si sen \, B <  1, la ecuación tiene una o dos soluciones dependiendo de los valores de a, b:

 

Si a > b se tiene una  solución.

 

Si a < b se tiene dos  soluciones.

 

Conociendo los tres lados

 

Supongamos que se conocen los tres lados del triángulo. Para los ángulos realizamos lo siguiente

 

triangulo oblicuangulo 4

 

1 Para encontrar el primer ángulo, digamos el ángulo A, aplicamos el teorema del coseno

 

a^2 = b^2 + c^ 2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos \, A

 

Despejamos cos \, A y encontramos el valor de A que se encuentra en el primer cuadrante

 

cos \, A = \cfrac{b^2 + c^2 - a^2}{b \cdot c}

 

2 Para calcular el segundo ángulo aplicamos nuevamente el teorema del coseno

 

cos \, B = \cfrac{a^2 + c^2 - b^2}{a \cdot c}

 

3 Para calcular el tercer ángulo aplicamos

 

C = 180^o - A - B

 

Ejercicios

Encontrar los elementos restantes de cada uno de los triángulos con los siguientes datos:

 

1a = 6 \, m, \ B = 45^o, \ C = 105^o

triangulo oblicuangulo 5

 

Se trata de un triángulo del cual conocemos un lado y dos ángulos adyacentes a el, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el primer tipo de resolución.

 

1 Encontramos el tercer ángulo {A}

 

A = 180^o - 45^o - 105^o = 30^o

 

2 Para encontrar el lado b, aplicamos el teorema del seno y obtenemos

 

b = \cfrac{a \cdot sen \, B}{sen \, A}

 

Sustituyendo los valores conocidos, se obtiene

 

b = \cfrac{6 \cdot sen \, 45^o}{sen \, 30^o} = 8.5 \, m

 

3 Para encontrar el lado faltante, aplicamos el teorem del seno y obtenemos

 

c = \cfrac{a \cdot sen \, C}{sen \, A}

 

Sustituyendo los valores conocidos se obtiene

 

c = \cfrac{6 \cdot sen \, 105^o}{sen \, 30^o} = 11.6 \, m

 

2a = 10 \, m, \ b = 7 \, m,  C = 30^o

triangulo oblicuangulo 6

 

Se trata de un triángulo del cual conocemos dos lados y el ángulos comprendido, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el segundo tipo de resolución.

 

1 Aplicamos el teorema del coseno para encontrar el tercer lado {c}

 

\begin{array}{lcl} c & = & \sqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot cos \, 30^o} \\\\  & = & \sqrt{27.76} \\\\ & = & 5.27 \,  m\end{array}

 

2 Aplicamos el teorema del seno para encontrar uno de los dos ángulos faltantes

 

sen \, A = \cfrac{a \cdot sen \, B}{b}

 

Sustituyendo los valores conocidos, se obtiene

 

sen \, A = \displaystyle \frac{10 \cdot sen \, 30}{5.27} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ A = \left\{\begin{array}{l}71^o \,  34' \\ 108^o \, 26' \end{array} \right.

 

3 Encontramos el ángulo faltante. Observa que se obtiene un valor para cada uno de los valores de {A}

 

Si {A = 71^o \, 34'}, entonces {B = 180^o - 71^o \, 34' - 30^o = 78^o\, 26'}

 

Si {A = 108^o \, 26'}, entonces {B = 180^o - 108^o \, 26' - 30^o = 41^o \, 34'}

 

Determinamos cual de las parejas de ángulos es correcta

 

Si {A = 71^o \, 34', \ B = 78^o \, 26' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, A}{a} \neq \frac{sen \, B}{b}}

 

Si {A = 108^o \, 26', \ B = 41^o \, 34' \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{sen \, A}{a} = \frac{sen \, B}{b}}

 

Así, la pareja de ángulos buscada es {A = 108^o \, 26', \ B = 41^o \, 34'}

 

3a = 3 \, m, \ b = 8 \, m, A = 30^o

triangulo oblicuangulo 7

 

Se trata de un triángulo del cual conocemos dos lados y un ángulo opuesto, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el tercer tipo de resolución.

 

1 A partir del teorema del seno tenemos que sen \, B > 1. Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

 

4a = 3 \, m, \ b = 6 \, m, A = 30^o

triangulo rectangulo

 

Se trata de un triángulo del cual conocemos dos lados y un ángulo opuesto, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el tercer tipo de resolución.

 

1 A partir del teorema del seno tenemos que sen \, B =  1, la ecuación tiene una única s0lución B = 90^o por lo que se trata de un triángulo rectángulo.

 

2 Calculamos el ángulo restante

 

C = 180^o - 90^o - 30^o = 60^o

 

3 Encontramos el lado faltante aplicando el teorema de Pitágoras

 

{6^2 = 3^2 + c^2 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ c = 3 \sqrt{3} \, m }

 

5a = 8 \, m, \ b = 4 \, m, A = 60^o

Se trata de un triángulo del cual conocemos dos lados y un ángulo opuesto, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el tercer tipo de resolución.

 

1 A partir del teorema del seno tenemos que sen \, B = \cfrac{\sqrt{3}}{4} <  1, la ecuación tiene una o dos s0luciones

 

2 Calculamos los valores para el ángulo B

 

sen \, B = \displaystyle \frac{4 \cdot sen \, 60}{8} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ B = \left\{\begin{array}{l}25^o \, 39' \\ 154^o \, 21' \end{array} \right.

 

Como a > b solo es válida la solución B = 25^o \, 39'

 

3 Encontramos el ángulo faltante

 

{C = 180^o - 60^o  - 25^o \, 39' = 94^o\, 21'}

 

4 Aplicando el teorema del seno encontramos el lado faltante

 

c = \cfrac{8 \cdot sen \, 94^o \, 21'}{sen \, 60^o} = 9.2 \, m

 

6a = 3 \, m, \ b = 4 \, m, A = 30^o

Se trata de un triángulo del cual conocemos dos lados y un ángulo opuesto, por lo que aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente para el tercer tipo de resolución.

 

1 A partir del teorema del seno tenemos que sen \, B = \cfrac{2}{3} < 1, la ecuación tiene una o dos s0luciones

 

2 Calculamos los valores para el ángulo B

 

sen \, B = \displaystyle \frac{4 \cdot sen \, 30}{3} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l} B_1 = 41^o \, 48' \\ B_2 = 138^o \, 12' \end{array} \right.

 

Como a < b ambas soluciones son válidas

 

3 Encontramos el ángulo faltante

 

{C_1 = 180^o - 30^o - 41^o \, 48' = 108^o\, 12'}

 

{C_2 = 180^o - 30^o - 138^o \, 12' = 11^o\, 48'}

 

4 Aplicando el teorema del seno encontramos el lado faltante

 

c_1 = \cfrac{3 \cdot sen \, 108^o \, 12'}{sen \, 30^o} = 5.7 \, m

 

c_1 = \cfrac{3 \cdot sen \, 11^o \, 48'}{sen \, 30^o} = 1.2 \, m

 

7a = 15 \, m, \ b = 22 \, m, c = 17 \, m

1 Para encontrar el primer ángulo, digamos el ángulo A, aplicamos el teorema del coseno, despejamos cos \, A y encontramos el valor de A que se encuentra en el primer cuadrante

 

cos \, A = \cfrac{22^2 + 17^2 - 15^2}{22 \cdot 17} = 0.7326 \ \ \ \longrightarrow  \ \ \ A = 42^o \, 54'

 

2 Para calcular el segundo ángulo aplicamos nuevamente el teorema del coseno y encontramos el valor en el primer cuadrante

 

cos \, B = \cfrac{15^2 + 17^2 - 22^2}{15 \cdot 17} = 0.0588 \ \ \ \longrightarrow  \ \ \ B = 86^o \, 38'

 

3 Para calcular el tercer ángulo aplicamos

 

C = 180^o - 42^o \, 54' - 86^o \, 38' = 50^o \, 28'

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗