Name: Ejercicios con ecuaciones trigonometricas
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Marta

30 septiembre 2020

Temas

Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos
Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas
Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

Para poder resolver los ejercicios siguientes es necesario tener a la mano las siguiente herramientas:

Círculo unitario
Identidades trigonométricas básicas
Identidades trigonométricas pitagóricas
Identidades trigonométricas pares e impares
Identidades trigonométricas para ángulos dobles
Identidades trigonométricas para ángulos medios
Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

Círculo unitario

La tabla conocida como círculo unitario, la cual contiene los valores de los radios mas representativos usados en la trigonométrica, ademas, el nombre de este círculo se debe a que es un círculo con radio 1.

Con esta herramienta sera muy sencillo localizar el valor de los ángulos, por ejemplo, si quisiéramos conocer el valor de $\displaystyle x=arc \ sen(-1)$ , simplemente debemos ubicarnos en el eje del seno, es decir, el eje y, y luego ubicarnos en el valor $-1$ .

Notaremos que la tabla indica que el angulo es $\displaystyle 270^{\circ}$ lo cual es el valor en grados, pero también existe el valor en radianes, el cual es $\displaystyle \frac{3 \pi }{2}$

Cuando necesitamos localizar los valores para la tangente, recordemos que la tangente es una linea recta que toca a la circunferencia en un único punto, en el caso de esta circunferencia, la tangente que se utiliza es aquella que toca el unto de los $\displaystyle 0^{\circ}, 360^{\circ}$ y la altura de la tangente dependerá del valor en la ecuación, por ejemplo, en la ecuación $\displaystyle tan \ x= 1$ despejamos la variable y obtenemos $\displaystyle x= arc \ tan \ 1$ , entonces buscamos la tangente de altura $1$ y trazamos la linea hasta el origen, observaremos el punto donde se intersecta con la circunferencia, y buscaremos el valor en la tabla

representacion grafica circulo unitario tangente

Corresponde a $\displaystyle\frac {\pi}{4} = 45^{\circ}$

También podría decirse que corresponde a $\displaystyle arc \ sen \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ o $\displaystyle arc \ cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas son igualdades definidas que nos ayudan a realizar el trabajo algebraico sin rompernos la cabeza

tabla de identidades trigonometricas basicas

Identidades trigonométricas pitagóricas

tabla de identidades trigonometricas pitagoricas

Identidades trigonométricas pares e impares

Ángulos dobles y ángulos medios

Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

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Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas

Resuelve despejando la variable y localizando los valores en el círculo unitario

1 $\displaystyle sen \ x=0$

2 $\displaystyle cos\ x=0$

3 $\displaystyle tg\ x=0$

4 $\displaystyle sen\ x=1$

5 $\displaystyle cos\ x=1$

6 $\displaystyle tg\ x=1$

7 $\displaystyle sen\ x=-1$

8 $\displaystyle cos\ x=-1$

9 $\displaystyle tg\ x=-1$

10 $\displaystyle sen\ x=\frac{1}{2}$

11 $\displaystyle sen\ x=-\frac{1}{2}$

12 $\displaystyle cos\ x=\frac{1}{2}$

13 $\displaystyle cos\ x=-\frac{1}{2}$

Para resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas es necesario recordar la propiedad de la función inversa:

$\displaystyle f \circ f^{-1}$ =x

1 $\displaystyle sen\ x =0$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ sen (sen \ x)= arc \ sen \ 0$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen \ 0$

Nos ubicamos en el del seno, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor $\displaystyle 0$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle 0$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x=arc \ sen \ 0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=0^{\circ},360^{\circ},720^{\circ},... \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k & x_{2}=180^{\circ},540^{\circ},900^{\circ},...\end{array} \right.$

$\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k$

2 $\displaystyle cos \ x=0$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \ 0$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ cos \ 0$

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor $\displaystyle 0$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle 0$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x=arc \ cos \ 0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=90^{\circ},450^{\circ},810^{\circ},... \\ x_{2}=270^{\circ} + 360^{\circ} k & x_{2}=270^{\circ},630^{\circ},990^{\circ},...\end{array} \right.$

$\displaystyle x= 90^{\circ} +180^{\circ}k$

3 $\displaystyle tg \ x=0$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \ 0$

$\displaystyle x= arc \ tg \ 0$

En nuestra tabla, visualicemos una tangente de altura cero, obviamente al buscar el valor en el círculo unitario encontraremos que corresponde a cero grados, entonces:

$\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k$

4 $\displaystyle sen \ x=1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \ 1$

$\displaystyle x= arc \ sen \ 1$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen \ 1$

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor $\displaystyle 1$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle 1$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x= 90^{\circ} +360^{\circ}k$

5 $\displaystyle cos \ x=1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \ 1$

$\displaystyle x= arc \ cos \ 1$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ cos \ 1$

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor $\displaystyle 1$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle 1$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x= 0^{\circ} +360^{\circ}k$

6 $\displaystyle tg \ x=1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \ 1$

$\displaystyle x= arc \ tg \ 1$

Este ejercicio se mostró en el ejemplo a principio de la lección donde podrás observar la representación gráfica.

Visualizamos una recta tangente de altura $1$ , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

$\displaystyle x= 45^{\circ} +180^{\circ}k$

7 $\displaystyle sen \ x=-1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen (-1)$

$\displaystyle x=arc \ sen(-1)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen ( -1)$

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor $\displaystyle -1$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle -1$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x= 270^{\circ} +360^{\circ}k$

8 $\displaystyle cos \ x=-1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos (-1)$

$\displaystyle x= arc \ cos(-1)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen ( -1)$

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor $\displaystyle -1$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle -1$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x= 180^{\circ} +360^{\circ}k$

9 $\displaystyle tg \ x= -1$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg ( -1)$

$\displaystyle x= arc \ tg(-1)$

Ubicándonos en la coordenada $(-1,0)$ visualizamos una recta tangente de altura $1$ , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

$\displaystyle x= 135^{\circ} +180^{\circ}k$

10 $\displaystyle sen \ x=\frac{1}{2}$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)$

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor $\displaystyle \frac{1}{2}$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

11 $\displaystyle sen \ x=-\frac{1}{2}$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left (-\frac{1}{2} \right)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen \left( -\frac{1}{2} \right)$

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor $\displaystyle -\frac{1}{2}$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle -\frac{1}{2}$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x=arc \ sen \ \left( -\frac{1}{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=210^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

12 $\displaystyle cos \ x=\frac{1}{2}$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \left( \frac{1}{2} \right)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ cos \left( \frac{1}{2} \right)$

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor $\displaystyle \frac{1}{2}$ en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Estos valores serán el resultado de la ecuación

$\displaystyle x=arc \ cos \ \left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=60^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

13 $\displaystyle cos \ x=-\frac{1}{2}$

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

$\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \left( -\frac{1}{2} \right)$

Localizamos en la tabla el valor para $\displaystyle arc \ sen \left(- \frac{1}{2} \right)$

$\displaystyle x=arc \ cos \left( -\frac{ 1 }{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=120^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=240^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

1 $\displaystyle sen \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{3} }{2}$

Para resolver la ecuacion, buscaremos en la tabla los valores de $\displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right)$

$\displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} sen \ 60^{\circ} \\ sen \ 120^{\circ} \end{array} \right.$

Esto nos da 2 casos posibles, sustituimos para el primer caso

$\displaystyle x+45^{\circ} = 60^{\circ}$

Despejamos la variable

$\displaystyle x = 60^{\circ} - 45^{\circ}$

$\displaystyle x_1= 15^{\circ} +360^{\circ}k$

Sstituimos para el segundo caso

$\displaystyle x+45^{\circ} = 120^{\circ}$

Despejamos la variable

$\displaystyle x = 120^{\circ} - 45^{\circ}$

$\displaystyle x_2= 75^{\circ} +360^{\circ}k$

2 $\displaystyle 2tg \ x -3cotg \ x -1 =0$

Usando las identidades trigonométricas, trataremos de simplificar esta ecuación en funciones mas simples como seno, coseno o tangente

Usemos la identidad trigonométrica $\displaystyle cot \ \theta = \frac{1}{tan \ \theta }$

$\displaystyle 2tg \ x - 3 \cdot \frac{1}{tg \ x}-1 =0$

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica $\displaystyle tg\ \theta = \frac{sen \theta }{cos \ \theta }$

$\displaystyle 2 \cdot \frac{ sen \ x}{cos \ x} - \frac{3}{ \frac{sen \ x}{cos \ x} } -1 =0$

Simplificamos:

$\displaystyle \frac{ 2 \cdot sen \ x}{cos \ x} - \frac{3 \cdot cos \ x}{sen \ x } -1 =0$

Realizaremos la resta de fracciones utilizando el producto cruzado para obtener:

$\displaystyle \frac{ 2 \cdot (sen \ x) \cdot (sen \ x) - (3 \cdot cos \ x ) \cdot (cos \ x)}{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0$

Simplificamos:

$\displaystyle \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0$

Convertimos la unidad en una fracción equivalente con el mismo denominador:

$\displaystyle 1= \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)}$

Sustituimos y simplificamos

$\displaystyle \frac{ 2 (\cdot sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} - \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} =0$

$\displaystyle \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} =0$

Ahora multiplicamos ambos miembros de la ecuación por $\displaystyle \left[ (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]$

Por el lado izquierdo tenemos :

$\displaystyle \left[ \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} \right] \cdot \left[ (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]$

Al simplificar obtenemos:

$\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x)$

Por el lado derecho tenemos $\displaystyle 0 \cdot \left[ (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]$ lo cual claramente es igual a cero

Entonces:

$\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x) - (3 \cdot cos^2 \ x ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) = 0$

Factorizamos:

$\displaystyle (2 sen \ x - 3 cos \ x) \cdot (sen \ x + cos \ x ) = 0$

Ahora existen 2 casos:

Primer caso: despejando el primer termino

$\displaystyle 2 sen \ x - 3 cos \ x = \frac{0}{ (sen \ x + cos \ x )}$

$\displaystyle 2 sen \ x - 3 cos \ x = 0$

Para este caso, dividiremos ambos miembros por $\displaystyle cos \ x$

$\displaystyle \frac{2 sen \ x - 3 cos \ x}{cos \ x} = \frac{0}{cos \ x}$

$\displaystyle \frac{2 sen \ x }{cos \ x} - \frac{3 cos \ x}{cos \ x} = 0$

$\displaystyle 2 \cdot \frac{ sen \ x }{cos \ x} - 3 = 0$

Utilizaremos la identidad $\displaystyle tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}$

$\displaystyle 2 tg \ x - 3 = 0$

Despejamos la variable

$\displaystyle 2 tg \ x = 3 \Rightarrow \ \ \ tg \ x= \frac{3}{2}$

$\displaystyle x= arc \ tg \left( \frac{3}{2} \right)$

$\displaystyle x=56^{\circ}18'35''+180^{\circ}k$

Segundo caso: despejando el segundo termino

$\displaystyle sen \ x + cos \ x = \frac{0}{(2 sen \ x - 3 cos \ x) }$

$\displaystyle sen \ x + cos \ x = 0$

Para este caso, dividiremos ambos miembros por $\displaystyle cos \ x$

$\displaystyle \frac{sen \ x + cos \ x}{ cos \ x } = \frac{0}{cos \ x}$

$\displaystyle \frac{sen \ x }{ cos \ x } + \frac{cos \ x }{cos \ x} = 0$

$\displaystyle \frac{sen \ x }{ cos \ x } + 1 = 0$

Utilizaremos la identidad $\displaystyle tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}$

$\displaystyle tg \ x + 1 = 0$

Despejamos la variable

$\displaystyle tg \ x = -1 \Rightarrow \ \ \ x= arc \ tg \ (-1)$

Ahora buscamos el valor en nuestro círculo unitario como hemos hecho anteriormente

$\displaystyle x=135^{\circ}+180^{\circ}k$

3 $\displaystyle 3sen^2 \ x -5sen \ x +2 =0$

Podemos observar claramente que la ecuación es de la forma :

$\displaystyle ax^2 +bx +c =0$

Es decir, una ecuación de segundo grado que se puede resolver mediante la formula general:

$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}$

Sustituimos:

$\displaystyle sen \ x= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 -4(3)(2) } }{2(3)}$

$\displaystyle sen \ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24} }{6}$

Caso 1:

$\displaystyle sen \ x= \frac{5+1}{6}$

$\displaystyle sen \ x= 1$

Despejamos la variable:

$\displaystyle x= arc \ sen \ 1$

Localizamos el valor en el círculo unitario

$\displaystyle x=90^{\circ}+360^{\circ}k$

Caso 2:

$\displaystyle sen \ x = \frac{5-1}{6}$

$\displaystyle sen \ x= \frac{4}{6}$

$\displaystyle sen \ x= \frac{2}{3}$

Despejamos la variable :

$\displaystyle x= arc \ sen \ \left( \frac{2}{3} \right)$

Localizamos el valor en el círculo unitario

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} 41^{\circ} 48'37''+ 360^{\circ}k \\ 138^{\circ}11'23'' + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

4 $\displaystyle cos^2 \ x -3sen^2 \ x=0$

Utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

$\displaystyle cos^2 \ \theta = 1- sen^2 \ \theta$

Sustituimos en nuestra ecuación:

$\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow 1- sen^2 \ x$

$\displaystyle 1-sen^2 \ x -3sen^2 \ x=0$

Sumamos términos semejantes:

$\displaystyle 1-4sen^2 \ x=0$

Despejamos la variable:

$\displaystyle sen^2 \ x =\frac{1}{4}$

$\displaystyle sen \ x =\sqrt{ \frac{1}{4} }$

$\displaystyle sen \ x =\pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

$\displaystyle x=arc \ sen \ \left( - \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{3}=210^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{4}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

5 $\displaystyle cos \ 2x= 1+4sen \ x$

Usaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

$\displaystyle cos(2 \theta) = \left\{ \begin{array}{l}cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta \\ 1- 2sen^2 \ \theta \\ 2cos^2 \ \theta -1 \end{array} \right.$

De las 3 opciones que tenemos, utilizaremos la primera $\displaystyle cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta$

Sustituimos en nuestra ecuación:

$\displaystyle cos \ 2x \Rightarrow cos^2 \ x - sen^2 \ x$

$\displaystyle cos^2 \ x - sen^2 \ x = 1+4sen \ x$

Ahora utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

$\displaystyle cos^2 \ \theta = 1- sen^2 \ \theta$

Sustituimos en nuestra ecuación:

$\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow1- sen^2 \ x$

$\displaystyle 1- sen^2 \ x - sen^2 \ x = 1+4sen \ x$

Igualamos la ecuación a cero y simplificamos los términos semejantes

$\displaystyle 1 -1 - 2sen^2 \ x -4sen \ x = 0$

$\displaystyle + 2sen^2 \ x +4sen \ x = 0$

Ahora vamos a factorizar :

$\displaystyle 2sen \ x \ (sen \ x +2 )=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} sen \ x=0 \\ sen \ x+2=0 \end{array} \right.$

Observamos que se generan 2 casos.

Caso 1:

$\displaystyle x=arc \ sen \ 0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

$\displaystyle x= 0^{\circ}+180^{\circ} k$

Caso 2:

$\displaystyle arc \ sen (-2)$

Como podemos observar en el circulo unitario, los valores de las funciones seno y coseno están en el intervalo [-1,1], así que el $\displaystyle arc \ sen (-2)$ no existe, por lo tanto este caso, no tiene solución.

Sin solución

6 $\displaystyle sen(2x+60^{\circ})+sen(x+30^{\circ})=0$

6 $\displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})=0$

En este caso usaremos la identidad trigonométrica de suma de ángulos :

$\displaystyle sen \ \alpha + sen \beta = 2 \cdot sen \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)$

Sustituimos los valores de nuestro ejercicio en la identidad trigonométrica:

$\displaystyle sen(2x+60^{\circ}) + sen(x+30^{\circ}) =$

$\displaystyle 2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) + (x+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) - (x+30^{\circ}) }{2} \right)$

Simplificamos términos semejantes:

$\displaystyle 2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+ x) + (60^{\circ}+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x-x) + (60^{\circ}-30^{\circ}) }{2} \right)$

$\displaystyle 2 \cdot sen \left( \frac{ 3x}{2} + \frac{ 90^{\circ} }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ x}{2} + \frac{30^{\circ} }{2} \right)$

$\displaystyle 2 \cdot sen \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) cos\left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) =0$

Para que la ecuación sea igual a cero, es claro que uno de los 2 términos debe ser igual a cero :

Caso 1: $\displaystyle sen \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) = 0$

Caso 2: $\displaystyle cos\left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) =0$

Resolviendo caso 1:

$\displaystyle sen \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) = 0$

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

$\displaystyle arc \ sen \left[ sen \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) \right] = arc \ sen (0 )$

Observando el circulo unitario sabemos que:

$\displaystyle arc \ sen (0) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0^{\circ}+360^{\circ} k \\ 180^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right.$

Resolvamos la ecuación para $\displaystyle arc \ sen (0) = 0^{\circ}+360^{\circ}k$

$\displaystyle \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) = 0^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable y resolvemos:

$\displaystyle \frac{3x}{2} = (0^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k$

$\displaystyle \frac{3x}{2} = -45^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle 3x= -90^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= \frac{-90^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= -30^{\circ} + 360^{\circ}k \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 330^{\circ} + 360^{\circ}k$

Resolvamos la ecuación para $\displaystyle arc \ sen (0) = 180^{\circ}+360^{\circ}k$

$\displaystyle \left( \frac{3x}{2}+45^{\circ} \right) = 180^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable y resolvemos:

$\displaystyle \frac{3x}{2} = (180^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k$

$\displaystyle \frac{3x}{2} = 135^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle 3x= 270^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= \frac{270^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle sen \ \left( \frac{3x}{2} +45^{\circ} \right)=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.$

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación $\displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})$ sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

Resolviendo caso 2:

$\displaystyle cos \left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) = 0$

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

$\displaystyle arc \ cos \left[ cos \left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) = 0 \right] = arc \ cos (0 )$

Observando el circulo unitario sabemos que:

$\displaystyle arc \ cos (0) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} 90^{\circ}+360^{\circ} k \\ 270^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right.$

Resolvamos la ecuación para $\displaystyle arc \ sen (0) = 90^{\circ}+360^{\circ}k$

$\displaystyle \left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) = 90^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable y resolvemos:

$\displaystyle \frac{x}{2} = (90^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k$

$\displaystyle \frac{x}{2} = 75^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= 150^{\circ} + 360^{\circ}k$

Resolvamos la ecuación para $\displaystyle arc \ sen (0) = 270^{\circ}+360^{\circ}k$

$\displaystyle \left( \frac{x}{2}+15^{\circ} \right) = 270^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable y resolvemos:

$\displaystyle \frac{x}{2} = (270^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k$

$\displaystyle \frac{x}{2} = 255^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k$

$\displaystyle cos \ \left( \frac{x}{2} +15^{\circ} \right)=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.$

En conclusión, los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

$\displaystyle x \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_1=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_2= 90^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_3=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_4= 510^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.$

7 $\displaystyle sen^2\ x - cos^2 \ x = \frac{1}{2}$

Para este caso usaremos una identidad trigonométrica de los ángulos dobles:

$\displaystyle cos^2 \ \theta -sen^2\ \theta =cos (2 \theta )$

Lo primero sera multiplicar toda nuestra ecuación por -1 :

$\displaystyle -sen^2\ x + cos^2 \ x =- \frac{1}{2}$

Ahora ordenamos de forma que se parezca mas a nuestra identidad trigonométrica

$\displaystyle cos^2 \ x - sen^2\ x =- \frac{1}{2}$

Usamos la identidad sustituyendo los valores de nuestra ecuación :

$\displaystyle cos^2 \ x -sen^2\ x =cos (2 x ) \Rightarrow cos (2 x ) = -\frac{1}{2}$

Para despejar la variable, es necesario usar la propiedad de función inversa

$\displaystyle arc \ cos \left( cos \ (2x) \right) = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)$

$\displaystyle 2x = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)$

Buscando en el circulo unitario, encontraremos que :

$\displaystyle arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right) = \left \{ \begin{array}{l}120^{\circ} + 360^{\circ}k \\ 240^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right.$

Resolviendo para $\displaystyle 120^{\circ} + 360^{\circ}k$ :

$\displaystyle 2x = 120^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable:

$\displaystyle x = 60^{\circ} + 180^{\circ}k$

Resolviendo para $\displaystyle 240^{\circ} + 360^{\circ}k$ :

$\displaystyle 2x = 240^{\circ} + 360^{\circ}k$

Despejamos la variable:

$\displaystyle x = 120^{\circ} + 180^{\circ}k$

Los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

$\displaystyle x \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ}k \\ x_2= 120^{\circ} + 180^{\circ}k \end{array} \right.$

8 $\displaystyle cos \ 8x + cos \ 6x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x$

Usaremos la identidad trigonométrica de la suma de cosenos:

$\displaystyle cos \ \alpha + cos\ \beta = 2 \cdot cos \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)$

Sustituimos:

$\displaystyle cos \ (8x) + cos\ (6x) = 2 \cdot cos \left( \frac{ 8x + 6x }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ 8x - 6x }{2} \right)$

$\displaystyle cos \ (8x) + cos\ (6x) \Rightarrow 2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x$

Nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

$\displaystyle 2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x$

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

$\displaystyle cos \ 7x \cdot cos \ x = cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x$

Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):

$\displaystyle cos \ 7x = cos(210^{\circ})$

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

$\displaystyle arc \ cos ( cos \ 7x) = arc \ cos (cos(210^{\circ}))$

$\displaystyle 7x = 210^{\circ}$

Despejamos la variable:

$\displaystyle x = \frac{210^{\circ}}{7}$

$\displaystyle x = 30^{\circ}$

La ecuación se satisface cuando $\displaystyle x = 30^{\circ}$

9 $\displaystyle tg \ 2x = -tg \ x$

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica ubicada en la sección de "Identidades trigonométricas para ángulos dobles" :

$\displaystyle tg (2 \theta) = \frac{2 \cdot tg \ \theta}{1 - tg^2 \ \theta}$

Vamos a sustituir con los valores de nuestra ecuación para obtener:

$\displaystyle tg (2 \cdot x ) = \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x}$

Entonces, nuestra ecuación quedara de la forma siguiente:

$\displaystyle \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x} = -tg \ x$

Igualaremos la ecuación a cero:

$\displaystyle \frac{2tg \ x }{1-tg^2 \ x } +tg \ x = 0$

Realizamos la suma de fracciones usando el producto cruzado :

$\displaystyle \frac{ (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x) }{1-tg^2 \ x } = 0$

Eliminaremos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por $\displaystyle 1-tg^2 \ x$ :

$\displaystyle (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x) = 0$

Realizamos el producto indicado:

$\displaystyle (2 \cdot tg \ x) + (tg \ x -tg^3 \ x) = 0$

Agrupamos términos semejantes y los sumamos:

$\displaystyle 3 \cdot tg \ x - tg^3 \ x = 0$

Factorizamos usando $\displaystyle tg \ x$ como factor común :

$\displaystyle (tg \ x ) \cdot (3 - tg^2 \ x) = 0$

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación por $\displaystyle tg \ x$ y obtenemos:

$\displaystyle 3 - tg^2 \ x = 0$

Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación y ordenamos para resolver como ecuación de segundo grado :

$\displaystyle tg^2 \ x -3 = 0$

$\displaystyle tg^2 \ x = 3$

$\displaystyle tg \ x= \sqrt{3}$

Aplicamos la propiedad de función inversa:

$\displaystyle arc \ tg ( tg \ x )= arc \ tg ( \sqrt{3} )$

$\displaystyle x= arc \ tg (\sqrt{3})$

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} 60^{\circ}+180^{\circ}k \\ 120^{\circ}+180^{\circ}k \end{array} \right.$

10 $\displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x = 2$

Primero, restaremos $\displaystyle \sqrt{3} \ cos \ x$ en ambos lados:

$\displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x - \sqrt{3} \ cos \ x = 2 - \sqrt{3} \ cos \ x$

$\displaystyle sen \ x = 2 - \sqrt{3} \ cos \ x$

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados:

$\displaystyle (sen \ x )^2 = (2 - \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2$

Igualamos la ecuación a cero:

$\displaystyle (sen \ x )^2 - (2 - \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2 = 0$

Resolvemos los cuadrados, para lo cual usamos la formula del binomio al cuadrado:

$\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$

$\displaystyle sen^2 \ x - [(2)^2 - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]$

Utilizamos la identidad trigonométrica pitagórica :

$\displaystyle sen^2 \theta = 1- cos^2 \theta$

Sustituimos

$\displaystyle 1- cos^2 (x) - [(2)^2 - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]=0$

Simplificamos:

$\displaystyle 1- cos^2 (x) - [4 - 4\cdot \ cos \ x \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}^2 \cdot \ cos^2 \ x ]=0$

$\displaystyle 1- cos^2 (x) -4 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \ cos \ x + 3 \cdot \ cos^2 \ x =0$

Simplificamos términos semejantes :

$\displaystyle (-4 \cdot cos^2 x) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot \ cos \ x) + (-3) = 0$

Realizaremos un cambio de variable:

Sea $\displaystyle u= cos(x)$

Sustituimos:

$\displaystyle (-4u^2 ) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot u) + (-3) = 0$

Observemos que se trata de una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la formula general:

$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}$

Sustituimos:

$\displaystyle u = \frac{-(4 \cdot \sqrt{3}) \pm \sqrt{(4 \cdot \sqrt{3})^2 -4(-4)(-3) } }{2(-4)}$

Resolvemos:

$\displaystyle u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{(16 \cdot 3) -48 } }{-8}$

$\displaystyle u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{48 -48 } }{-8}$

$\displaystyle u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{0 } }{-8}$

$\displaystyle u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm 0 }{-8}$

$\displaystyle u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} }{(-4) \ cdot (2)}$

$\displaystyle u = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Deshacemos el cambio de variable :

$\displaystyle cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Aplicamos la propiedad de función inversa:

$\displaystyle arc \ cos\ cos(x) = arc \ cos \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)$

$\displaystyle x = arc \ cos \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)$

Ahora solo debemos localizar el valor en nuestra tabla del circulo unitario:

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} x_1 = 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_2 = 330^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.$

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

11 $\displaystyle sen \ 2x =cos(60^{\circ})$

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

Buscamos en nuestro circulo unitario el valor correspondiente a $\displaystyle cos(60°)$ :

$\displaystyle cos(60°) = \frac{1}{2}$

Sustituimos:

$\displaystyle sen ( 2x) = \frac{1}{2}$

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

$\displaystyle arc \ sen \ (sen \ 2x) = arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)$

$\displaystyle 2x = arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)$

Localizamos los valores correspondientes en nuestro círculo unitario

$\displaystyle arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right) = \left \{ \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Entonces:

$\displaystyle 2x = \left \{ \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Despejamos la variable dividiendo por 2:

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} x_1=15^{\circ} + 180^{\circ} k \\ x_2=75^{\circ} + 180^{\circ} k \end{array} \right.$

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

12 $\displaystyle 4sen(x-30^{\circ})cos(x-30^{\circ})=\sqrt{3}$

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

$\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta$

Pero antes de sustituir, obtendremos una variante dividiendo por 2 cada lado de la identidad:

$\displaystyle \frac{sen(2 \theta)}{2} = sen \theta \cdot cos \theta$

Sustituimos:

$\displaystyle 4 \cdot \frac{sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))}{2} = \sqrt{3}$

Simplificamos realizando la division indicada:

$\displaystyle 2 \cdot sen(2 \cdot (x-30^{\circ})) = \sqrt{3}$

Dividimos ambos lados por 2:

$\displaystyle sen(2 \cdot (x-30^{\circ})) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Aplicamos la propiedad de función inversa:

$\displaystyle arc \ sen \ [ sen(2 \cdot (x-30^{\circ})) ] = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)$

$\displaystyle 2 \cdot (x-30^{\circ} ) = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)$

Localizamos el valor para $\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2}$ en nuestro circulo unitario:

$\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} = \left \{ \begin{array}{l} 60^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 120^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Sustituimos para ambos casos:

Caso 1:

$\displaystyle 2 \cdot (x-30^{\circ} ) = 60^{\circ} + 360^{\circ} k$

Dividimos ambos lados por 2:

$\displaystyle x-30^{\circ} = 30^{\circ} + 180^{\circ} k$

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

$\displaystyle x = 60^{\circ} + 180^{\circ} k$

Caso 2:

$\displaystyle 2 \cdot (x-30^{\circ} ) = 120^{\circ} + 360^{\circ} k$

Dividimos ambos lados por 2:

$\displaystyle x-30^{\circ} = 60^{\circ} + 180^{\circ} k$

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

$\displaystyle x = 90^{\circ} + 180^{\circ} k$

La ecuación se satisface cuando :

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ} k \\ x_2=90^{\circ} + 180^{\circ} k \end{array} \right.$

13 $\displaystyle 2cos \ x = 3tg \ x$

Utilizaremos la identidad trigonométrica básica :

$\displaystyle tan \theta = \frac{sen \theta}{ cos \theta }$

Sustituimos:

$\displaystyle 2cos \ x = 3 \cdot \frac{sen x}{ cos x }$

$\displaystyle 2cos \ x = \frac{ 3 \cdot sen x}{ cos x }$

Eliminamos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por $\displaystyle cos \ x$

$\displaystyle 2cos^2( x) = 3 \cdot sen (x)$

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

$\displaystyle cos^2 \theta = 1-sen^2 \theta$

Sustituimos:

$\displaystyle 2(1-sen^2 \ x ) = 3 \cdot sen (x)$

Aplicamos propiedad distributiva:

$\displaystyle 2-2sen^2 \ x = 3 \cdot sen (x)$

Igualamos a cero y ordenamos:

$\displaystyle (-2sen^2 x) +(- 3 \cdot sen (x) ) +2 = 0$

Multiplicamos toda la expresión por $\displaystyle -1$

$\displaystyle 2sen^2 x + 3 \cdot sen (x) - 2 = 0$

Realizamos un cambio de variable, donde:

$\displaystyle u= sen(x)$

Sustituimos:

$\displaystyle 2 u^2 + 3u - 2 = 0$

Resolvemos mediante la formula eneal para ecuaciones de segundo grado:

$\displaystyle u= \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(2)(-2)} }{2(2)}$

$\displaystyle u= \frac{-3 \pm \sqrt{9 +16} }{4}$

$\displaystyle u= \frac{-3 \pm \sqrt{25} }{4}$

$\displaystyle u= \frac{-3 \pm 5 }{4}$

Deshacemos el cambio de variable:

$\displaystyle sen \ x = \frac{-3 \pm 5 }{4}$

Caso 1:

$\displaystyle sen \ x = \frac{-3 + 5 }{4}$

$\displaystyle sen \ x = \frac{2}{4}$

$\displaystyle sen \ x = \frac{1}{2}$

Aplicamos propiedad de función inversa:

$\displaystyle arc \ sen ( sen \ x ) = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)$

$\displaystyle x = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)$

Localizamos el valor correspondiente en nuestro circulo unitario :

$\displaystyle x = \left \{ \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Caso 2:

$\displaystyle sen \ x = \frac{-3 - 5 }{4}$

$\displaystyle sen \ x = \frac{-8}{4}$

$\displaystyle sen \ x = -2$

Aplicamos propiedad de función inversa:

$\displaystyle arc \ sen ( sen \ x ) = arc \ sen (-2)$

$\displaystyle arc x = arc \ sen(-2)$

Como sabemos y podemos observar en nuestro circulo unitario, la función seno no esta definida para valores mayores a 1, ni menores a -1 por lo tanto este caso no tiene solución.

La función se satisface cuando:

$\displaystyle x = \left \{ \begin{array}{l} x_1=30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_2=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

14 $\displaystyle sen \ 2x \cdot cos \ x = 6sen^3 \ x$

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

$\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta$

Sustituimos:

$\displaystyle sen(2 x)= 2 \cdot sen x \cdot cos x$

Entonces:

$\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos \ x )\cdot cos \ x = 6sen^3 \ x$

Simplificamos:

$\displaystyle 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x = 6sen^3 \ x$

Igualamos a cero la ecuación:

$\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) - ( 6sen^3 \ x)=0$

Factorizamos:

$\displaystyle - ( 6sen^3 \ x) +( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0$

$\displaystyle - ( 6sen^2 \ x \cdot sen \ x)+ ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0$

$\displaystyle - ( (3) \cdot (2) sen^2 \ x \cdot sen \ x) +( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0$

Extraemos el termino común $\displaystyle 2 \cdot sen x$ :

$\displaystyle (2) sen (x) \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +( cos^2 \ x ) \right ] =0$

Ahora vamos a factorizar la parte dentro del corchete :

$\displaystyle \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +( cos^2 \ x ) \right ]$

Reescribiremos el 3 como $\displaystyle \sqrt{ 3}^2$

$\displaystyle ( - \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) ) +( cos^2 \ x )$

Ordenamos para poder aplicar la diferencia de cuadrados :

$\displaystyle (a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2$

$\displaystyle ( cos^2 \ x ) - ( \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) )$

Aplicamos la ley de signos $\displaystyle a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2$ :

$\displaystyle ( cos \ x )^2 - ( \sqrt{ 3} \cdot sen x )^2$

Ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

$\displaystyle [ (cos \ x) + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ]$

Recordemos que este es el resultado de la parte del corchete que teníamos arriba, vamos a sustituirla en nuestra ecuación ahora que ya esta factorizado :

$\displaystyle [2 sen \ x] \cdot [ (cos \ x) + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] =0$

Es claro que para la ecuacion se satisfaga, basta con que uno solo de los corchetes, de como resultado cero, entonces tenemos 3 casos:

Caso 1, cuando $\displaystyle [2 sen \ x] =0$

Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación:

$\displaystyle sen \ x =0$

$\displaystyle x = arc \ sen \ 0$

Localizamos en el circulo unitario:

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} 0^{\circ} + 360^{\circ}k \\ 180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Caso 2, cuando $\displaystyle [ (cos \ x) + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ] =0$

Dividimos ambos miembros por cos x y usamos la identidad trigonométrica básica de la tangente:

$\displaystyle frac{ (cos \ x) + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) } {cos \ x } = \frac{0}{cos \ x}$

$\displaystyle 1 + \sqrt{ 3} \cdot \frac{ sen (x)}{cos \ x} =0$

$\displaystyle 1 + \sqrt{ 3} \cdot tg \ x =0$

Despejamos la variable :

$\displaystyle tg \ x =- \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\displaystyle x = arc \ tg \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

$\displaystyle x = 150^{\circ} + 180^{\circ}k$

Caso 3, cuando $\displaystyle [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ]=0$

Este caso es bastante similar al caso 2:

$\displaystyle 1 - \sqrt{ 3} \cdot tg \ x =0$

$\displaystyle tg \ x =\frac{-1}{- \sqrt{3}}$

$\displaystyle tg \ x =\frac{1}{ \sqrt{3}}$

$\displaystyle x = arc \ tg \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

$\displaystyle x = 30^{\circ} + 180^{\circ}k$

La ecuacion se satisface cuando x adquiere alguno de los siguientes valores :

$\displaystyle x= \left \{ \begin{array}{l} x_1=0^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_2=180^{\circ} + 360^{\circ} k \\ x_3 = 150^{\circ} + 180^{\circ} k \\ x_4 = 30^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

15 $\displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2} \right) +2cos \ x = 3$

Igualamos la ecuación a cero:

$\displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2} \right) +2cos \ x -3 = 0$

Aplicamos un cambio de variable, donde $\displaystyle u= \frac{x}{2}$

Sustituimos:

$\displaystyle 4 \cdot sen (u) + 2 \cdot cos (2u) -3 = 0$

Usamos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

$\displaystyle cos(2 \theta)= 1- 2 \cdot sen^2 \theta$

Sustituimos nuestra variable en la identidad:

$\displaystyle cos(2 u)= 1- 2 \cdot sen^2 (u)$

Sustituimos lo obtenido en nuestra ecuación :

$\displaystyle 4 \cdot sen (u) + 2 \cdot [1- 2 \cdot sen^2 (u) ] -3 = 0$

Desarrollamos:

$\displaystyle 4 \cdot sen (u) + 2 - 4 \cdot sen^2 (u) -3 = 0$

Sumamos términos semejantes y ordenamos:

$\displaystyle 4 \cdot sen (u) - 4 \cdot sen^2 (u) -1 = 0$

$\displaystyle - 4 \cdot sen^2 (u) + 4 \cdot sen (u) -1 = 0$

Realizamos otro cambio de variable, sea $\displaystyle sen(u) = v$

$\displaystyle - 4 v^2 + 4 v -1 = 0$

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado :

$\displaystyle v= \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 -4(-4)(-1) } }{2(-4)}$

$\displaystyle v= \frac{-4 \pm \sqrt{16 -16 } }{-8}$

$\displaystyle v= \frac{-4 \pm 0}{-8}$

$\displaystyle v= \frac{-4 }{-8}$

$\displaystyle v= \frac{1 }{2}$

Deshacemos el ultimo cambio de variable:

$\displaystyle sen \ u = \frac{1 }{2}$

$\displaystyle u = arc \ sen \ \left( \frac{1 }{2} \right)$

Localizamos los valores en nuestro circulo unitario y tenemos que:

$\displaystyle u= \left \{ \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Ahora deshacemos el primer cambio de variable:

$\displaystyle \frac{x}{2}= \left \{ \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

Despejamos la variable, multiplicando por 2:

$\displaystyle x = \left \{ \begin{array}{l} x_1= 60^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_2 = 300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.$

La ecuación se satisface cuando x adquiere cualquiera de esos 2 valores.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Miñarro

Junio

¡Hola! ¿Alguien sabe resolver este ejercicio?
(cosec a . cotg a) . sen a = 1 – cos a

silvia

Enero

(1/sen a * 1/tg a)* sen a =1-cos a
((sen a/sen a) * (sen a/ (sen a/cos a))) = 1-cos a
despeja
cos a = 1-cos a
cos a + cos a= 1
2*cos a = 1
cos a = 1/2
y finalmente resolver

Alberto

Marzo

No está bien resuelto.

Frank

Marzo

Como se resuelve la suguiente ecuacion trigonometrica.
Y=4sen2

Sofia ocamo

Marzo

Simplificar sqrt((Tgx + Ctgx + 2)/(Tgx + Ctgx)) – Cosx
alguien sabe

Luciana cam

Marzo

1-sen⁶x – cos⁶x = 3sen² x . Cos²x

Demostraste las siguientes igualdades

Shirley

Marzo

Hola ¿Alguien me puede ayudar con la resolución de estos ejercicio?
tg 2x=1
ctg^2 pi/2=3

Carla

Marzo

Hla quien puede sabe resolver este ejercicio

Nelson ignacio

Marzo

Hola alguien me lo resuelve grasias

(Tan x + ctg x) % (csc x) = sec x

Noelia

Abril

Cos x + 2 den x =2

Nogales

Octubre

Como resolver este ejercicio
1-cosx

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

No comprendo muy bien que quieres resolver.

Tal vez quisiste decir

1-cox=0

o
1-cox=1

es decir, como ecuación.

Podrías ser mas especifico por favor para poder ayudarte de una mejor manera ?

Nelson

Marzo

Javi 1723

Abril

Alguien me puede ayudar con este ejercicio de tang (2x)=1

Pedro rodriguez

Octubre

Ayudemen con estos ejercicios por favor
SenA
Cos3A
Tan2A
Ctan2A

Villarez

Octubre

Hola, en el ejercicio 16 de donde sale esta igualdad: cos(x)=cos^2(X/2)-sen^2(x/2)
He tratado de buscar alguna razón o identidad trigonométrica pero no soy capaz de verlo claro. Ojalá puedan despejar esta duda.

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

Entiendo, es complicado ya que no existe una identidad trigonométrica que realice esta operación de manera directa.
Pero tranquilo que ahora te lo explico:

Se realiza un pequeño cambio de variable :

u= x/2 o bien x=2u

Entonces:
cos(x) –> cos(2u)

y Ahora si

Cos(2u) = cos^2(u)-sen^2(u) He aquí la identidad trigonométrica que buscabas.

Ahora solo falta sustituir u, por su valor respecto a x

Cos(2(x/2)) = cos^2(x/2)-sen^2(x/2)

Cos(x) = cos^2(x/2)-sen^2(x/2)

En general, cuando se trata de estas ecuaciones, debes buscar el cambio de variable que te lleve a alguna identidad trigonométrica, y después de aplicarla, regresas a tu variable original, este paso lo puedes aplicar las veces que sean necesarias para ir simplificando tu ecuación.

Espero haberte ayudado!

Tania

Noviembre

2𝑡𝑎𝑛2 ∝ +𝑡𝑎𝑛 ∝= 0

Raquel

Marzo

CosA + sen²A / cosA = secA
Ayuda !!

Javi 1723

Abril

Alguien me puede ayudar con este ejercicio de tang (2x)=1

Delgado

Octubre

Muy buena explicación , paso a paso, solo me falta aprender bien las identidades trigonometricas y ahí entenderé bien algunas, saludos

Superprof

Octubre

¡Gracias!

Keynneris Diaz

Febrero

Demostrar que Xmax= vo²/g * sen2∅.
Sabemos que sen∅ * cos∅= 1/2 sen2∅

Nelson ignacio

Marzo

Hola alguien me lo resuelve grasias

(Tan x + ctg x) % (csc x) = sec x

Azamar

Noviembre

Muchas gracias por el aporte, me ayudó mucho para estudiar. No llegué a comprender del todo cómo obtener el segundo miembro de la solución; cómo obtener +180° ó +360°.
Aún así algunos problemas resultaron un reto para mí 😀 gracias.

Jimenez

Noviembre

Me ayudan con esto porfa secx=5/6

Carlos Alberto Palafox Benitez

Febrero

Necesitas usar la identidad trigonométrica básica siguiente:

sec x= 1 / cos x

Entonces tu ecuación quedaría así:

1 / cos x = 5/6

Multiplicamos ambos miembros por (cos x) :

1 = (cos x) 5/6

6 = (cos x) 5

6/5 = (cos x)

(cos x) = 6/5

x= arc cos (6/5)

El seno y el coseno son gráficas que están definidas en el intervalo de -1 a 1 , y como 6/5 es mayor que 1, eso significa que la ecuación no tiene solución en los reales.

Te invito a revisar el articulo, ah sido corregido recientemente y podría ayudarte mucho, ahí se explica lo del intervalo de -1 a 1

Mirta

Octubre

Me ayudan con este? No entiendo como de senx +cosx=1/3, se obtuvo: (2 T/1+t^2 ). + 1-t^2/ 1+t^2, y con eso se obutuvo t=( 3-raiz de 17)/4 y (3+ raiz de 17)/4. No sé como hacerlo y hace días estoy intentandolo

keilaticona

Febrero

como se resuelve esto
* resolver tnag 2x= 3tang x indicando la mayor solucion en 0<x<360° ?

Nayelis Katherine Galván Nieto

Abril

Hola alguien sabe cuál es el resultado del siguiente ejercicio
cot π/3 + (sen30°)x2

Mendoza

Mayo

Hola me ayudan a buscar la identidad trigonométrica de sen al 2(x) /1+cos(x) =1-cos(x)

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio

¡Buen día!

Resolvamos el ejercicio.

Quieres demostrar que sin^2 (x) / (1 + cos(x)) ) 1 – cos(x).

Vamos a partir de la identidad sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1.

De la identidad pasada tenemos que

sin^2 (x) = 1 – cos^2 (x)
sin^2 (x) = (1 – cos(x))(1 + cos(x))

Entonces, dividiendo entre 1 + cos(x) obtenemos la identidad deseada

sin^2 (x)/(1 + cos(x)) = 1 – cos(x)

Saludos.

Flores

Mayo

Alguien podría resolver este ejercicio: (tan o)^tan o = cos 45
Hallar cot o = ?

Gaspar Leon

Mayo

Hola,

El ángulo de la parte izquierda no puede ser 0, ya que sería indefinido y el lado derecho es igual a 1/sqrt{2}=sqrt{2}/2. Como en el lado izquierdo la base y el exponente son iguales y su resultado debe ser sqrt{2}/2, necesitamos un número que elevado a si mismo nos dé como resultado sqrt{2}/2; tanto 1/4 como 1/2 satisfacen por lo que:

Tan x = 1/2, por lo que cot x = 2;

Tan x = 1/4, por lo que cot x = 4;

Debes tener cuidado puesto que pueden existir más valores que satisfagan, ya que tan x es periódico.

Saludos

Perez

Mayo

Me podrian ayudar
Realiza la demostracion de las siguientes identidades trigonometricas
A. Sen2 x+3=4-cos2 x
B. Csc x÷ senc x= cot x
C. (1+ cos x) (1-cos x)= sen2 x
Ayuda pliss

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, con gusto te apoyamos.

Para demostrar A

Sabemos que

Sen²(x) + Cos²(x) = 1

Sen²(x) = 1 – Cos²(x)

sumamos 3 a la ecuación

Sen²(x) + 3 = 4 – Cos²(x)

Para demostrar B

Cos(x)/Sen(x) = Cos(x)·(1/Sen(x))

Cos(x)/Sen(x) = Cos(x)·Csc(x)

Usamos el hecho de que a = 1/(1/a) para reescribir el Cos(x)

Cos(x)/Sen(x) = 1/(1/Cos(x))·Csc(x)

Cos(x)/Sen(x) = 1/Sec(x)·Csc(x)

Sabemos que Cos(x)/Sen(x)=Cot(x) por definición

Cot(x) = Csc(x)/Sec(x)

Para demostrar C solo desarrolla el producto y usa la misma identidad que usamos en A.

Espero los comentarios y las soluciones te sean útiles,
¡saludos!

Cristhian Encina

Mayo

Como resolver 16senx × tan5x – 9tan5x=0???

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola Cristhian, comenzamos con factorizar Tan⁵(x)

16 Sen(x)·Tan⁵(x) – 9 Tan⁵(x) = 0

Tan⁵(x)(16 Sen(x) – 9 )= 0

Una solución es cuando

Tan⁵(x) = 0

esto implica que

Tan(x) = 0

y a su vez

x = Tan^-1(0)

x = 0°

si x&neq;0, entonces

16 Sen(x) – 9 = 0

despejamos x

16 Sen(x) = 9

Sen(x) = 9/16

x = Sen^-1(9/16)

x = 34.23°

finalmente hay dos soluciones x=0 y x=34.23

Espero encuentres la solución clara y útil,
¡saludos!

Cañas joshua

Mayo

Como resolver la ecuación la siguiente ecuación

4cos x – 3sec x =0

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, primero usaremos la definición de secante

4Cos(x)-3Sec(x) = 0

4Cos(x)-3(1/Cos(x)) = 0

4Cos(x)-3/Cos(x) = 0

ahora multiplicamos toda la ecuación por Cos(x) para ya no tener fracciones

4Cos²(x)-3 = 0

despejamos Cos(x)

4Cos²(x) = 3

Cos²(x) = 3/4

Cos(x) = √(3/4)

Cos(x) = 0.8660

despejamos x

x = Cos^-1(0.8660)

x = 30°

La solución a la ecuación es x=30°

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Cruz

Mayo

Me pueden ayudar con este ejercicio porfis
cscs x + cot x = raiz de 3

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, primero usaremos las definiciones de cosecante y cotangente

Csc(x) + Cot(x) = √3

1/Sen(x) + Cos(x)/Sen(x) = √3

(1 + Cos(x))/Sen(x) = √3

multiplicamos por Sen(x) toda la ecuación

1 + Cos(x) = √3 Sen(x)

1 = √3 Sen(x) – Cos(x)

dividimos entre 2

1/2 = (√3/2) Sen(x) – (1/2) Cos(x)

Notamos que la parte derecha de la ecuación tiene parecido con la fórmula del seno de la diferencia y como

Sen(30) = 1/2

Cos(30) = √3/2

reescribimos la ecuación

1/2 = Cos(30) Sen(x) – Sen(30) Cos(x)

usamos la fórmula del seno de la diferencia

Sen(a – b) = Sen(a) Cos(b) – Cos(a) Sen(b)

para obtener

1/2 = Sen(x – 30)

Sen(x – 30) = 1/2

x – 30 = Sen^-1(1/2)

x – 30 = 30

x = 60°

Entoces la solución a la ecuación inicial es x=60°

Espero la explicación te parezca clara,
¡saludos!

Cortez

Junio

Operaciones con funciones trigonometrícas.
Como resolver este ejercicio.
2(sen 30°) × (cos 60°)
3(sec 0°) + (sen 270°)
1/2(cos 180°) – (sec 360°)

Gaspar Leon

Junio

Hola,

a partir de un triángulo equilátero de lado 2 trazamos una bisectriz en uno de sus vértices y obtenemos dos triángulos rectángulos idénticos con hipotenusa c=2, catetos a=1, b=√(3) y ángulos A=30°, B=60°, C=90°. Con estos datos obtenemos
sen30°=cos60°=1/2;
sen60°=cos30°=√(3)/2

Para el primer ejercicio se tiene
2(sen 30°) × (cos 60°) = 2(1/2)(1/2)=1/2

Para el segundo ejercicio utilizamos el hecho que cos 0°=1 y sen 270°=-1, sustituyendo se tiene
3(sec 0°) + (sen 270°) = 3(1/cos 0°) + (sen 270°) = 3(1) + (-1) = 2

Para el tercer ejercicio utilizamos el hecho que cos 180°=-1 y cos 360°=1, sustituyendo se tiene
(1/2)(cos 180°) – (sec 360°) = (1/2)(-1) – (1/cos 360°) = -(1/2) – 1 = -3/2

Un saludo

soriano

Junio

Hola, quería preguntar cómo se haría una ecuación, pues me he quedado pillado.
Sería : senx «por» cosx = 1/2

Una ayuda me serviría de mucho, muchas gracias 🙂

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, para resolver este problema debemos conocer la identidad del seno del doble ángulo

sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

La ecuación que quiero resolver es

sen(x) cos(x) = 1/2

multiplicamos por 2

2 sen(x) cos(x) = 1

usamos la identidad que mencioné al inicio y obtenemos que

sen(2x) = 1

entonces

2x = sen^-1(1)

2x = 90°

x = 90°/2 = 45°

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Mendoza

Junio

Arcocos2x-Arcocos=Pinformación sobre 3
Me ayudarían porfa vor es urgente

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

¿Podrías ser más clara con el ejercicio que requieres para poderte apoyar a resolverlo? Ya que no se entiende bien la expresión que nos comentas.

¡Un saludo!

Daniel

Junio

Buenas Noches me ayudan con éste ejercicio sen^2X+tg^2X=0
Gracias

Juan Manuel Sanchez Perez

Julio

¡Hola, Daniel! Con mucho gusto te ayudamos. Tienes la ecuación:

$\sin^2 x + \tan^2 x = 0$

Esto es equivalente a

$\displaystyile \sin^2 x = -\tan^2 x = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

Observa que si $\sin x = 0$ , entonces ambos lados de la ecuación se vuelve 0, por lo que satisface la ecuación. Es decir, si $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$ , entonces la ecuación se cumple (esta es «parte» de la solución).

¿Qué ocurre si $\sin x \neq 0$ ? Entonces podemos dividir ambos lados por $\sin^2 x \neq 0$ lo que nos da

$1 = - \frac{1}{\cos^2 x}$

Es decir, $\cos^2 x = -1$ . Como estamos trabajando con números reales, entonces concluimos que ningún otro $x$ satisface la ecuación. En conclusión, la solución a la ecuación es $x = n\pi$ para todo $n \in \mathbb{Z}$ .

Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas. ¡Un saludo!

Arancibia

Junio

Como resolver este ejercicio (3 cos x +7) (-2sen x -1)

Juan Manuel Sanchez Perez

Julio

¡Hola!

¿Qué es lo que se te pide el ejercicio? Si se trata de resolver una igualdad, ¿qué cantidades están igualadas? Puede que tu ecuación sea

$3\cos x + 7 = -2\sin x - 1$ ,

O también puede que sea

$(3\cos x + 7)(-2\sin x - 1) = 0$

Si nos das más información sobre tu ejercicio con gusto te ayudamos. ¡Recibe un saludo!

Rocha

Junio

Como resolver este ejercicio
Sin^2(x)= SinxCosx

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, primero notamos que x = 0 es una solución, pues Sen(0) = 0. Ahora suponiendo que Sen(x) ≠ 0, podemos dividir entre eso

Sin²(x) = Sin(x)Cos(x)

Sin(x) = Cos(x)

entonces

Sin(x)/Cos(x) = 1

usamos la definición de tangente

Tan(x) = 1

x = Tan^-1(1)

x = 45º

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Garcia

Julio

Hola me podrian ayudar con este ejercicio cos x= 1

Gaspar Leon

Julio

Hola,
este ejercicio ya se encuentra resuelto en esta página. Es el número 5 del primer bloque de ejercicios.
Un saludo

acosta

Julio

necesito resolver tres ecuaciones que me tienen bien enredadas
2senx secx – 4senx + secx – 2 = 0
cosx tnagx – cosx + tanx – 1=0
2senx cosx- 2senx – raiz3 cosx + raiz3 = 0

Gaspar Leon

Julio

Hola,

para factorizar las ecuaciones trigonométricas primero separamos en dos grupos y aplicamos factor común, luego al resultado volvemos a aplicarle factor común y encontramos las raíces

$2senx secx - 4senx + secx - 2 = 0 \\ 2senx(secx-2)+(secx-2)=0 \\ (secx-2)(2senx+1)=0$

Aplicando que secx=1/cosx, las raíces son

$secx-2=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ secx=2 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=\frac{1}{2}, \\ 2senx+1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ senx=-\frac{1}{2}$

Ubicamos en el círculo unitario los valores de x que satisfacen la igualdad y consideramos todas las vueltas sobre el círculo unitario, esto es, le agregamos 360°k donde k toma todos los valores enteros

$cosx=\frac{1}{2}, \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{l}60^o+360^ok \\ 300^o+360^ok \end{array}\right.$
$senx=-\frac{1}{2}, \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{l}210^o+360^ok \\ 330^o+360^ok \end{array}\right.$

Para el segundo ejercicio se tiene

$cosx tanx - cosx + tanx - 1 = 0 \\ cosx(tanx-1)+(tanx-1)=0 \\ (tanx-1)(cosx+1)=0$

$tanx-1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ tanx=1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{l}45^o+360^ok \\ 225^o+360^ok \end{array}\right., \\ cosx+1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=-1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=180^o+360^ok$

Para el tercer ejercicio se tiene

$2senx cosx - 2senx - \sqrt{3}cosx + \sqrt{3} = 0 \\ 2senx(cosx-1)-\sqrt{3}(cosx-1)=0 \\ (cosx-1)(2senx-\sqrt{3})=0$

$cosx-1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=0^o+360^ok, \\ 2senx-\sqrt{3}=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ senx=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{l}60^o+360^ok \\ 120^o+360^ok \end{array}\right.$

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

tali

Septiembre

tengo un problema con ejercicio no se como resolverlo, me ayudan?
Senx+2=Cosecx

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Octubre

Hola tali.

Primero debemos recordar que $cosec(x)=\frac{1}{sen(x)}$ , por lo que tendríamos:

$sen(x)+2=\frac{1}{sen(x)}\Rightarrow sen^{2}(x)+2sen(x)-1=0$

hacemos un cambio de variable tomamos $u=sen(x)$ por lo que la ecuación de arriba quedaría $u^{2}+2u-1=0$ , podemos usar la formula general de segundo grado para encontrar las raíces de la ecuación por lo que tendriamos que $u=-1\pm\sqrt{2}$ , tomando solamente $u=-1+\sqrt{2}$ recordando que $u=sen(x)$ , y aplicando la función $arcsen(x)$ obtendríamos:

$u=-1+\sqrt{2} \Rightarrow sen(x)=-1+\sqrt{2} \Rightarrow x=arcsen(-1+\sqrt{2}) \Rightarrow x=24.4693^{o}$

Saludos.

PanaDíaz

Septiembre

Determinar las soluciones de la ecuación 6+2 sen x=7 en el intervalo [0,2π]
¿ALGUIEN SABE SOBRE ESTOOOOOO? HELPMEEE.

alonso

Septiembre

alguien sabe este ejercicio: f(x)=x(senx-3cosx)

cris

Septiembre

𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑋𝐶𝑜𝑠 2 𝑥− 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥1− 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 en este ejercicio puede resolver el segundo miembro de la igualdad para llegar al primero
saben como rresober

Lopez

Septiembre

Hola, como puedo resolver este ejercicio para 0 < x < 2pi
sen^3x – 2 = -3sen ^3x

Pulgarin

Septiembre

Hola, necesito ayuda con este ejercicio (0 < x < 2pi)
sen^3x – 2 = -3sen^3x

Ezequiel

Septiembre

Hola alguien me podria ayudar , comose.resuelve estos ejercicios

Fx= -3 sen (×+ 15)

Fx= 1/2 sen (× + 12) +1

Fx= 4 cos (×) -3

Fx= -cos (× – 25) + 4

JONATHAN

Septiembre

hola me ayudan porfa

TAN X +1=0
COSX-1=0
SENX=COSX
COSX * +1=0

Yulitza

Octubre

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones para 0< x <360º

Yulitza

Octubre

A) Sen² teta = 1/4

B) Tan²teta-3=0

Angie Carolina

Octubre

Hola, alguien sabe resolver este ejercicio?? 3cos²(x) +3 Cos(x)=sen²(x)-2. Es un ejercicio de ecuaciones trigonometrícas

Angie

Octubre

Hola , me pueden ayudar, porfavor sen(2x)Cos(x)=6sen³(x) el tema es ecuaciones trigonometrícas

Lady

Octubre

Hola pordavor me podrian ayudar con este ejercicio Cos2x+senx=4sen^2x

merlina

Octubre

saben como resolver (1-senx )(1+senx)=cos^2x

Aleja

Octubre

Hola alguien me puede ayudar con este ejercicio
Si: x + y =270°
Calcular: E = den( tgx + tgv )

ana

Octubre

hola quisiera saber como se resuelve esta ecuacion trigonometrica.
2 sen^2 +-cos +-1= 0

David Velazquez Felipe

Octubre

como empiezo a resolver este ejercicio y si me lo pueden explicar de favor
cosB(sec^3B-cscB)-tan^3B(cotB-cot^4B)dB
B=beta

Nicol

Octubre

Hola Lic. tengo un problema que dice así: «el menor valor positivo del arco X que verifica la ecuación Sen(x-135º)/2 = 1» No sé de donde partir ni mucho menos de como resolverlo. Espero su pronta respuesta. Muchas gracias por todos sus contenidos me son de muchísima utilidad

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre

Hola Nicol.

Si te refieres a $\frac{sin(x-135^{o})}{2}=1$ , lamento decirte que esto no tiene solución, o al menos no tiene solución en los números reales.

Si te refieres a $sin\big(\frac{x-135^{0}}{2}\big)=1$ , entonces hacemos lo siguiente. Sabemos que $sin(x)=1$ si $x=2n\pi+\pi/2$ , donde $n$ es un número entero. Entonces si hacemos $135^{o}=3\pi/4$ tenemos que:

$sin\big(\frac{x-135^{0}}{2}\big)=1 \Rightarrow \frac{x-135^{0}}{2}=2n\pi+\pi/2$

$\Rightarrow x-135^{o}=4n\pi+\pi \Rightarrow x-3\pi/4=4n\pi+\pi \Rightarrow x=4n\pi+7\pi/4$

Ahora $x$ obtiene el menor valor positivo cuando $n=0$ , por lo que tenemos que $x=7\pi/4$

Saludos.

Neithan

Octubre

¿Cómo se podría resolver lo siguiente? 🙁
4senθ -1 = 2senθ + 1

Paola

Noviembre

Quien me puede ayudar con este punto
1. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas.
a. Cos A = 1
b. 2Cos X + 1 = 0
c. 1 + Sen B = 0
d. 5 Cos β + 2 = 0

Lina

Noviembre

Me Podrían Ayudar Con Este Problema Se Los Agradecería De Corazón
Sen 2 x + sen x = 2

nicole

Noviembre

Resuelva la ecuación

3cos x = 5sen x , para x en el intervalo

0> x ≤ 360o .

junior stiven

Noviembre

necesito ayuda con esta por favor no la entiendo bien 5𝑠𝑒𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥=5(−𝑐𝑜s^2 𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑥

ALEJANDRO RUIZ

Noviembre

como resolver este ejercicio
2Cos 2x/sen 2x

Fernando

Noviembre

Si sabemos que tan x = cotg 3x. COmo se resuelva

Angie Rodríguez

Noviembre

Un favor ayúdenme con este ejercicio
4cos(x/3)+7sen(x/3)
a llevarlo solo en función de coseno

Carlos

Noviembre

Hola, realmente agradecería si me ayudaran a resolver el siguiente ejercicio: Cosx+3Senx=1
Siento que está fácil pero siempre que intento resolverle me estanco y no puedo continuar, si pueden les agradecería bastante.

Joako

Noviembre

como se resolvería esto ?
1-2 cos2 x = 0
(cos al cuadrado)

laura

Noviembre

1-2(1-sen2x)=0
1-2sen2x=0
ordenamos:
-2sen2x+1=0
-sen2x=2-1
-sen2x=1
-senx=√1
-√1=senx

no estoy segura si esta bien

alice

Noviembre

como se podria resolver en:

L= -tgx.sen(2π-x) ÷ ctg(π/2 +x) cos(π+x)

Tania

Diciembre

cos^2 X= 0

sara

Diciembre

¡Hola! ¿Alguien sabe resolver este ejercicio?

𝑠𝑒𝑐2𝑥 +2𝑡𝑎𝑛2𝑥 +3 = 0 para x comprendido entre 0° y 360°

Eneida

Diciembre

No logro entender bien llos problemas

Andrea

Diciembre

Hola, alguien me podría ayudar con esta ecuación por favor?

2sin(2x) = √3 cos(x)

Mariana

Diciembre

¿Saben cómo resolver este?
(tan^2x-4)(2cosx+1)=0

Mariana

Diciembre

Hola, ¿me pueden ayudar resolviendo este por favor?
(tan^2x-4) (2cosx+1) =0

meli

Diciembre

me pueden ayudar con este ejercicio por favor
f(x)=-2cos((1)/(2)x+1)
necesito sacar la amplitud el periodo y el desplazamiento

Diana

Diciembre

Hola me pueden ayudar con este ejercicio Resolver Tan 5x = 1; Dar las 4 primeras soluciones gracias 🙂

Rene

Febrero

Me ayudan con este
Sin 8+ cos 3

Rosa

Enero

Hola, esta ecuación la hemos intentado paro no hay manera. Alguien sabe como resolverla?

1 + sen 2x = (cos x + sen x) / (cos x + sen x)

gracias anticipadas

Evelyn Riofrio

Enero

Me ayudan porfa con este ejercicio (senx)^4 – (cosx )^4=1/2
Determinar el valor de cos (x)

yyxy

Enero

– si: senα = ✓3/3
determinar
E= ✓✓2tgα + ✓3cscα

– si se tiene que θ es agudo y cosθ
calcular
E= csc²θ + 4/✓7 ctgθ

alan

Febrero

buenas noches me podrían ayudar a resolver este ejercicio
2 cos2 -3 cos -2 = 0

pablo

Febrero

(1-cos x) . ( 1+sen x )

MON

Febrero

Si: 2Senx + 1 = 0 ; Tany = √3 Además xelement ofIIIC ; yelement ofIC

Calcula: Cos(x + y)

luisa

Febrero

por favor algien que me ayude para verificar la identidad senx+cosx=1+tagx/secX

maria

Febrero

alguien me puede ayudar a resolver
un triangulo con esos datos

razones trigonometricas 12raiz2m y pi raidanes 4

Genesis reyes

Febrero

alguien me ayuda me puede explicar esto
cos x – sen y=0
cos x +sen*y=3/4
el asterisco es al cuadrado que ,pero le puse eso por que el 2 al cuadrado no quiere poner

Lola

Febrero

Alguien me ayuda por favor 🥺🥺

1) simplificar:

S= Cos330^ .Clg300^ .Csc135^
Sec315^ .Sen300^ .Tg330^

José Quintana

Febrero

saludos he tratado de resolver esta igualdad, me pueden encaminar en su demostracion?

Cos2x/Sen2x+Sen2x/cox= Coscx

Marta

Febrero

Hola buenas, solo quería comentar que algunas soluciones no son correctas del todo. Por ejemplo en el 10 aparecen dos soluciones pero solo una verifica la igualdad, en este caso particular solo x=30+2kpi verifica senx+raiz(3)cosx=2, la otra solución no es válida ya que sen(330)+raiz(3)cos(330)=1 y debería ser igual a 2. (Corríjanme si me equivoco)

Para los alumnos: hay que COMPROBAR siempre las soluciones =)

Un saludo y perdón por las molestias.

mirian valdez

Febrero

ayuda 4cos^2 x-1=0

Leonidas

Febrero

Este porfavor
4cos² x-3=0

Fernando

Febrero

3 Sen (2x) = 0

mercedes

Febrero

hola buenas noches alguien me podría ayudar con este ejercicio senx+tanx=cosx/1-senx

Yury

Febrero

Como se puede resolver este ejercicio
5 cosx + 7= 35 cosx + 7

steven

Febrero

Hallar: 11cos(x) – 3cotan(x)

jjjejjeje

Marzo

1/csc-cot=csc+cot

Ana

Marzo

Buen dia por favor alguien me puede ayudar con este ejercicio
3𝑡𝑔2𝑥 + 2√3 tgx-3= 0

Luciana cam

Marzo

1-sen⁶x – cos⁶x = 3sen² x . Cos²x

Demostraste las siguientes igualdades

Nelson ignacio

Marzo

Hola alguien me

(Tan x + ctg x) % (csc x) = sec x

Locris

Marzo

1+senx=2sen²x
Alguien me ayuda

Ivis

Marzo

Por favor me podría ayudar con la resolución de este ejercicio
Sen2x=senx.
Me dan tres resultados que son 0, ±π\3, ±π

hola

Marzo

alguien sabe como resolver esto?
(sen 2 X ) ( Sec2 ) ( Cos 2 x) = 1-cos2 x

INES

Abril

ALGUIEN PUEDE RESOLVERLO ESTE EJERCICIO Y QUE DE ESE RESULTADO
tan x sin2 ydx + cos2 x cot ydy = 0

Rspta. cot2y = tan2 x = C

aslie

Abril

si el triangulo rectángulo el valor de ctg (x)=2/5 y sen(x) en negativo. el coseno del mismo Angulo cual es?

Noelia

Abril

Cos x + 2 den x =2

dayanna

Abril

quisiera que me ayuden con estos ejercicos que no me salae porfa
1._Resolver la ecuación sen x = -1 en [0,2π]
2._Resolver la ecuación 〖2cos〗^2 x tag x-tag x=0 en [0,π]

dayanna

Abril

porfa estoy biendo ecuaciones trigonometricas porfa necesito de urgencia porfa

Johagna

Abril

Hola necesito resolver los siguientes ejercicios a) 2 cos² x – √2=0 b) √3 Ctang X + 1=0, por favor ayuda

LULI

Abril

Hola alguien sabe resolver este ejercicio por favor? por identidades trigonométricas
ctgx=sen2x/1-cos2x

Isabel

Abril

Me puede ayudar sen k= 4/5 y Tan k= 4/3

mariza

Abril

Hola alguien me ayuda 2cos x =1

Nikoll

Abril

hola
Alguien sabe resolver este ejercicio
1/cos(-x) – tan(-x)sen(-x)=cosx

Any

Mayo

Como podria resolver esto:

Sen^2(x) – 3sen(x) = 0

Yael

Mayo

me encanto, de verdad encuentro todo para aprender, estoy muy agradecida <3

Superprof

Mayo

Gracias por tu comentario, Yael ❤️

Meli

Mayo

Como se resuelve este ejercicio
4sinx-2=0

Ejercicios resueltos sobre las ecuaciones trigonométricas

Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

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Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas pitagóricas

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Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

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