Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

Para poder resolver los ejercicios siguientes es necesario tener a la mano las siguiente herramientas:

 

  1. Círculo unitario
  2. Identidades trigonométricas básicas
  3. Identidades trigonométricas pitagóricas
  4. Identidades trigonométricas pares e impares
  5. Identidades trigonométricas para ángulos dobles
  6. Identidades trigonométricas para ángulos medios
  7. Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

 

 

Círculo unitario

 

La tabla conocida como círculo unitario, la cual contiene los valores de los radios mas representativos usados en la trigonométrica, ademas, el nombre de este círculo se debe a que es un círculo con radio 1.

 

Circulo unitario representación grafica

 

Con esta herramienta sera muy sencillo localizar el valor de los ángulos, por ejemplo, si quisiéramos conocer el valor de \displaystyle x=arc \ sen(-1) , simplemente debemos ubicarnos en el eje del seno, es decir, el eje y, y luego ubicarnos en el valor  -1 .

Notaremos que la tabla indica que el angulo es \displaystyle 270^{\circ} lo cual es el valor en grados, pero también existe el valor en radianes, el cual es \displaystyle  \frac{3 \pi }{2}

Cuando necesitamos localizar los valores para la tangente, recordemos que la tangente es una linea recta que toca a la circunferencia en un único punto, en el caso de esta circunferencia, la tangente que se utiliza es aquella que toca el unto de los \displaystyle  0^{\circ}, 360^{\circ}    y la altura de la tangente dependerá del valor en la ecuación, por ejemplo, en la ecuación  \displaystyle  tan \ x= 1  despejamos la variable y obtenemos \displaystyle   x= arc \ tan \ 1  , entonces buscamos la tangente de altura  1 y trazamos la linea hasta el origen, observaremos el punto donde se intersecta con la circunferencia, y buscaremos el valor en la tabla

La tangente en el circulo unitario grafica

 

Corresponde a \displaystyle\frac {\pi}{4} = 45^{\circ}

También podría decirse que corresponde a \displaystyle arc \ sen \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) o \displaystyle arc \ cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

 

 

Identidades trigonométricas básicas

 

Las identidades trigonométricas son igualdades definidas que nos ayudan a realizar el trabajo algebraico sin rompernos la cabeza

 

Identidades trigonométricas básicas representacion grafica

 

Identidades trigonométricas pitagóricas

 

Identidades trigonométricas pitagóricas representacion grafica

Identidades trigonométricas pares e impares

 

 

Identidades trigonométricas pares e impares representacion grafica

 

Ángulos dobles y ángulos medios

 

 

Ángulos dobles y ángulos medios formulas

 

 

Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma grafica

 

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Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas

 

Resuelve despejando la variable y localizando los valores en el círculo unitario

 

1  \displaystyle sen \ x=0

 

2  \displaystyle  cos\ x=0

 

3  \displaystyle tg\ x=0

 

4  \displaystyle sen\ x=1

 

5 \displaystyle cos\ x=1

 

6  \displaystyle tg\ x=1

 

7  \displaystyle sen\ x=-1

 

8 \displaystyle cos\ x=-1

 

9 \displaystyle tg\ x=-1

 

10 \displaystyle sen\ x=\frac{1}{2}

 

11 \displaystyle sen\ x=-\frac{1}{2}

 

12 \displaystyle cos\ x=\frac{1}{2}

 

13 \displaystyle cos\ x=-\frac{1}{2}

 

 

Para resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas es necesario recordar la propiedad de la función inversa:

\displaystyle f \circ f^{-1} =x

 

1  \displaystyle sen\ x =0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \  x)= arc \  sen \ 0

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \ 0

Nos ubicamos en el del seno, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ sen \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=0^{\circ},360^{\circ},720^{\circ},... \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k  & x_{2}=180^{\circ},540^{\circ},900^{\circ},...\end{array} \right.

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

2 \displaystyle cos \ x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \  0

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \ 0

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=90^{\circ},450^{\circ},810^{\circ},... \\ x_{2}=270^{\circ} + 360^{\circ} k  & x_{2}=270^{\circ},630^{\circ},990^{\circ},...\end{array} \right.

 

\displaystyle x= 90^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

3  \displaystyle tg \  x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \  0

 

\displaystyle x= arc \ tg \ 0

 

En nuestra tabla, visualicemos una tangente de altura cero, obviamente al buscar el valor en el círculo unitario encontraremos que corresponde a cero grados, entonces:

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

4 \displaystyle sen \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \  1

 

\displaystyle x= arc \ sen \ 1

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \ 1

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 90^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

5 \displaystyle cos \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \ 1

 

\displaystyle x= arc \ cos \ 1

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \ 1

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

 

6  \displaystyle tg \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \ 1

 

\displaystyle x= arc \ tg \ 1

 

Este ejercicio se mostró en el ejemplo a principio de la lección donde podrás observar la representación gráfica.

Visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

 

 

\displaystyle x= 45^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

7 \displaystyle sen \  x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen   (-1)

 

\displaystyle x=arc \ sen(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen ( -1)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 270^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

8  \displaystyle cos \  x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos   (-1)

 

\displaystyle x= arc \ cos(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen ( -1)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 180^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

9 \displaystyle tg \  x=  -1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg  ( -1)

 

\displaystyle x= arc \ tg(-1)

 

Ubicándonos en la coordenada  (-1,0)   visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

grafica de circulo unitario con los angulos

 

\displaystyle x= 135^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

10  \displaystyle sen \  x=\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left( \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  \frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  \frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

11  \displaystyle sen \  x=-\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left (-\frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left( -\frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  -\frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  -\frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( -\frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=210^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

12  \displaystyle cos \  x=\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos  \left( \frac{1}{2}  \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \left( \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle  \frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  \frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=60^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

13  \displaystyle cos \  x=-\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos  \left( -\frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left(- \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  -\frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  -\frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \left(  -\frac{ 1 }{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_{1}=120^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=240^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

 

Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

 

1  \displaystyle sen \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{3} }{2}

 

 

1  \displaystyle sen \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{3} }{2}

 

Para resolver la ecuacion, buscaremos en la tabla los valores de \displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right)

\displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right)     \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  sen \ 60^{\circ} \\ sen \ 120^{\circ} \end{array} \right.

 

Esto nos da 2 casos posibles, sustituimos para el primer caso

 

\displaystyle x+45^{\circ} = 60^{\circ}

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle x = 60^{\circ} - 45^{\circ}

 

\displaystyle x_1= 15^{\circ} +360^{\circ}k

 

Sstituimos para el segundo  caso

 

\displaystyle x+45^{\circ} = 120^{\circ}

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle x = 120^{\circ} - 45^{\circ}

 

\displaystyle x_2= 75^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

 

2 \displaystyle 2tg \ x -3cotg \ x -1 =0

 

 

2 \displaystyle 2tg \ x -3cotg \ x -1 =0

 

Usando las identidades trigonométricas, trataremos de simplificar esta ecuación en funciones mas simples como seno, coseno o tangente

 

Usemos la identidad trigonométrica  \displaystyle cot \  \theta  = \frac{1}{tan \ \theta }

 

\displaystyle 2tg \ x - 3 \cdot \frac{1}{tg \ x}-1 =0

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica  \displaystyle tg\  \theta  = \frac{sen \theta }{cos \ \theta }

 

\displaystyle  2 \cdot \frac{ sen \ x}{cos \ x} - \frac{3}{ \frac{sen \ x}{cos \ x} } -1 =0

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot sen \ x}{cos \ x} - \frac{3 \cdot cos \ x}{sen \ x } -1 =0

 

Realizaremos la resta de fracciones utilizando el producto cruzado para obtener:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen \ x) \cdot (sen \ x) - (3 \cdot cos \ x  ) \cdot (cos \ x)}{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0

 

Convertimos la unidad en una fracción equivalente con el mismo denominador:

 

\displaystyle  1= \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)}

 

Sustituimos y simplificamos

 

\displaystyle  \frac{ 2 (\cdot sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} - \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} =0

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)}  =0

 

Ahora multiplicamos ambos miembros de la ecuación por \displaystyle \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]

 

Por el lado izquierdo tenemos :

 

\displaystyle  \left[ \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} \right] \cdot \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]

 

Al simplificar obtenemos:

 

\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x)

 

Por el lado derecho tenemos \displaystyle 0 \cdot \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right] lo cual claramente es igual a cero

 

Entonces:

 

\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) = 0

 

Factorizamos:

 

\displaystyle   (2 sen \ x - 3 cos \ x) \cdot (sen \ x + cos \ x ) = 0

 

Ahora existen 2 casos:

 

Primer caso: despejando el primer termino

 

\displaystyle   2 sen \ x - 3 cos \ x = \frac{0}{ (sen \ x + cos \ x )}

 

\displaystyle   2 sen \ x - 3 cos \ x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por \displaystyle   cos \ x

 

\displaystyle   \frac{2 sen \ x - 3 cos \ x}{cos \ x}  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle   \frac{2 sen \ x }{cos \ x} - \frac{3 cos \ x}{cos \ x}   = 0

 

\displaystyle   2 \cdot \frac{ sen \ x }{cos \ x} - 3   = 0

 

Utilizaremos la identidad \displaystyle  tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}

 

\displaystyle   2 tg \ x - 3   = 0

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle   2 tg \ x    = 3  \Rightarrow  \ \ \ tg \ x= \frac{3}{2}

 

\displaystyle    x= arc \ tg \left( \frac{3}{2} \right)

 

\displaystyle x=56^{\circ}18'35''+180^{\circ}k

 

 

Segundo  caso: despejando el segundo termino

 

\displaystyle   sen \ x + cos \ x  = \frac{0}{(2 sen \ x - 3 cos \ x) }

 

\displaystyle  sen \ x + cos \ x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por \displaystyle   cos \ x

 

\displaystyle  \frac{sen \ x + cos \ x}{ cos \ x }  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle  \frac{sen \ x }{ cos \ x } + \frac{cos \ x }{cos \ x}  = 0

 

\displaystyle  \frac{sen \ x }{ cos \ x } + 1  = 0

 

Utilizaremos la identidad \displaystyle  tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}

 

\displaystyle tg \ x + 1  = 0

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle tg \ x   = -1  \Rightarrow  \ \ \  x= arc \ tg \ (-1)

 

Ahora buscamos el valor en nuestro círculo unitario como hemos hecho anteriormente

 

\displaystyle x=135^{\circ}+180^{\circ}k

 

 

3  \displaystyle 3sen^2 \ x -5sen \ x +2 =0

 

 

3 \displaystyle 3sen^2 \ x -5sen \ x +2 =0

 

Podemos observar claramente que la ecuación es de la forma :

 

\displaystyle ax^2 +bx +c =0

 

Es decir, una ecuación de segundo grado que se puede resolver mediante la formula general:

 

\displaystyle  x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle sen \ x= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 -4(3)(2) } }{2(3)}

 

\displaystyle sen \ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24} }{6}

 

Caso 1:

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{5+1}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= 1

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x= arc \ sen \ 1

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

\displaystyle x=90^{\circ}+360^{\circ}k

 

Caso 2: 

 

\displaystyle sen \ x = \frac{5-1}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{4}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{2}{3}

 

Despejamos la variable :

 

\displaystyle   x= arc \ sen \ \left( \frac{2}{3} \right)

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} 41^{\circ} 48'37''+ 360^{\circ}k  \\ 138^{\circ}11'23'' + 360^{\circ} k \end{array} \right.

4  \displaystyle cos^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

 

4 \displaystyle cos^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

Utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

 \displaystyle  cos^2 \ \theta  = 1- sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow 1- sen^2 \ x

 

\displaystyle 1-sen^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

Sumamos términos semejantes:

 

\displaystyle 1-4sen^2 \ x=0

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle sen^2 \ x =\frac{1}{4}

 

\displaystyle sen \ x =\sqrt{ \frac{1}{4} }

 

\displaystyle sen \ x =\pm \frac{1}{2}

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( - \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{3}=210^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{4}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

5  \displaystyle cos \ 2x= 1+4sen \ x

 

 

5  \displaystyle cos \ 2x= 1+4sen \ x

 

Usaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle cos(2 \theta) = \left\{  \begin{array}{l}cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta \\ 1- 2sen^2 \ \theta \\ 2cos^2 \ \theta -1 \end{array}    \right.

 

De las 3 opciones que tenemos, utilizaremos la primera  \displaystyle  cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos \ 2x \Rightarrow cos^2 \ x - sen^2 \ x

 

\displaystyle cos^2 \ x - sen^2 \ x  = 1+4sen \ x

 

Ahora utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

\displaystyle  cos^2 \ \theta  = 1- sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow1- sen^2  \ x

 

\displaystyle  1- sen^2  \ x  - sen^2 \ x  = 1+4sen \ x

 

Igualamos la ecuación a cero y simplificamos los términos semejantes

 

\displaystyle  1 -1 - 2sen^2  \ x  -4sen \ x  =  0

 

\displaystyle   + 2sen^2  \ x  +4sen \ x  =  0

 

Ahora vamos a factorizar :

 

\displaystyle 2sen \ x \ (sen \ x +2 )=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} sen \ x=0 \\ sen \ x+2=0 \end{array} \right.

 

Observamos que se generan 2 casos.

 

Caso 1:

 

\displaystyle x=arc \ sen \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 \displaystyle x= 0^{\circ}+180^{\circ} k

 

Caso 2:

 

\displaystyle arc \ sen (-2)

Como podemos observar en el circulo unitario, los valores de las funciones seno y coseno están en el intervalo [-1,1], así que el  \displaystyle arc \ sen (-2)  no existe, por lo tanto este caso, no tiene solución.

 

Sin solución

 

6   \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+sen(x+30^{\circ})=0

 

 

6 \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})=0

 

En este caso usaremos la identidad trigonométrica de suma de ángulos :

 

\displaystyle   sen \ \alpha  + sen \beta = 2 \cdot sen \left( \frac{ \alpha + \beta  }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ \alpha - \beta  }{2} \right)

 

Sustituimos los valores de nuestro ejercicio en la identidad trigonométrica:

 

\displaystyle  sen(2x+60^{\circ}) + sen(x+30^{\circ}) =

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) +  (x+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) - (x+30^{\circ})  }{2} \right)

 

Simplificamos términos semejantes:

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+ x) +  (60^{\circ}+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x-x) + (60^{\circ}-30^{\circ})  }{2} \right)

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ 3x}{2} + \frac{ 90^{\circ} }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ x}{2} + \frac{30^{\circ}  }{2} \right)

 

 \displaystyle 2 \cdot sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) cos\left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) =0

 

Para que la ecuación sea igual a cero, es claro que uno de los 2 términos debe ser igual a cero :

 

Caso 1:  \displaystyle sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) = 0

 

Caso 2:  \displaystyle    cos\left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) =0

 

Resolviendo caso 1:

 

 \displaystyle sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 \displaystyle arc \ sen \left[ sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  \right] = arc \ sen  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

\displaystyle arc \ sen (0)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  0^{\circ}+360^{\circ} k    \\ 180^{\circ}+360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 0^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  = 0^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{3x}{2}   = (0^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{3x}{2} = -45^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   3x= -90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= \frac{-90^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= -30^{\circ} + 360^{\circ}k  \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 330^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 180^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  = 180^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{3x}{2}   = (180^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{3x}{2} = 135^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   3x= 270^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= \frac{270^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

\displaystyle sen \ \left( \frac{3x}{2} +45^{\circ} \right)=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

Resolviendo caso 2:

 

 \displaystyle cos \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 \displaystyle arc \ cos \left[ cos \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) = 0  \right] = arc \ cos  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

\displaystyle arc \ cos (0)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  90^{\circ}+360^{\circ} k    \\ 270^{\circ}+360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 90^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ} \right)  = 90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{x}{2}   = (90^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{x}{2} = 75^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 150^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 270^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right)  = 270^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{x}{2}   = (270^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{x}{2} = 255^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k

 

\displaystyle cos \ \left( \frac{x}{2} +15^{\circ} \right)=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

En conclusión, los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

\displaystyle x \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_1=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_2= 90^{\circ} + 360^{\circ}k   \\  x_3=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_4= 510^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

 

 

 

7  \displaystyle sen^2\ x - cos^2 \ x = \frac{1}{2}

 

 

7 \displaystyle sen^2\ x - cos^2 \ x = \frac{1}{2}

 

Para este caso usaremos una identidad trigonométrica de los ángulos dobles:

 

\displaystyle  cos^2 \ \theta -sen^2\ \theta =cos (2 \theta )

 

 

Lo primero sera multiplicar toda nuestra ecuación por -1 :

 

 

\displaystyle   -sen^2\ x + cos^2 \ x =- \frac{1}{2}

 

Ahora ordenamos de forma que se parezca mas a nuestra identidad trigonométrica

 

\displaystyle   cos^2 \ x  - sen^2\ x  =- \frac{1}{2}

 

Usamos la identidad  sustituyendo los valores de nuestra ecuación :

 

\displaystyle  cos^2 \ x -sen^2\ x =cos (2 x ) \Rightarrow  cos (2 x ) = -\frac{1}{2}

 

Para despejar la variable, es necesario usar la propiedad de función inversa

 

\displaystyle  arc \ cos \left( cos \ (2x) \right) = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  2x  = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)

 

Buscando en el circulo unitario, encontraremos que :

 

\displaystyle arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)  = \left \{  \begin{array}{l}120^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 240^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right.

 

Resolviendo para \displaystyle   120^{\circ} + 360^{\circ}k :

 

\displaystyle  2x  = 120^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x  = 60^{\circ} + 180^{\circ}k

 

Resolviendo para \displaystyle   240^{\circ} + 360^{\circ}k :

 

\displaystyle  2x  = 240^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x  = 120^{\circ} + 180^{\circ}k

 

Los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

\displaystyle x \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ}k \\  x_2= 120^{\circ} + 180^{\circ}k    \end{array} \right.

 

 

 

8 \displaystyle   cos \ 8x + cos \ 6x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

 

8 \displaystyle  cos \ 8x + cos \ 6x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Usaremos la identidad trigonométrica de la suma de cosenos:

 

\displaystyle      cos \ \alpha + cos\ \beta  = 2 \cdot cos \left(  \frac{ \alpha + \beta  }{2} \right) \cdot  cos \left( \frac{ \alpha - \beta  }{2}  \right)

 

Sustituimos:

 

\displaystyle      cos \ (8x) + cos\ (6x)  = 2 \cdot cos \left(  \frac{  8x + 6x }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ 8x - 6x  }{2}  \right)

 

\displaystyle      cos \ (8x) + cos\ (6x)  \Rightarrow   2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x

 

Nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

 

\displaystyle       2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x   = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

 

\displaystyle        cos \ 7x \cdot cos \ x   = cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):

 

\displaystyle        cos \ 7x   = cos(210^{\circ})

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

\displaystyle       arc \ cos ( cos \ 7x)   = arc \ cos  (cos(210^{\circ}))

 

\displaystyle        7x  = 210^{\circ}

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle        x  = \frac{210^{\circ}}{7}

 

\displaystyle        x  = 30^{\circ}

 

La ecuación se satisface cuando \displaystyle        x  = 30^{\circ}

 

9 \displaystyle tg \ 2x = -tg \ x

 

 

9 \displaystyle tg \ 2x = -tg \ x

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica ubicada en la sección de "Identidades trigonométricas para ángulos dobles" :

 

\displaystyle  tg (2 \theta) = \frac{2 \cdot tg \ \theta}{1 - tg^2 \ \theta}

 

Vamos a sustituir con los valores de nuestra ecuación para obtener:

 

\displaystyle  tg (2 \cdot x ) = \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x}

 

Entonces, nuestra ecuación quedara de la forma siguiente:

 

\displaystyle  \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x} = -tg \ x

 

Igualaremos la ecuación a cero:

 

\displaystyle \frac{2tg \ x }{1-tg^2 \ x } +tg \ x = 0

 

Realizamos la suma de fracciones usando el producto cruzado :

 

\displaystyle \frac{ (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x) }{1-tg^2 \ x } = 0

 

Eliminaremos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por \displaystyle 1-tg^2 \ x :

 

\displaystyle  (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x)  = 0

 

Realizamos el producto indicado:

 

\displaystyle  (2 \cdot tg \ x) + (tg \ x -tg^3 \ x)  = 0

 

Agrupamos términos semejantes y los sumamos:

 

\displaystyle  3 \cdot tg \ x  - tg^3 \ x  = 0

 

Factorizamos usando \displaystyle  tg \ x   como factor común :

 

\displaystyle   (tg \ x ) \cdot  (3  - tg^2 \ x)  = 0

 

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación por\displaystyle  tg \ x y obtenemos:

 

\displaystyle  3  - tg^2 \ x  = 0

 

Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación y ordenamos para resolver como ecuación de segundo grado :

 

\displaystyle  tg^2 \ x -3 = 0

 

\displaystyle  tg^2 \ x  = 3

 

\displaystyle tg \  x= \sqrt{3}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ tg ( tg \  x )= arc \ tg (  \sqrt{3}  )

 

\displaystyle   x= arc \ tg (\sqrt{3})

 

\displaystyle  x=   \left \{  \begin{array}{l} 60^{\circ}+180^{\circ}k  \\ 120^{\circ}+180^{\circ}k   \end{array} \right.

 

10  \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x = 2

 

 

10 \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x = 2

 

Primero, restaremos  \displaystyle  \sqrt{3} \ cos \ x en ambos lados:

 

 \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x  -  \sqrt{3} \ cos \ x = 2  -  \sqrt{3} \ cos \ x

 

 \displaystyle sen \ x  = 2  -  \sqrt{3} \ cos \ x

 

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados:

 

 \displaystyle  (sen \ x )^2 = (2  -  \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 \displaystyle  (sen \ x )^2 - (2  -  \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2 = 0

 

Resolvemos los cuadrados, para lo cual usamos la formula del binomio al cuadrado:

 

 \displaystyle  (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2

 

 \displaystyle  sen^2 \ x   - [(2)^2   - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]

 

Utilizamos la identidad trigonométrica pitagórica :

 

 \displaystyle  sen^2 \theta = 1- cos^2 \theta

 

Sustituimos

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   - [(2)^2   - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]=0

 

Simplificamos:

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   - [4   - 4\cdot  \ cos \ x \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}^2 \cdot \ cos^2 \ x ]=0

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   -4   + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot  \ cos \ x + 3 \cdot \ cos^2 \ x =0

 

Simplificamos términos semejantes :

 

 \displaystyle  (-4 \cdot cos^2 x) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot  \ cos \ x)  + (-3) = 0

 

Realizaremos un cambio de variable:

 

Sea  \displaystyle u= cos(x)

 

Sustituimos:

 

 \displaystyle  (-4u^2 ) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot  u)  + (-3) = 0

 

Observemos que se trata de una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la formula general:

 

\displaystyle  x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  u = \frac{-(4 \cdot \sqrt{3}) \pm \sqrt{(4 \cdot \sqrt{3})^2 -4(-4)(-3) } }{2(-4)}

 

Resolvemos:

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{(16 \cdot 3) -48 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{48 -48 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{0 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm 0 }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3}  }{(-4) \ cdot (2)}

 

\displaystyle  u = \frac{  \sqrt{3}  }{2}

 

Deshacemos el cambio de variable :

 

\displaystyle  cos(x) = \frac{  \sqrt{3}  }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ cos\  cos(x) = arc \ cos \left( \frac{  \sqrt{3}  }{2} \right)

 

\displaystyle  x = arc \ cos \left( \frac{  \sqrt{3}  }{2} \right)

 

Ahora solo debemos localizar el valor en nuestra tabla del circulo unitario:

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1 = 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_2 = 330^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

 

 

 

11  \displaystyle  sen \ 2x =cos(60^{\circ})

 

 

11 \displaystyle  sen \ 2x =cos(60^{\circ})

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

Buscamos en nuestro circulo unitario el valor correspondiente a \displaystyle  cos(60°) :

 

\displaystyle  cos(60°) = \frac{1}{2}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle   sen ( 2x) = \frac{1}{2}

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

\displaystyle  arc \ sen \ (sen \ 2x)  = arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  2x = arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos los valores correspondientes en nuestro círculo unitario

 

 

\displaystyle  arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right) =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Entonces:

 

\displaystyle  2x =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Despejamos la variable dividiendo por 2:

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1=15^{\circ} + 180^{\circ} k \\  x_2=75^{\circ} + 180^{\circ} k  \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

12  \displaystyle 4sen(x-30^{\circ})cos(x-30^{\circ})=\sqrt{3}

 

 

12 \displaystyle 4sen(x-30^{\circ})cos(x-30^{\circ})=\sqrt{3}

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta

 

Pero antes de sustituir,  obtendremos una variante dividiendo por 2 cada lado de la identidad:

 

\displaystyle \frac{sen(2 \theta)}{2} = sen \theta \cdot cos \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle 4 \cdot  \frac{sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))}{2}  = \sqrt{3}

 

Simplificamos realizando la division indicada:

 

\displaystyle 2 \cdot  sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))  = \sqrt{3}

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle  sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))  = \frac{ \sqrt{3} }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle  arc \ sen \ [ sen(2 \cdot (x-30^{\circ})) ] = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)

 

Localizamos el valor para \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} en nuestro circulo unitario:

 

\displaystyle  \frac{ \sqrt{3} }{2} =  \left \{  \begin{array}{l} 60^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 120^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Sustituimos para ambos casos:

 

Caso 1:

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) =  60^{\circ} + 360^{\circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle   x-30^{\circ}  =  30^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle   x  =  60^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Caso 2:

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) =  120^{\circ} + 360^{\circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle  x-30^{\circ}  =  60^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle  x  =  90^{\circ} + 180^{\circ} k

 

La ecuación se satisface cuando :

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ} k \\  x_2=90^{\circ} + 180^{\circ} k  \end{array} \right.

 

 

13  \displaystyle  2cos \ x = 3tg \ x

 

 

13 \displaystyle  2cos \ x = 3tg \ x

 

Utilizaremos la identidad trigonométrica básica :

 

\displaystyle tan  \theta = \frac{sen \theta}{ cos \theta }

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2cos \ x = 3 \cdot   \frac{sen x}{ cos x }

 

\displaystyle  2cos \ x =    \frac{ 3 \cdot sen x}{ cos x }

 

Eliminamos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por  \displaystyle cos \ x

 

\displaystyle  2cos^2( x)  =    3 \cdot sen (x)

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

 

\displaystyle  cos^2 \theta  = 1-sen^2 \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2(1-sen^2 \ x ) = 3 \cdot sen (x)

 

Aplicamos propiedad distributiva:

 

\displaystyle  2-2sen^2 \ x = 3 \cdot sen (x)

 

Igualamos a cero y ordenamos:

 

\displaystyle  (-2sen^2 x) +(- 3 \cdot sen (x) ) +2  =  0

 

Multiplicamos toda la expresión por \displaystyle  -1

 

\displaystyle  2sen^2 x + 3 \cdot sen (x)  - 2  =  0

 

Realizamos un cambio de variable, donde:

 

\displaystyle u= sen(x)

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2 u^2 +  3u  - 2  =  0

 

Resolvemos mediante la formula eneal para ecuaciones de segundo grado:

 

\displaystyle  u= \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(2)(-2)} }{2(2)}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm \sqrt{9 +16} }{4}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm \sqrt{25} }{4}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm 5 }{4}

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 \pm 5 }{4}

 

Caso 1:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 + 5 }{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{2}{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{1}{2}

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ sen (  sen \ x ) = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  x  = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos el valor correspondiente en nuestro circulo unitario :

 

\displaystyle  x  =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

Caso 2:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 - 5 }{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-8}{4}

 

\displaystyle  sen \ x = -2

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ sen (  sen \ x ) = arc \ sen (-2)

 

\displaystyle arc   x  = arc \ sen(-2)

 

Como sabemos y podemos observar en nuestro circulo unitario, la función seno no esta definida para valores mayores a 1, ni menores a -1 por lo tanto este caso no tiene solución.

 

La función se satisface cuando:

 

\displaystyle  x  =  \left \{  \begin{array}{l} x_1=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

14  \displaystyle sen \ 2x \cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

 

14 \displaystyle sen \ 2x \cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle sen(2 x)= 2 \cdot sen x \cdot cos x

 

Entonces:

 

\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos \ x )\cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x = 6sen^3 \ x

 

Igualamos a cero la ecuación:

 

\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) - ( 6sen^3 \ x)=0

 

Factorizamos:

 

\displaystyle - ( 6sen^3 \ x) +(  2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x  ) =0

 

\displaystyle - ( 6sen^2 \ x \cdot sen \ x)+ ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0

 

\displaystyle - ( (3) \cdot (2) sen^2 \ x \cdot sen \ x) +( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0

 

Extraemos el termino común  \displaystyle   2 \cdot sen x   :

 

\displaystyle  (2) sen  (x)  \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x ) \right ] =0

 

Ahora vamos a factorizar la parte dentro del  corchete :

 

\displaystyle   \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x ) \right ]

 

Reescribiremos el 3 como  \displaystyle  \sqrt{ 3}^2

 

\displaystyle    ( - \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x )

 

Ordenamos para poder aplicar la diferencia de cuadrados :

 

\displaystyle   (a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2

 

\displaystyle    (   cos^2 \ x ) - ( \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) )

 

Aplicamos la ley de signos \displaystyle   a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2    :

 

\displaystyle   (   cos \ x )^2 - ( \sqrt{ 3} \cdot sen x )^2

 

Ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

 

\displaystyle    [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot  [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ]

 

Recordemos que este es el resultado de la parte del corchete que teníamos arriba, vamos a sustituirla en nuestra ecuación ahora que ya esta factorizado :

 

\displaystyle  [2 sen \ x] \cdot  [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot  [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] =0

 

Es claro que para la ecuacion se satisfaga, basta con que uno solo de los corchetes, de como resultado cero, entonces tenemos 3 casos:

 

Caso 1, cuando \displaystyle  [2 sen \ x]  =0

 

Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación:

 

\displaystyle   sen \ x  =0

 

\displaystyle    x  = arc \ sen \ 0

 

Localizamos en el circulo unitario:

 

\displaystyle x=  \left \{  \begin{array}{l} 0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Caso 2, cuando \displaystyle  [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ] =0

 

Dividimos ambos miembros por cos x y usamos la identidad trigonométrica básica de la tangente:

 

\displaystyle  frac{  (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) } {cos \ x }  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle  1 + \sqrt{ 3} \cdot \frac{ sen (x)}{cos \ x}  =0

 

\displaystyle  1 + \sqrt{ 3} \cdot tg \ x  =0

 

Despejamos la variable :

 

\displaystyle    tg \ x  =- \frac{1}{\sqrt{3}}

 

\displaystyle     x  =  arc \ tg  \left( - \frac{1}{\sqrt{3}}  \right )

 

\displaystyle     x  =  150^{\circ} + 180^{\circ}k

 

 

Caso 3, cuando \displaystyle [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ]=0

 

Este caso es bastante similar al caso 2:

 

\displaystyle  1 - \sqrt{ 3} \cdot tg \ x  =0

 

\displaystyle    tg \ x  =\frac{-1}{- \sqrt{3}}

 

\displaystyle    tg \ x  =\frac{1}{ \sqrt{3}}

 

\displaystyle     x  =  arc \ tg  \left(  \frac{1}{\sqrt{3}}  \right )

 

\displaystyle     x  =  30^{\circ} + 180^{\circ}k

 

La ecuacion se satisface cuando x adquiere alguno de los siguientes valores :

 

\displaystyle    x=    \left \{  \begin{array}{l} x_1=0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2=180^{\circ} + 360^{\circ} k \\ x_3 = 150^{\circ} + 180^{\circ} k    \\ x_4  = 30^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

 

15 \displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x = 3

 

 

15\displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x = 3

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 \displaystyle  4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x -3 = 0

 

Aplicamos un cambio de variable, donde  \displaystyle  u= \frac{x}{2}

 

Sustituimos:

 

 \displaystyle  4 \cdot sen (u)   + 2 \cdot cos  (2u) -3 = 0

 

Usamos la siguiente  identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 \displaystyle   cos(2 \theta)= 1- 2 \cdot sen^2 \theta

 

Sustituimos nuestra variable en la identidad:

 

 \displaystyle   cos(2 u)= 1- 2 \cdot sen^2 (u)

 

Sustituimos lo obtenido en nuestra ecuación :

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)   + 2 \cdot [1- 2 \cdot sen^2 (u) ] -3 = 0

 

Desarrollamos:

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)   +  2 - 4 \cdot sen^2 (u)  -3 = 0

 

Sumamos términos semejantes y ordenamos:

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)  - 4 \cdot sen^2 (u)  -1 = 0

 

 \displaystyle   - 4 \cdot sen^2 (u) + 4 \cdot sen (u)  -1 = 0

 

Realizamos otro cambio de variable, sea   \displaystyle  sen(u) = v

 

 \displaystyle   - 4 v^2 + 4 v  -1 = 0

 

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado :

 

\displaystyle  v= \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 -4(-4)(-1) } }{2(-4)}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 \pm \sqrt{16 -16 } }{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 \pm 0}{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 }{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{1 }{2}

 

Deshacemos el ultimo cambio de variable:

 

\displaystyle  sen \ u = \frac{1 }{2}

 

\displaystyle   u = arc \ sen \ \left( \frac{1 }{2} \right)

 

Localizamos los valores en nuestro circulo unitario y tenemos que:

 

\displaystyle u=  \left \{  \begin{array}{l}  30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Ahora deshacemos el primer cambio de variable:

 

\displaystyle \frac{x}{2}=  \left \{  \begin{array}{l}  30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Despejamos la variable, multiplicando por 2:

 

\displaystyle x =  \left \{  \begin{array}{l} x_1=  60^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2 = 300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x adquiere cualquiera de esos 2 valores.

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Miñarro
Miñarro
Invité
24 Jun.

¡Hola! ¿Alguien sabe resolver este ejercicio?
(cosec a . cotg a) . sen a = 1 – cos a

Nogales
Nogales
Invité
9 Oct.

Como resolver este ejercicio
1-cosx

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
7 Nov.

No comprendo muy bien que quieres resolver.

Tal vez quisiste decir

1-cox=0

o
1-cox=1

es decir, como ecuación.

Podrías ser mas especifico por favor para poder ayudarte de una mejor manera ?

Villarez
Villarez
Invité
19 Oct.

Hola, en el ejercicio 16 de donde sale esta igualdad: cos(x)=cos^2(X/2)-sen^2(x/2)
He tratado de buscar alguna razón o identidad trigonométrica pero no soy capaz de verlo claro. Ojalá puedan despejar esta duda.

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
7 Nov.

Entiendo, es complicado ya que no existe una identidad trigonométrica que realice esta operación de manera directa. Pero tranquilo que ahora te lo explico: Se realiza un pequeño cambio de variable : u= x/2 o bien x=2u Entonces: cos(x) –> cos(2u) y Ahora si Cos(2u) = cos^2(u)-sen^2(u) He aquí la identidad trigonométrica que buscabas. Ahora solo falta sustituir u, por su valor respecto a x Cos(2(x/2)) = cos^2(x/2)-sen^2(x/2) Cos(x) = cos^2(x/2)-sen^2(x/2) En general, cuando se trata de estas ecuaciones, debes buscar el cambio de variable que te lleve a alguna identidad trigonométrica, y después de aplicarla, regresas a tu variable… Lire la suite »

Delgado
Delgado
Invité
25 Oct.

Muy buena explicación , paso a paso, solo me falta aprender bien las identidades trigonometricas y ahí entenderé bien algunas, saludos

Superprof
Superprof
Administrateur
25 Oct.

¡Gracias!

Azamar
Azamar
Invité
5 Nov.

Muchas gracias por el aporte, me ayudó mucho para estudiar. No llegué a comprender del todo cómo obtener el segundo miembro de la solución; cómo obtener +180° ó +360°.
Aún así algunos problemas resultaron un reto para mí 😀 gracias.

Jimenez
Jimenez
Invité
16 Nov.

Me ayudan con esto porfa secx=5/6

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
7 Feb.

Necesitas usar la identidad trigonométrica básica siguiente: sec x= 1 / cos x Entonces tu ecuación quedaría así: 1 / cos x = 5/6 Multiplicamos ambos miembros por (cos x) : 1 = (cos x) 5/6 6 = (cos x) 5 6/5 = (cos x) (cos x) = 6/5 x= arc cos (6/5) El seno y el coseno son gráficas que están definidas en el intervalo de -1 a 1 , y como 6/5 es mayor que 1, eso significa que la ecuación no tiene solución en los reales. Te invito a revisar el articulo, ah sido corregido recientemente y… Lire la suite »

Mendoza
Mendoza
Invité
6 May.

Hola me ayudan a buscar la identidad trigonométrica de sen al 2(x) /1+cos(x) =1-cos(x)

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
12 Jun.

¡Buen día!

Resolvamos el ejercicio.

Quieres demostrar que sin^2 (x) / (1 + cos(x)) ) 1 – cos(x).

Vamos a partir de la identidad sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1.

De la identidad pasada tenemos que

sin^2 (x) = 1 – cos^2 (x)
sin^2 (x) = (1 – cos(x))(1 + cos(x))

Entonces, dividiendo entre 1 + cos(x) obtenemos la identidad deseada

sin^2 (x)/(1 + cos(x)) = 1 – cos(x)

Saludos.

Flores
Flores
Invité
14 May.

Alguien podría resolver este ejercicio: (tan o)^tan o = cos 45
Hallar cot o = ?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
30 May.

Hola,
 
El ángulo de la parte izquierda no puede ser 0, ya que sería indefinido y el lado derecho es igual a 1/sqrt{2}=sqrt{2}/2. Como en el lado izquierdo la base y el exponente son iguales y su resultado debe ser sqrt{2}/2, necesitamos un número que elevado a si mismo nos dé como resultado sqrt{2}/2; tanto 1/4 como 1/2 satisfacen por lo que:
 
Tan x = 1/2, por lo que cot x = 2;
 
Tan x = 1/4, por lo que cot x = 4;
 
Debes tener cuidado puesto que pueden existir más valores que satisfagan, ya que tan x es periódico.
 
Saludos

Perez
Perez
Invité
25 May.

Me podrian ayudar
Realiza la demostracion de las siguientes identidades trigonometricas
A. Sen2 x+3=4-cos2 x
B. Csc x÷ senc x= cot x
C. (1+ cos x) (1-cos x)= sen2 x
Ayuda pliss

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
24 Jun.

Hola, con gusto te apoyamos.

 

Para demostrar A

Sabemos que

Sen2(x) + Cos2(x) = 1

Sen2(x) = 1 – Cos2(x)

sumamos 3 a la ecuación

Sen2(x) + 3 = 4 – Cos2(x)

 

Para demostrar B

Cos(x)/Sen(x) = Cos(x)·(1/Sen(x))

Cos(x)/Sen(x) = Cos(x)·Csc(x)

Usamos el hecho de que a = 1/(1/a) para reescribir el Cos(x)

Cos(x)/Sen(x) = 1/(1/Cos(x))·Csc(x)

Cos(x)/Sen(x) = 1/Sec(x)·Csc(x)

Sabemos que Cos(x)/Sen(x)=Cot(x) por definición

Cot(x) = Csc(x)/Sec(x)

 

Para demostrar C solo desarrolla el producto y usa la misma identidad que usamos en A.

Espero los comentarios y las soluciones te sean útiles,
¡saludos!

Cristhian Encina
Cristhian Encina
Invité
28 May.

Como resolver 16senx × tan5x – 9tan5x=0???

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
25 Jun.

Hola Cristhian, comenzamos con factorizar Tan5(x)

16 Sen(x)·Tan5(x) – 9 Tan5(x) = 0

Tan5(x)(16 Sen(x) – 9 )= 0

Una solución es cuando

Tan5(x) = 0

esto implica que

Tan(x) = 0

y a su vez

x = Tan-1(0)

x = 0°

si x&neq;0, entonces

16 Sen(x) – 9 = 0

despejamos x

16 Sen(x) = 9

Sen(x) = 9/16

x = Sen-1(9/16)

x = 34.23°

finalmente hay dos soluciones x=0 y x=34.23

Espero encuentres la solución clara y útil,
¡saludos!

Cañas joshua
Cañas joshua
Invité
29 May.

Como resolver la ecuación la siguiente ecuación

4cos x – 3sec x =0

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
26 Jun.

Hola, primero usaremos la definición de secante

4Cos(x)-3Sec(x) = 0

4Cos(x)-3(1/Cos(x)) = 0

4Cos(x)-3/Cos(x) = 0

ahora multiplicamos toda la ecuación por Cos(x) para ya no tener fracciones

4Cos2(x)-3 = 0

despejamos Cos(x)

4Cos2(x) = 3

Cos2(x) = 3/4

Cos(x) = √(3/4)

Cos(x) = 0.8660

despejamos x

x = Cos-1(0.8660)

x = 30°

La solución a la ecuación es x=30°

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Cruz
Cruz
Invité
30 May.

Me pueden ayudar con este ejercicio porfis
cscs x + cot x = raiz de 3

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
28 Jun.

Hola, primero usaremos las definiciones de cosecante y cotangente Csc(x) + Cot(x) = √3 1/Sen(x) + Cos(x)/Sen(x) = √3 (1 + Cos(x))/Sen(x) = √3 multiplicamos por Sen(x) toda la ecuación 1 + Cos(x) = √3 Sen(x) 1 = √3 Sen(x) – Cos(x) dividimos entre 2 1/2 = (√3/2) Sen(x) – (1/2) Cos(x) Notamos que la parte derecha de la ecuación tiene parecido con la fórmula del seno de la diferencia y como Sen(30) = 1/2 Cos(30) = √3/2 reescribimos la ecuación 1/2 = Cos(30) Sen(x) – Sen(30) Cos(x) usamos la fórmula del seno de la diferencia Sen(a – b) =… Lire la suite »

Cortez
Cortez
Invité
3 Jun.

Operaciones con funciones trigonometrícas.
Como resolver este ejercicio.
2(sen 30°) × (cos 60°)
3(sec 0°) + (sen 270°)
1/2(cos 180°) – (sec 360°)

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
29 Jun.

Hola,   a partir de un triángulo equilátero de lado 2 trazamos una bisectriz en uno de sus vértices y obtenemos dos triángulos rectángulos idénticos con hipotenusa c=2, catetos a=1, b=√(3) y ángulos A=30°, B=60°, C=90°. Con estos datos obtenemos sen30°=cos60°=1/2; sen60°=cos30°=√(3)/2   Para el primer ejercicio se tiene 2(sen 30°) × (cos 60°) = 2(1/2)(1/2)=1/2   Para el segundo ejercicio utilizamos el hecho que cos 0°=1 y sen 270°=-1, sustituyendo se tiene 3(sec 0°) + (sen 270°) = 3(1/cos 0°) + (sen 270°) = 3(1) + (-1) = 2   Para el tercer ejercicio utilizamos el hecho que cos… Lire la suite »

soriano
soriano
Invité
16 Jun.

Hola, quería preguntar cómo se haría una ecuación, pues me he quedado pillado.
Sería : senx «por» cosx = 1/2

Una ayuda me serviría de mucho, muchas gracias 🙂

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
5 Jul.

Hola, para resolver este problema debemos conocer la identidad del seno del doble ángulo

sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

La ecuación que quiero resolver es

sen(x) cos(x) = 1/2

multiplicamos por 2

2 sen(x) cos(x) = 1

usamos la identidad que mencioné al inicio y obtenemos que

sen(2x) = 1

entonces

2x = sen-1(1)

2x = 90°

x = 90°/2 = 45°

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Mendoza
Mendoza
Invité
22 Jun.

Arcocos2x-Arcocos=Pinformación sobre 3
Me ayudarían porfa vor es urgente

Luis Maciel Baron
Luis Maciel Baron
Editor
23 Jul.

¡Hola!

¿Podrías ser más clara con el ejercicio que requieres para poderte apoyar a resolverlo? Ya que no se entiende bien la expresión que nos comentas.

¡Un saludo!

Arancibia
Arancibia
Invité
27 Jun.

Como resolver este ejercicio (3 cos x +7) (-2sen x -1)

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
10 Jul.

¡Hola!

¿Qué es lo que se te pide el ejercicio? Si se trata de resolver una igualdad, ¿qué cantidades están igualadas? Puede que tu ecuación sea

3\cos x + 7 = -2\sin x - 1,

O también puede que sea

(3\cos x + 7)(-2\sin x - 1) = 0

Si nos das más información sobre tu ejercicio con gusto te ayudamos. ¡Recibe un saludo!

Rocha
Rocha
Invité
28 Jun.

Como resolver este ejercicio
Sin^2(x)= SinxCosx

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
16 Jul.

Hola, primero notamos que x = 0 es una solución, pues Sen(0) = 0. Ahora suponiendo que Sen(x) ≠ 0, podemos dividir entre eso

Sin2(x) = Sin(x)Cos(x)

Sin(x) = Cos(x)

entonces

Sin(x)/Cos(x) = 1

usamos la definición de tangente

Tan(x) = 1

x = Tan-1(1)

x = 45º

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Garcia
Garcia
Invité
7 Jul.

Hola me podrian ayudar con este ejercicio cos x= 1

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
21 Jul.

Hola,
este ejercicio ya se encuentra resuelto en esta página. Es el número 5 del primer bloque de ejercicios.
Un saludo

acosta
acosta
Invité
8 Jul.

necesito resolver tres ecuaciones que me tienen bien enredadas
2senx secx – 4senx + secx – 2 = 0
cosx tnagx – cosx + tanx – 1=0
2senx cosx- 2senx – raiz3 cosx + raiz3 = 0

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
23 Jul.

Hola,
 
para factorizar las ecuaciones trigonométricas primero separamos en dos grupos y aplicamos factor común, luego al resultado volvemos a aplicarle factor común y encontramos las raíces
 
 2senx secx - 4senx + secx - 2 = 0 \\ 2senx(secx-2)+(secx-2)=0 \\ (secx-2)(2senx+1)=0
 
Aplicando que secx=1/cosx, las raíces son
 
secx-2=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ secx=2 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=\frac{1}{2}, \\ 2senx+1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ senx=-\frac{1}{2}
 
Ubicamos en el círculo unitario los valores de x que satisfacen la igualdad y consideramos todas las vueltas sobre el círculo unitario, esto es, le agregamos 360°k donde k toma todos los valores enteros
 
 cosx=\frac{1}{2},  \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=\left\{ \begin{array}{l}60^o+360^ok \\ 300^o+360^ok \end{array}\right.
 senx=-\frac{1}{2},  \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=\left\{ \begin{array}{l}210^o+360^ok \\ 330^o+360^ok \end{array}\right.
 
Para el segundo ejercicio se tiene
 
 cosx tanx - cosx + tanx - 1 = 0 \\ cosx(tanx-1)+(tanx-1)=0 \\ (tanx-1)(cosx+1)=0
 
tanx-1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ tanx=1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=\left\{ \begin{array}{l}45^o+360^ok \\ 225^o+360^ok \end{array}\right., \\ cosx+1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=-1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=180^o+360^ok
 
Para el tercer ejercicio se tiene
 
 2senx cosx - 2senx - \sqrt{3}cosx + \sqrt{3} = 0 \\ 2senx(cosx-1)-\sqrt{3}(cosx-1)=0 \\ (cosx-1)(2senx-\sqrt{3})=0
 
cosx-1=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ cosx=1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=0^o+360^ok, \\ 2senx-\sqrt{3}=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ senx=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \longrightarrow \ \ \  x=\left\{ \begin{array}{l}60^o+360^ok \\ 120^o+360^ok \end{array}\right.
 
Espero te sea de utilidad.
Un saludo