Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

Para poder resolver los ejercicios siguientes es necesario tener a la mano las siguiente herramientas:

 

  1. Círculo unitario
  2. Identidades trigonométricas básicas
  3. Identidades trigonométricas pitagóricas
  4. Identidades trigonométricas pares e impares
  5. Identidades trigonométricas para ángulos dobles
  6. Identidades trigonométricas para ángulos medios
  7. Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

 

 

Círculo unitario

 

La tabla conocida como círculo unitario, la cual contiene los valores de los radios mas representativos usados en la trigonométrica, ademas, el nombre de este círculo se debe a que es un círculo con radio 1.

 

representación gráfica circulo unitario

 

Con esta herramienta sera muy sencillo localizar el valor de los ángulos, por ejemplo, si quisiéramos conocer el valor de \displaystyle x=arc \ sen(-1) , simplemente debemos ubicarnos en el eje del seno, es decir, el eje y, y luego ubicarnos en el valor  -1 .

Notaremos que la tabla indica que el angulo es \displaystyle 270^{\circ} lo cual es el valor en grados, pero también existe el valor en radianes, el cual es \displaystyle  \frac{3 \pi }{2}

Cuando necesitamos localizar los valores para la tangente, recordemos que la tangente es una linea recta que toca a la circunferencia en un único punto, en el caso de esta circunferencia, la tangente que se utiliza es aquella que toca el unto de los \displaystyle  0^{\circ}, 360^{\circ}    y la altura de la tangente dependerá del valor en la ecuación, por ejemplo, en la ecuación  \displaystyle  tan \ x= 1  despejamos la variable y obtenemos \displaystyle   x= arc \ tan \ 1  , entonces buscamos la tangente de altura  1 y trazamos la linea hasta el origen, observaremos el punto donde se intersecta con la circunferencia, y buscaremos el valor en la tabla

representacion grafica circulo unitario tangente

 

Corresponde a \displaystyle\frac {\pi}{4} = 45^{\circ}

También podría decirse que corresponde a \displaystyle arc \ sen \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) o \displaystyle arc \ cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

 

 

Identidades trigonométricas básicas

 

Las identidades trigonométricas son igualdades definidas que nos ayudan a realizar el trabajo algebraico sin rompernos la cabeza

 

tabla de identidades trigonometricas basicas

 

Identidades trigonométricas pitagóricas

 

tabla de identidades trigonometricas pitagoricas

Identidades trigonométricas pares e impares

 

 

 

Ángulos dobles y ángulos medios

 

 

formulas angulos dobles

 

 

Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

identidades trigonometricas

 

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Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas

 

Resuelve despejando la variable y localizando los valores en el círculo unitario

 

1  \displaystyle sen \ x=0

 

2  \displaystyle  cos\ x=0

 

3  \displaystyle tg\ x=0

 

4  \displaystyle sen\ x=1

 

5 \displaystyle cos\ x=1

 

6  \displaystyle tg\ x=1

 

7  \displaystyle sen\ x=-1

 

8 \displaystyle cos\ x=-1

 

9 \displaystyle tg\ x=-1

 

10 \displaystyle sen\ x=\frac{1}{2}

 

11 \displaystyle sen\ x=-\frac{1}{2}

 

12 \displaystyle cos\ x=\frac{1}{2}

 

13 \displaystyle cos\ x=-\frac{1}{2}

 

 

Para resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas es necesario recordar la propiedad de la función inversa:

\displaystyle f \circ f^{-1} =x

 

1  \displaystyle sen\ x =0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \  x)= arc \  sen \ 0

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \ 0

Nos ubicamos en el del seno, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ sen \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=0^{\circ},360^{\circ},720^{\circ},... \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k  & x_{2}=180^{\circ},540^{\circ},900^{\circ},...\end{array} \right.

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

2 \displaystyle cos \ x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \  0

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \ 0

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{cc} x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k & x_{1}=90^{\circ},450^{\circ},810^{\circ},... \\ x_{2}=270^{\circ} + 360^{\circ} k  & x_{2}=270^{\circ},630^{\circ},990^{\circ},...\end{array} \right.

 

\displaystyle x= 90^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

3  \displaystyle tg \  x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \  0

 

\displaystyle x= arc \ tg \ 0

 

En nuestra tabla, visualicemos una tangente de altura cero, obviamente al buscar el valor en el círculo unitario encontraremos que corresponde a cero grados, entonces:

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

4 \displaystyle sen \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \  1

 

\displaystyle x= arc \ sen \ 1

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \ 1

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 90^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

5 \displaystyle cos \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos \ 1

 

\displaystyle x= arc \ cos \ 1

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \ 1

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 0^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

 

6  \displaystyle tg \  x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg \ 1

 

\displaystyle x= arc \ tg \ 1

 

Este ejercicio se mostró en el ejemplo a principio de la lección donde podrás observar la representación gráfica.

Visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente circulo unitario

 

 

\displaystyle x= 45^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

7 \displaystyle sen \  x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen   (-1)

 

\displaystyle x=arc \ sen(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen ( -1)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 270^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

8  \displaystyle cos \  x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos   (-1)

 

\displaystyle x= arc \ cos(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen ( -1)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x= 180^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

9 \displaystyle tg \  x=  -1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ tg (tg \ x)=arc \ tg  ( -1)

 

\displaystyle x= arc \ tg(-1)

 

Ubicándonos en la coordenada  (-1,0)   visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente x 1

 

\displaystyle x= 135^{\circ} +180^{\circ}k

 

 

10  \displaystyle sen \  x=\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left( \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  \frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  \frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

11  \displaystyle sen \  x=-\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ sen (sen \ x)=arc \ sen \left (-\frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left( -\frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  -\frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  -\frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( -\frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=210^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

12  \displaystyle cos \  x=\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos  \left( \frac{1}{2}  \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  cos \left( \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor \displaystyle  \frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  \frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=60^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

13  \displaystyle cos \  x=-\frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

\displaystyle arc \ cos (cos \ x)=arc \ cos  \left( -\frac{1}{2} \right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  \displaystyle  arc \  sen \left(- \frac{1}{2} \right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor \displaystyle  -\frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por \displaystyle  -\frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

\displaystyle x=arc \ cos \left(  -\frac{ 1 }{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_{1}=120^{\circ} + 360^{\circ}k \\ x_{2}=240^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

 

Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

 

1  \displaystyle sen \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{3} }{2}

 

 

1  \displaystyle sen \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{3} }{2}

 

Para resolver la ecuacion, buscaremos en la tabla los valores de \displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right)

\displaystyle arc \ sen \left( \frac{\sqrt{3} }{2}\right)     \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  sen \ 60^{\circ} \\ sen \ 120^{\circ} \end{array} \right.

 

Esto nos da 2 casos posibles, sustituimos para el primer caso

 

\displaystyle x+45^{\circ} = 60^{\circ}

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle x = 60^{\circ} - 45^{\circ}

 

\displaystyle x_1= 15^{\circ} +360^{\circ}k

 

Sstituimos para el segundo  caso

 

\displaystyle x+45^{\circ} = 120^{\circ}

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle x = 120^{\circ} - 45^{\circ}

 

\displaystyle x_2= 75^{\circ} +360^{\circ}k

 

 

 

2 \displaystyle 2tg \ x -3cotg \ x -1 =0

 

 

2 \displaystyle 2tg \ x -3cotg \ x -1 =0

 

Usando las identidades trigonométricas, trataremos de simplificar esta ecuación en funciones mas simples como seno, coseno o tangente

 

Usemos la identidad trigonométrica  \displaystyle cot \  \theta  = \frac{1}{tan \ \theta }

 

\displaystyle 2tg \ x - 3 \cdot \frac{1}{tg \ x}-1 =0

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica  \displaystyle tg\  \theta  = \frac{sen \theta }{cos \ \theta }

 

\displaystyle  2 \cdot \frac{ sen \ x}{cos \ x} - \frac{3}{ \frac{sen \ x}{cos \ x} } -1 =0

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot sen \ x}{cos \ x} - \frac{3 \cdot cos \ x}{sen \ x } -1 =0

 

Realizaremos la resta de fracciones utilizando el producto cruzado para obtener:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen \ x) \cdot (sen \ x) - (3 \cdot cos \ x  ) \cdot (cos \ x)}{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} -1 =0

 

Convertimos la unidad en una fracción equivalente con el mismo denominador:

 

\displaystyle  1= \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)}

 

Sustituimos y simplificamos

 

\displaystyle  \frac{ 2 (\cdot sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} - \frac{ (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} =0

 

\displaystyle  \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)}  =0

 

Ahora multiplicamos ambos miembros de la ecuación por \displaystyle \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]

 

Por el lado izquierdo tenemos :

 

\displaystyle  \left[ \frac{ 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) }{(cos\ x)\cdot (sen \ x)} \right] \cdot \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right]

 

Al simplificar obtenemos:

 

\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x)

 

Por el lado derecho tenemos \displaystyle 0 \cdot \left[  (cos\ x)\cdot (sen \ x) \right] lo cual claramente es igual a cero

 

Entonces:

 

\displaystyle 2 \cdot (sen^2 \ x)  - (3 \cdot cos^2 \ x  ) - (cos\ x)\cdot (sen \ x) = 0

 

Factorizamos:

 

\displaystyle   (2 sen \ x - 3 cos \ x) \cdot (sen \ x + cos \ x ) = 0

 

Ahora existen 2 casos:

 

Primer caso: despejando el primer termino

 

\displaystyle   2 sen \ x - 3 cos \ x = \frac{0}{ (sen \ x + cos \ x )}

 

\displaystyle   2 sen \ x - 3 cos \ x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por \displaystyle   cos \ x

 

\displaystyle   \frac{2 sen \ x - 3 cos \ x}{cos \ x}  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle   \frac{2 sen \ x }{cos \ x} - \frac{3 cos \ x}{cos \ x}   = 0

 

\displaystyle   2 \cdot \frac{ sen \ x }{cos \ x} - 3   = 0

 

Utilizaremos la identidad \displaystyle  tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}

 

\displaystyle   2 tg \ x - 3   = 0

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle   2 tg \ x    = 3  \Rightarrow  \ \ \ tg \ x= \frac{3}{2}

 

\displaystyle    x= arc \ tg \left( \frac{3}{2} \right)

 

\displaystyle x=56^{\circ}18'35''+180^{\circ}k

 

 

Segundo  caso: despejando el segundo termino

 

\displaystyle   sen \ x + cos \ x  = \frac{0}{(2 sen \ x - 3 cos \ x) }

 

\displaystyle  sen \ x + cos \ x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por \displaystyle   cos \ x

 

\displaystyle  \frac{sen \ x + cos \ x}{ cos \ x }  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle  \frac{sen \ x }{ cos \ x } + \frac{cos \ x }{cos \ x}  = 0

 

\displaystyle  \frac{sen \ x }{ cos \ x } + 1  = 0

 

Utilizaremos la identidad \displaystyle  tg \ \theta = \frac{sen \ \theta }{cos \ \theta}

 

\displaystyle tg \ x + 1  = 0

 

Despejamos la variable

 

\displaystyle tg \ x   = -1  \Rightarrow  \ \ \  x= arc \ tg \ (-1)

 

Ahora buscamos el valor en nuestro círculo unitario como hemos hecho anteriormente

 

\displaystyle x=135^{\circ}+180^{\circ}k

 

 

3  \displaystyle 3sen^2 \ x -5sen \ x +2 =0

 

 

3 \displaystyle 3sen^2 \ x -5sen \ x +2 =0

 

Podemos observar claramente que la ecuación es de la forma :

 

\displaystyle ax^2 +bx +c =0

 

Es decir, una ecuación de segundo grado que se puede resolver mediante la formula general:

 

\displaystyle  x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle sen \ x= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 -4(3)(2) } }{2(3)}

 

\displaystyle sen \ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24} }{6}

 

Caso 1:

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{5+1}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= 1

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x= arc \ sen \ 1

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

\displaystyle x=90^{\circ}+360^{\circ}k

 

Caso 2: 

 

\displaystyle sen \ x = \frac{5-1}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{4}{6}

 

\displaystyle  sen \ x= \frac{2}{3}

 

Despejamos la variable :

 

\displaystyle   x= arc \ sen \ \left( \frac{2}{3} \right)

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} 41^{\circ} 48'37''+ 360^{\circ}k  \\ 138^{\circ}11'23'' + 360^{\circ} k \end{array} \right.

4  \displaystyle cos^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

 

4 \displaystyle cos^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

Utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

 \displaystyle  cos^2 \ \theta  = 1- sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow 1- sen^2 \ x

 

\displaystyle 1-sen^2 \ x -3sen^2 \ x=0

 

Sumamos términos semejantes:

 

\displaystyle 1-4sen^2 \ x=0

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle sen^2 \ x =\frac{1}{4}

 

\displaystyle sen \ x =\sqrt{ \frac{1}{4} }

 

\displaystyle sen \ x =\pm \frac{1}{2}

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

\displaystyle x=arc \ sen \ \left( - \frac{1}{2} \right)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{3}=210^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{4}=330^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

5  \displaystyle cos \ 2x= 1+4sen \ x

 

 

5  \displaystyle cos \ 2x= 1+4sen \ x

 

Usaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle cos(2 \theta) = \left\{  \begin{array}{l}cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta \\ 1- 2sen^2 \ \theta \\ 2cos^2 \ \theta -1 \end{array}    \right.

 

De las 3 opciones que tenemos, utilizaremos la primera  \displaystyle  cos^2 \ \theta - sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos \ 2x \Rightarrow cos^2 \ x - sen^2 \ x

 

\displaystyle cos^2 \ x - sen^2 \ x  = 1+4sen \ x

 

Ahora utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

\displaystyle  cos^2 \ \theta  = 1- sen^2 \ \theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

\displaystyle cos^2 \ x \Rightarrow1- sen^2  \ x

 

\displaystyle  1- sen^2  \ x  - sen^2 \ x  = 1+4sen \ x

 

Igualamos la ecuación a cero y simplificamos los términos semejantes

 

\displaystyle  1 -1 - 2sen^2  \ x  -4sen \ x  =  0

 

\displaystyle   + 2sen^2  \ x  +4sen \ x  =  0

 

Ahora vamos a factorizar :

 

\displaystyle 2sen \ x \ (sen \ x +2 )=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} sen \ x=0 \\ sen \ x+2=0 \end{array} \right.

 

Observamos que se generan 2 casos.

 

Caso 1:

 

\displaystyle x=arc \ sen \ 0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  x_{1}=0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_{2}=180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 \displaystyle x= 0^{\circ}+180^{\circ} k

 

Caso 2:

 

\displaystyle arc \ sen (-2)

Como podemos observar en el circulo unitario, los valores de las funciones seno y coseno están en el intervalo [-1,1], así que el  \displaystyle arc \ sen (-2)  no existe, por lo tanto este caso, no tiene solución.

 

Sin solución

 

6   \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+sen(x+30^{\circ})=0

 

 

6 \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})=0

 

En este caso usaremos la identidad trigonométrica de suma de ángulos :

 

\displaystyle   sen \ \alpha  + sen \beta = 2 \cdot sen \left( \frac{ \alpha + \beta  }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ \alpha - \beta  }{2} \right)

 

Sustituimos los valores de nuestro ejercicio en la identidad trigonométrica:

 

\displaystyle  sen(2x+60^{\circ}) + sen(x+30^{\circ}) =

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) +  (x+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x+60^{\circ}) - (x+30^{\circ})  }{2} \right)

 

Simplificamos términos semejantes:

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ (2x+ x) +  (60^{\circ}+30^{\circ}) }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ (2x-x) + (60^{\circ}-30^{\circ})  }{2} \right)

 

\displaystyle  2 \cdot sen \left( \frac{ 3x}{2} + \frac{ 90^{\circ} }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ x}{2} + \frac{30^{\circ}  }{2} \right)

 

 \displaystyle 2 \cdot sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) cos\left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) =0

 

Para que la ecuación sea igual a cero, es claro que uno de los 2 términos debe ser igual a cero :

 

Caso 1:  \displaystyle sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) = 0

 

Caso 2:  \displaystyle    cos\left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) =0

 

Resolviendo caso 1:

 

 \displaystyle sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 \displaystyle arc \ sen \left[ sen \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  \right] = arc \ sen  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

\displaystyle arc \ sen (0)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  0^{\circ}+360^{\circ} k    \\ 180^{\circ}+360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 0^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  = 0^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{3x}{2}   = (0^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{3x}{2} = -45^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   3x= -90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= \frac{-90^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= -30^{\circ} + 360^{\circ}k  \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 330^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 180^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{3x}{2}+45^{\circ}  \right)  = 180^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{3x}{2}   = (180^{\circ} - 45^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{3x}{2} = 135^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   3x= 270^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= \frac{270^{\circ}}{3} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

\displaystyle sen \ \left( \frac{3x}{2} +45^{\circ} \right)=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x= 90^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

Resolviendo caso 2:

 

 \displaystyle cos \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 \displaystyle arc \ cos \left[ cos \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right) = 0  \right] = arc \ cos  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

\displaystyle arc \ cos (0)  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l}  90^{\circ}+360^{\circ} k    \\ 270^{\circ}+360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 90^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ} \right)  = 90^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{x}{2}   = (90^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{x}{2} = 75^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 150^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  \displaystyle arc \ sen (0) = 270^{\circ}+360^{\circ}k

 

 \displaystyle  \left(  \frac{x}{2}+15^{\circ}  \right)  = 270^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 \displaystyle   \frac{x}{2}   = (270^{\circ} - 15^{\circ}) + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle \frac{x}{2} = 255^{\circ} + 360^{\circ}k

 

 \displaystyle   x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k

 

\displaystyle cos \ \left( \frac{x}{2} +15^{\circ} \right)=0  \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x= 510^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación \displaystyle sen(2x+60^{\circ})+ sen(x+30^{\circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

En conclusión, los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

\displaystyle x \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_1=330^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_2= 90^{\circ} + 360^{\circ}k   \\  x_3=150^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_4= 510^{\circ} + 360^{\circ}k     \end{array} \right.

 

 

 

 

7  \displaystyle sen^2\ x - cos^2 \ x = \frac{1}{2}

 

 

7 \displaystyle sen^2\ x - cos^2 \ x = \frac{1}{2}

 

Para este caso usaremos una identidad trigonométrica de los ángulos dobles:

 

\displaystyle  cos^2 \ \theta -sen^2\ \theta =cos (2 \theta )

 

 

Lo primero sera multiplicar toda nuestra ecuación por -1 :

 

 

\displaystyle   -sen^2\ x + cos^2 \ x =- \frac{1}{2}

 

Ahora ordenamos de forma que se parezca mas a nuestra identidad trigonométrica

 

\displaystyle   cos^2 \ x  - sen^2\ x  =- \frac{1}{2}

 

Usamos la identidad  sustituyendo los valores de nuestra ecuación :

 

\displaystyle  cos^2 \ x -sen^2\ x =cos (2 x ) \Rightarrow  cos (2 x ) = -\frac{1}{2}

 

Para despejar la variable, es necesario usar la propiedad de función inversa

 

\displaystyle  arc \ cos \left( cos \ (2x) \right) = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  2x  = arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)

 

Buscando en el circulo unitario, encontraremos que :

 

\displaystyle arc \ cos \ \left( - \frac{1}{2} \right)  = \left \{  \begin{array}{l}120^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 240^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right.

 

Resolviendo para \displaystyle   120^{\circ} + 360^{\circ}k :

 

\displaystyle  2x  = 120^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x  = 60^{\circ} + 180^{\circ}k

 

Resolviendo para \displaystyle   240^{\circ} + 360^{\circ}k :

 

\displaystyle  2x  = 240^{\circ} + 360^{\circ}k

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle  x  = 120^{\circ} + 180^{\circ}k

 

Los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

\displaystyle x \Rightarrow  \left \{  \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ}k \\  x_2= 120^{\circ} + 180^{\circ}k    \end{array} \right.

 

 

 

8 \displaystyle   cos \ 8x + cos \ 6x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

 

8 \displaystyle  cos \ 8x + cos \ 6x = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Usaremos la identidad trigonométrica de la suma de cosenos:

 

\displaystyle      cos \ \alpha + cos\ \beta  = 2 \cdot cos \left(  \frac{ \alpha + \beta  }{2} \right) \cdot  cos \left( \frac{ \alpha - \beta  }{2}  \right)

 

Sustituimos:

 

\displaystyle      cos \ (8x) + cos\ (6x)  = 2 \cdot cos \left(  \frac{  8x + 6x }{2} \right) \cdot cos \left( \frac{ 8x - 6x  }{2}  \right)

 

\displaystyle      cos \ (8x) + cos\ (6x)  \Rightarrow   2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x

 

Nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

 

\displaystyle       2 \cdot cos \ 7x \cdot cos \ x   = 2 \cdot cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

 

\displaystyle        cos \ 7x \cdot cos \ x   = cos(210^{\circ}) \cdot cos \ x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):

 

\displaystyle        cos \ 7x   = cos(210^{\circ})

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

\displaystyle       arc \ cos ( cos \ 7x)   = arc \ cos  (cos(210^{\circ}))

 

\displaystyle        7x  = 210^{\circ}

 

Despejamos la variable:

 

\displaystyle        x  = \frac{210^{\circ}}{7}

 

\displaystyle        x  = 30^{\circ}

 

La ecuación se satisface cuando \displaystyle        x  = 30^{\circ}

 

9 \displaystyle tg \ 2x = -tg \ x

 

 

9 \displaystyle tg \ 2x = -tg \ x

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica ubicada en la sección de "Identidades trigonométricas para ángulos dobles" :

 

\displaystyle  tg (2 \theta) = \frac{2 \cdot tg \ \theta}{1 - tg^2 \ \theta}

 

Vamos a sustituir con los valores de nuestra ecuación para obtener:

 

\displaystyle  tg (2 \cdot x ) = \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x}

 

Entonces, nuestra ecuación quedara de la forma siguiente:

 

\displaystyle  \frac{2 \cdot tg \ x}{1 - tg^2 \ x} = -tg \ x

 

Igualaremos la ecuación a cero:

 

\displaystyle \frac{2tg \ x }{1-tg^2 \ x } +tg \ x = 0

 

Realizamos la suma de fracciones usando el producto cruzado :

 

\displaystyle \frac{ (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x) }{1-tg^2 \ x } = 0

 

Eliminaremos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por \displaystyle 1-tg^2 \ x :

 

\displaystyle  (2 \cdot tg \ x) + (1-tg^2 \ x) \cdot (tg \ x)  = 0

 

Realizamos el producto indicado:

 

\displaystyle  (2 \cdot tg \ x) + (tg \ x -tg^3 \ x)  = 0

 

Agrupamos términos semejantes y los sumamos:

 

\displaystyle  3 \cdot tg \ x  - tg^3 \ x  = 0

 

Factorizamos usando \displaystyle  tg \ x   como factor común :

 

\displaystyle   (tg \ x ) \cdot  (3  - tg^2 \ x)  = 0

 

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación por\displaystyle  tg \ x y obtenemos:

 

\displaystyle  3  - tg^2 \ x  = 0

 

Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación y ordenamos para resolver como ecuación de segundo grado :

 

\displaystyle  tg^2 \ x -3 = 0

 

\displaystyle  tg^2 \ x  = 3

 

\displaystyle tg \  x= \sqrt{3}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ tg ( tg \  x )= arc \ tg (  \sqrt{3}  )

 

\displaystyle   x= arc \ tg (\sqrt{3})

 

\displaystyle  x=   \left \{  \begin{array}{l} 60^{\circ}+180^{\circ}k  \\ 120^{\circ}+180^{\circ}k   \end{array} \right.

 

10  \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x = 2

 

 

10 \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x = 2

 

Primero, restaremos  \displaystyle  \sqrt{3} \ cos \ x en ambos lados:

 

 \displaystyle sen \ x + \sqrt{3} \ cos \ x  -  \sqrt{3} \ cos \ x = 2  -  \sqrt{3} \ cos \ x

 

 \displaystyle sen \ x  = 2  -  \sqrt{3} \ cos \ x

 

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados:

 

 \displaystyle  (sen \ x )^2 = (2  -  \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 \displaystyle  (sen \ x )^2 - (2  -  \sqrt{3} \ cos \ x ) ^2 = 0

 

Resolvemos los cuadrados, para lo cual usamos la formula del binomio al cuadrado:

 

 \displaystyle  (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2

 

 \displaystyle  sen^2 \ x   - [(2)^2   - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]

 

Utilizamos la identidad trigonométrica pitagórica :

 

 \displaystyle  sen^2 \theta = 1- cos^2 \theta

 

Sustituimos

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   - [(2)^2   - 2 \cdot (2) \cdot (\sqrt{3} \ cos \ x) + (\sqrt{3} \ cos \ x )^2]=0

 

Simplificamos:

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   - [4   - 4\cdot  \ cos \ x \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}^2 \cdot \ cos^2 \ x ]=0

 

 \displaystyle  1- cos^2 (x)   -4   + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot  \ cos \ x + 3 \cdot \ cos^2 \ x =0

 

Simplificamos términos semejantes :

 

 \displaystyle  (-4 \cdot cos^2 x) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot  \ cos \ x)  + (-3) = 0

 

Realizaremos un cambio de variable:

 

Sea  \displaystyle u= cos(x)

 

Sustituimos:

 

 \displaystyle  (-4u^2 ) + (4 \cdot \sqrt{3} \cdot  u)  + (-3) = 0

 

Observemos que se trata de una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la formula general:

 

\displaystyle  x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  u = \frac{-(4 \cdot \sqrt{3}) \pm \sqrt{(4 \cdot \sqrt{3})^2 -4(-4)(-3) } }{2(-4)}

 

Resolvemos:

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{(16 \cdot 3) -48 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{48 -48 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm \sqrt{0 } }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3} \pm 0 }{-8}

 

\displaystyle  u = \frac{-4 \cdot \sqrt{3}  }{(-4) \ cdot (2)}

 

\displaystyle  u = \frac{  \sqrt{3}  }{2}

 

Deshacemos el cambio de variable :

 

\displaystyle  cos(x) = \frac{  \sqrt{3}  }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ cos\  cos(x) = arc \ cos \left( \frac{  \sqrt{3}  }{2} \right)

 

\displaystyle  x = arc \ cos \left( \frac{  \sqrt{3}  }{2} \right)

 

Ahora solo debemos localizar el valor en nuestra tabla del circulo unitario:

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1 = 30^{\circ} + 360^{\circ}k \\  x_2 = 330^{\circ} + 360^{\circ}k \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

 

 

 

11  \displaystyle  sen \ 2x =cos(60^{\circ})

 

 

11 \displaystyle  sen \ 2x =cos(60^{\circ})

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

Buscamos en nuestro circulo unitario el valor correspondiente a \displaystyle  cos(60°) :

 

\displaystyle  cos(60°) = \frac{1}{2}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle   sen ( 2x) = \frac{1}{2}

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

\displaystyle  arc \ sen \ (sen \ 2x)  = arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  2x = arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos los valores correspondientes en nuestro círculo unitario

 

 

\displaystyle  arc \ sen \  \left( \frac{1}{2} \right) =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Entonces:

 

\displaystyle  2x =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Despejamos la variable dividiendo por 2:

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1=15^{\circ} + 180^{\circ} k \\  x_2=75^{\circ} + 180^{\circ} k  \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

12  \displaystyle 4sen(x-30^{\circ})cos(x-30^{\circ})=\sqrt{3}

 

 

12 \displaystyle 4sen(x-30^{\circ})cos(x-30^{\circ})=\sqrt{3}

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta

 

Pero antes de sustituir,  obtendremos una variante dividiendo por 2 cada lado de la identidad:

 

\displaystyle \frac{sen(2 \theta)}{2} = sen \theta \cdot cos \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle 4 \cdot  \frac{sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))}{2}  = \sqrt{3}

 

Simplificamos realizando la division indicada:

 

\displaystyle 2 \cdot  sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))  = \sqrt{3}

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle  sen(2 \cdot (x-30^{\circ}))  = \frac{ \sqrt{3} }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

\displaystyle  arc \ sen \ [ sen(2 \cdot (x-30^{\circ})) ] = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) = arc \ sen \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)

 

Localizamos el valor para \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} en nuestro circulo unitario:

 

\displaystyle  \frac{ \sqrt{3} }{2} =  \left \{  \begin{array}{l} 60^{\circ} + 360^{\circ} k \\ 120^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

Sustituimos para ambos casos:

 

Caso 1:

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) =  60^{\circ} + 360^{\circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle   x-30^{\circ}  =  30^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle   x  =  60^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Caso 2:

 

\displaystyle  2 \cdot (x-30^{\circ} ) =  120^{\circ} + 360^{\circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

\displaystyle  x-30^{\circ}  =  60^{\circ} + 180^{\circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle  x  =  90^{\circ} + 180^{\circ} k

 

La ecuación se satisface cuando :

 

\displaystyle  x=  \left \{  \begin{array}{l} x_1=60^{\circ} + 180^{\circ} k \\  x_2=90^{\circ} + 180^{\circ} k  \end{array} \right.

 

 

13  \displaystyle  2cos \ x = 3tg \ x

 

 

13 \displaystyle  2cos \ x = 3tg \ x

 

Utilizaremos la identidad trigonométrica básica :

 

\displaystyle tan  \theta = \frac{sen \theta}{ cos \theta }

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2cos \ x = 3 \cdot   \frac{sen x}{ cos x }

 

\displaystyle  2cos \ x =    \frac{ 3 \cdot sen x}{ cos x }

 

Eliminamos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por  \displaystyle cos \ x

 

\displaystyle  2cos^2( x)  =    3 \cdot sen (x)

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

 

\displaystyle  cos^2 \theta  = 1-sen^2 \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2(1-sen^2 \ x ) = 3 \cdot sen (x)

 

Aplicamos propiedad distributiva:

 

\displaystyle  2-2sen^2 \ x = 3 \cdot sen (x)

 

Igualamos a cero y ordenamos:

 

\displaystyle  (-2sen^2 x) +(- 3 \cdot sen (x) ) +2  =  0

 

Multiplicamos toda la expresión por \displaystyle  -1

 

\displaystyle  2sen^2 x + 3 \cdot sen (x)  - 2  =  0

 

Realizamos un cambio de variable, donde:

 

\displaystyle u= sen(x)

 

Sustituimos:

 

\displaystyle  2 u^2 +  3u  - 2  =  0

 

Resolvemos mediante la formula eneal para ecuaciones de segundo grado:

 

\displaystyle  u= \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(2)(-2)} }{2(2)}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm \sqrt{9 +16} }{4}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm \sqrt{25} }{4}

 

\displaystyle  u= \frac{-3 \pm 5 }{4}

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 \pm 5 }{4}

 

Caso 1:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 + 5 }{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{2}{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{1}{2}

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ sen (  sen \ x ) = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

\displaystyle  x  = arc \ sen \left( \frac{1}{2} \right)

 

Localizamos el valor correspondiente en nuestro circulo unitario :

 

\displaystyle  x  =  \left \{  \begin{array}{l} 30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

Caso 2:

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-3 - 5 }{4}

 

\displaystyle  sen \ x = \frac{-8}{4}

 

\displaystyle  sen \ x = -2

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

\displaystyle arc \ sen (  sen \ x ) = arc \ sen (-2)

 

\displaystyle arc   x  = arc \ sen(-2)

 

Como sabemos y podemos observar en nuestro circulo unitario, la función seno no esta definida para valores mayores a 1, ni menores a -1 por lo tanto este caso no tiene solución.

 

La función se satisface cuando:

 

\displaystyle  x  =  \left \{  \begin{array}{l} x_1=30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2=150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

 

14  \displaystyle sen \ 2x \cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

 

14 \displaystyle sen \ 2x \cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

\displaystyle sen(2 \theta)= 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta

 

Sustituimos:

 

\displaystyle sen(2 x)= 2 \cdot sen x \cdot cos x

 

Entonces:

 

\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos \ x )\cdot cos \ x = 6sen^3 \ x

 

Simplificamos:

 

\displaystyle  2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x = 6sen^3 \ x

 

Igualamos a cero la ecuación:

 

\displaystyle ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) - ( 6sen^3 \ x)=0

 

Factorizamos:

 

\displaystyle - ( 6sen^3 \ x) +(  2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x  ) =0

 

\displaystyle - ( 6sen^2 \ x \cdot sen \ x)+ ( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0

 

\displaystyle - ( (3) \cdot (2) sen^2 \ x \cdot sen \ x) +( 2 \cdot sen x \cdot cos^2 \ x ) =0

 

Extraemos el termino común  \displaystyle   2 \cdot sen x   :

 

\displaystyle  (2) sen  (x)  \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x ) \right ] =0

 

Ahora vamos a factorizar la parte dentro del  corchete :

 

\displaystyle   \left[ ( -3 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x ) \right ]

 

Reescribiremos el 3 como  \displaystyle  \sqrt{ 3}^2

 

\displaystyle    ( - \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2 \ x )

 

Ordenamos para poder aplicar la diferencia de cuadrados :

 

\displaystyle   (a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2

 

\displaystyle    (   cos^2 \ x ) - ( \sqrt{ 3}^2 \cdot sen^2 (x) )

 

Aplicamos la ley de signos \displaystyle   a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2    :

 

\displaystyle   (   cos \ x )^2 - ( \sqrt{ 3} \cdot sen x )^2

 

Ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

 

\displaystyle    [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot  [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ]

 

Recordemos que este es el resultado de la parte del corchete que teníamos arriba, vamos a sustituirla en nuestra ecuación ahora que ya esta factorizado :

 

\displaystyle  [2 sen \ x] \cdot  [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] \cdot  [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen \ x ) ] =0

 

Es claro que para la ecuacion se satisfaga, basta con que uno solo de los corchetes, de como resultado cero, entonces tenemos 3 casos:

 

Caso 1, cuando \displaystyle  [2 sen \ x]  =0

 

Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación:

 

\displaystyle   sen \ x  =0

 

\displaystyle    x  = arc \ sen \ 0

 

Localizamos en el circulo unitario:

 

\displaystyle x=  \left \{  \begin{array}{l} 0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 180^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Caso 2, cuando \displaystyle  [   (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ] =0

 

Dividimos ambos miembros por cos x y usamos la identidad trigonométrica básica de la tangente:

 

\displaystyle  frac{  (cos \ x)  + (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) } {cos \ x }  = \frac{0}{cos \ x}

 

\displaystyle  1 + \sqrt{ 3} \cdot \frac{ sen (x)}{cos \ x}  =0

 

\displaystyle  1 + \sqrt{ 3} \cdot tg \ x  =0

 

Despejamos la variable :

 

\displaystyle    tg \ x  =- \frac{1}{\sqrt{3}}

 

\displaystyle     x  =  arc \ tg  \left( - \frac{1}{\sqrt{3}}  \right )

 

\displaystyle     x  =  150^{\circ} + 180^{\circ}k

 

 

Caso 3, cuando \displaystyle [ (cos \ x) - (\sqrt{ 3} \cdot sen (x) ) ]=0

 

Este caso es bastante similar al caso 2:

 

\displaystyle  1 - \sqrt{ 3} \cdot tg \ x  =0

 

\displaystyle    tg \ x  =\frac{-1}{- \sqrt{3}}

 

\displaystyle    tg \ x  =\frac{1}{ \sqrt{3}}

 

\displaystyle     x  =  arc \ tg  \left(  \frac{1}{\sqrt{3}}  \right )

 

\displaystyle     x  =  30^{\circ} + 180^{\circ}k

 

La ecuacion se satisface cuando x adquiere alguno de los siguientes valores :

 

\displaystyle    x=    \left \{  \begin{array}{l} x_1=0^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2=180^{\circ} + 360^{\circ} k \\ x_3 = 150^{\circ} + 180^{\circ} k    \\ x_4  = 30^{\circ} + 360^{\circ} k  \end{array} \right.

 

 

15 \displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x = 3

 

 

15\displaystyle 4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x = 3

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 \displaystyle  4sen \left( \frac{x}{2}  \right) +2cos \ x -3 = 0

 

Aplicamos un cambio de variable, donde  \displaystyle  u= \frac{x}{2}

 

Sustituimos:

 

 \displaystyle  4 \cdot sen (u)   + 2 \cdot cos  (2u) -3 = 0

 

Usamos la siguiente  identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 \displaystyle   cos(2 \theta)= 1- 2 \cdot sen^2 \theta

 

Sustituimos nuestra variable en la identidad:

 

 \displaystyle   cos(2 u)= 1- 2 \cdot sen^2 (u)

 

Sustituimos lo obtenido en nuestra ecuación :

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)   + 2 \cdot [1- 2 \cdot sen^2 (u) ] -3 = 0

 

Desarrollamos:

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)   +  2 - 4 \cdot sen^2 (u)  -3 = 0

 

Sumamos términos semejantes y ordenamos:

 

 \displaystyle 4 \cdot sen (u)  - 4 \cdot sen^2 (u)  -1 = 0

 

 \displaystyle   - 4 \cdot sen^2 (u) + 4 \cdot sen (u)  -1 = 0

 

Realizamos otro cambio de variable, sea   \displaystyle  sen(u) = v

 

 \displaystyle   - 4 v^2 + 4 v  -1 = 0

 

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado :

 

\displaystyle  v= \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 -4(-4)(-1) } }{2(-4)}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 \pm \sqrt{16 -16 } }{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 \pm 0}{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{-4 }{-8}

 

\displaystyle  v= \frac{1 }{2}

 

Deshacemos el ultimo cambio de variable:

 

\displaystyle  sen \ u = \frac{1 }{2}

 

\displaystyle   u = arc \ sen \ \left( \frac{1 }{2} \right)

 

Localizamos los valores en nuestro circulo unitario y tenemos que:

 

\displaystyle u=  \left \{  \begin{array}{l}  30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Ahora deshacemos el primer cambio de variable:

 

\displaystyle \frac{x}{2}=  \left \{  \begin{array}{l}  30^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ 150^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

Despejamos la variable, multiplicando por 2:

 

\displaystyle x =  \left \{  \begin{array}{l} x_1=  60^{\circ} + 360^{\circ}k  \\ x_2 = 300^{\circ} + 360^{\circ} k \end{array} \right.

 

La ecuación se satisface cuando x adquiere cualquiera de esos 2 valores.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗