Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

Para poder resolver los ejercicios siguientes es necesario tener a la mano las siguiente herramientas:

 

  1. Círculo unitario
  2. Identidades trigonométricas básicas
  3. Identidades trigonométricas pitagóricas
  4. Identidades trigonométricas pares e impares
  5. Identidades trigonométricas para ángulos dobles
  6. Identidades trigonométricas para ángulos medios
  7. Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

 

 

Círculo unitario

 

La tabla conocida como círculo unitario, la cual contiene los valores de los radios mas representativos usados en la trigonométrica, ademas, el nombre de este círculo se debe a que es un círculo con radio 1.

 

representación gráfica circulo unitario

 

Con esta herramienta sera muy sencillo localizar el valor de los ángulos, por ejemplo, si quisiéramos conocer el valor de displaystyle x=arc  sen(-1) , simplemente debemos ubicarnos en el eje del seno, es decir, el eje y, y luego ubicarnos en el valor  -1 .

Notaremos que la tabla indica que el angulo es displaystyle 270^{circ} lo cual es el valor en grados, pero también existe el valor en radianes, el cual es displaystyle  frac{3 pi }{2}

Cuando necesitamos localizar los valores para la tangente, recordemos que la tangente es una linea recta que toca a la circunferencia en un único punto, en el caso de esta circunferencia, la tangente que se utiliza es aquella que toca el unto de los displaystyle  0^{circ}, 360^{circ}    y la altura de la tangente dependerá del valor en la ecuación, por ejemplo, en la ecuación  displaystyle  tan  x= 1  despejamos la variable y obtenemos displaystyle   x= arc  tan  1  , entonces buscamos la tangente de altura  1 y trazamos la linea hasta el origen, observaremos el punto donde se intersecta con la circunferencia, y buscaremos el valor en la tabla

representacion grafica circulo unitario tangente

 

Corresponde a displaystylefrac {pi}{4} = 45^{circ}

También podría decirse que corresponde a displaystyle arc  sen left(frac{sqrt{2}}{2}right) o displaystyle arc  cos left(frac{sqrt{2}}{2}right)

 

 

Identidades trigonométricas básicas

 

Las identidades trigonométricas son igualdades definidas que nos ayudan a realizar el trabajo algebraico sin rompernos la cabeza

 

tabla de identidades trigonometricas basicas

 

Identidades trigonométricas pitagóricas

 

tabla de identidades trigonometricas pitagoricas

Identidades trigonométricas pares e impares

 

 

 

Ángulos dobles y ángulos medios

 

 

formulas angulos dobles

 

 

Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

identidades trigonometricas

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (53 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (32 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (14 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (102 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (94 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (107 opiniones)
Julio
14€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (124 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (53 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (32 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (14 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (102 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (94 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (107 opiniones)
Julio
14€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (124 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas

 

Resuelve despejando la variable y localizando los valores en el círculo unitario

 

1  displaystyle sen  x=0

 

2  displaystyle  cos x=0

 

3  displaystyle tg x=0

 

4  displaystyle sen x=1

 

5 displaystyle cos x=1

 

6  displaystyle tg x=1

 

7  displaystyle sen x=-1

 

8 displaystyle cos x=-1

 

9 displaystyle tg x=-1

 

10 displaystyle sen x=frac{1}{2}

 

11 displaystyle sen x=-frac{1}{2}

 

12 displaystyle cos x=frac{1}{2}

 

13 displaystyle cos x=-frac{1}{2}

 

 

Para resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas es necesario recordar la propiedad de la función inversa:

displaystyle f circ f^{-1} =x

 

1  displaystyle sen x =0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  sen (sen   x)= arc   sen  0

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen  0

Nos ubicamos en el del seno, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x=arc  sen  0  Rightarrow  left {  begin{array}{cc} x_{1}=0^{circ} + 360^{circ}k & x_{1}=0^{circ},360^{circ},720^{circ},...  x_{2}=180^{circ} + 360^{circ} k  & x_{2}=180^{circ},540^{circ},900^{circ},...end{array} right.

 

displaystyle x= 0^{circ} +180^{circ}k

 

 

2 displaystyle cos  x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  cos (cos  x)=arc  cos   0

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   cos  0

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor displaystyle   0 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   0 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x=arc  cos  0  Rightarrow  left {  begin{array}{cc} x_{1}=0^{circ} + 360^{circ}k & x_{1}=90^{circ},450^{circ},810^{circ},...  x_{2}=270^{circ} + 360^{circ} k  & x_{2}=270^{circ},630^{circ},990^{circ},...end{array} right.

 

displaystyle x= 90^{circ} +180^{circ}k

 

 

3  displaystyle tg   x=0

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  tg (tg  x)=arc  tg   0

 

displaystyle x= arc  tg  0

 

En nuestra tabla, visualicemos una tangente de altura cero, obviamente al buscar el valor en el círculo unitario encontraremos que corresponde a cero grados, entonces:

 

displaystyle x= 0^{circ} +180^{circ}k

 

 

4 displaystyle sen   x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  sen (sen  x)=arc  sen   1

 

displaystyle x= arc  sen  1

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen  1

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x= 90^{circ} +360^{circ}k

 

 

5 displaystyle cos   x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  cos (cos  x)=arc  cos  1

 

displaystyle x= arc  cos  1

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   cos  1

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor displaystyle   1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x= 0^{circ} +360^{circ}k

 

 

 

6  displaystyle tg   x=1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  tg (tg  x)=arc  tg  1

 

displaystyle x= arc  tg  1

 

Este ejercicio se mostró en el ejemplo a principio de la lección donde podrás observar la representación gráfica.

Visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente circulo unitario

 

 

displaystyle x= 45^{circ} +180^{circ}k

 

 

7 displaystyle sen   x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  sen (sen  x)=arc  sen   (-1)

 

displaystyle x=arc  sen(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen ( -1)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x= 270^{circ} +360^{circ}k

 

 

8  displaystyle cos   x=-1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  cos (cos  x)=arc  cos   (-1)

 

displaystyle x= arc  cos(-1)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen ( -1)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor displaystyle   -1 en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle   -1 . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x= 180^{circ} +360^{circ}k

 

 

9 displaystyle tg   x=  -1

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  tg (tg  x)=arc  tg  ( -1)

 

displaystyle x= arc  tg(-1)

 

Ubicándonos en la coordenada  (-1,0)   visualizamos una recta tangente de altura  1 , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente x 1

 

displaystyle x= 135^{circ} +180^{circ}k

 

 

10  displaystyle sen   x=frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  sen (sen  x)=arc  sen left( frac{1}{2} right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen left( frac{1}{2} right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle  frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle  frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

displaystyle x=arc  sen  left( frac{1}{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{1}=30^{circ} + 360^{circ}k   x_{2}=150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

11  displaystyle sen   x=-frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  sen (sen  x)=arc  sen left (-frac{1}{2} right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen left( -frac{1}{2} right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle  -frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle  -frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x=arc  sen  left( -frac{1}{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{1}=210^{circ} + 360^{circ}k   x_{2}=330^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

12  displaystyle cos   x=frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  cos (cos  x)=arc  cos  left( frac{1}{2}  right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   cos left( frac{1}{2} right)

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor displaystyle  frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle  frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x=arc  cos  left( frac{1}{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{1}=60^{circ} + 360^{circ}k   x_{2}=300^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

13  displaystyle cos   x=-frac{1}{2}

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

displaystyle arc  cos (cos  x)=arc  cos  left( -frac{1}{2} right)

 

Localizamos en la tabla el valor para  displaystyle  arc   sen left(- frac{1}{2} right)

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor displaystyle  -frac{1}{2} en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por displaystyle  -frac{1}{2} . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

displaystyle x=arc  cos left(  -frac{ 1 }{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l} x_{1}=120^{circ} + 360^{circ}k  x_{2}=240^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

 

Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

 

1  displaystyle sen left( x + frac{ pi }{4} right) = frac{sqrt{3} }{2}

 

 

1  displaystyle sen left( x + frac{ pi }{4} right) = frac{sqrt{3} }{2}

 

Para resolver la ecuacion, buscaremos en la tabla los valores de displaystyle arc  sen left( frac{sqrt{3} }{2}right)

displaystyle arc  sen left( frac{sqrt{3} }{2}right)     Rightarrow  left {  begin{array}{l}  sen  60^{circ}  sen  120^{circ} end{array} right.

 

Esto nos da 2 casos posibles, sustituimos para el primer caso

 

displaystyle x+45^{circ} = 60^{circ}

 

Despejamos la variable

 

displaystyle x = 60^{circ} - 45^{circ}

 

displaystyle x_1= 15^{circ} +360^{circ}k

 

Sstituimos para el segundo  caso

 

displaystyle x+45^{circ} = 120^{circ}

 

Despejamos la variable

 

displaystyle x = 120^{circ} - 45^{circ}

 

displaystyle x_2= 75^{circ} +360^{circ}k

 

 

 

2 displaystyle 2tg  x -3cotg  x -1 =0

 

 

2 displaystyle 2tg  x -3cotg  x -1 =0

 

Usando las identidades trigonométricas, trataremos de simplificar esta ecuación en funciones mas simples como seno, coseno o tangente

 

Usemos la identidad trigonométrica  displaystyle cot   theta  = frac{1}{tan  theta }

 

displaystyle 2tg  x - 3 cdot frac{1}{tg  x}-1 =0

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica  displaystyle tg  theta  = frac{sen theta }{cos  theta }

 

displaystyle  2 cdot frac{ sen  x}{cos  x} - frac{3}{ frac{sen  x}{cos  x} } -1 =0

 

Simplificamos:

 

displaystyle  frac{ 2 cdot sen  x}{cos  x} - frac{3 cdot cos  x}{sen  x } -1 =0

 

Realizaremos la resta de fracciones utilizando el producto cruzado para obtener:

 

displaystyle  frac{ 2 cdot (sen  x) cdot (sen  x) - (3 cdot cos  x  ) cdot (cos  x)}{(cos x)cdot (sen  x)} -1 =0

 

Simplificamos:

 

displaystyle  frac{ 2 cdot (sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) }{(cos x)cdot (sen  x)} -1 =0

 

Convertimos la unidad en una fracción equivalente con el mismo denominador:

 

displaystyle  1= frac{ (cos x)cdot (sen  x) }{(cos x)cdot (sen  x)}

 

Sustituimos y simplificamos

 

displaystyle  frac{ 2 (cdot sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) }{(cos x)cdot (sen  x)} - frac{ (cos x)cdot (sen  x) }{(cos x)cdot (sen  x)} =0

 

displaystyle  frac{ 2 cdot (sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) - (cos x)cdot (sen  x) }{(cos x)cdot (sen  x)}  =0

 

Ahora multiplicamos ambos miembros de la ecuación por displaystyle left[  (cos x)cdot (sen  x) right]

 

Por el lado izquierdo tenemos :

 

displaystyle  left[ frac{ 2 cdot (sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) - (cos x)cdot (sen  x) }{(cos x)cdot (sen  x)} right] cdot left[  (cos x)cdot (sen  x) right]

 

Al simplificar obtenemos:

 

displaystyle 2 cdot (sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) - (cos x)cdot (sen  x)

 

Por el lado derecho tenemos displaystyle 0 cdot left[  (cos x)cdot (sen  x) right] lo cual claramente es igual a cero

 

Entonces:

 

displaystyle 2 cdot (sen^2  x)  - (3 cdot cos^2  x  ) - (cos x)cdot (sen  x) = 0

 

Factorizamos:

 

displaystyle   (2 sen  x - 3 cos  x) cdot (sen  x + cos  x ) = 0

 

Ahora existen 2 casos:

 

Primer caso: despejando el primer termino

 

displaystyle   2 sen  x - 3 cos  x = frac{0}{ (sen  x + cos  x )}

 

displaystyle   2 sen  x - 3 cos  x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por displaystyle   cos  x

 

displaystyle   frac{2 sen  x - 3 cos  x}{cos  x}  = frac{0}{cos  x}

 

displaystyle   frac{2 sen  x }{cos  x} - frac{3 cos  x}{cos  x}   = 0

 

displaystyle   2 cdot frac{ sen  x }{cos  x} - 3   = 0

 

Utilizaremos la identidad displaystyle  tg  theta = frac{sen  theta }{cos  theta}

 

displaystyle   2 tg  x - 3   = 0

 

Despejamos la variable

 

displaystyle   2 tg  x    = 3  Rightarrow     tg  x= frac{3}{2}

 

displaystyle    x= arc  tg left( frac{3}{2} right)

 

displaystyle x=56^{circ}18'35''+180^{circ}k

 

 

Segundo  caso: despejando el segundo termino

 

displaystyle   sen  x + cos  x  = frac{0}{(2 sen  x - 3 cos  x) }

 

displaystyle  sen  x + cos  x  = 0

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por displaystyle   cos  x

 

displaystyle  frac{sen  x + cos  x}{ cos  x }  = frac{0}{cos  x}

 

displaystyle  frac{sen  x }{ cos  x } + frac{cos  x }{cos  x}  = 0

 

displaystyle  frac{sen  x }{ cos  x } + 1  = 0

 

Utilizaremos la identidad displaystyle  tg  theta = frac{sen  theta }{cos  theta}

 

displaystyle tg  x + 1  = 0

 

Despejamos la variable

 

displaystyle tg  x   = -1  Rightarrow      x= arc  tg  (-1)

 

Ahora buscamos el valor en nuestro círculo unitario como hemos hecho anteriormente

 

displaystyle x=135^{circ}+180^{circ}k

 

 

3  displaystyle 3sen^2  x -5sen  x +2 =0

 

 

3 displaystyle 3sen^2  x -5sen  x +2 =0

 

Podemos observar claramente que la ecuación es de la forma :

 

displaystyle ax^2 +bx +c =0

 

Es decir, una ecuación de segundo grado que se puede resolver mediante la formula general:

 

displaystyle  x= frac{-b pm sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

displaystyle sen  x= frac{-(-5) pm sqrt{(-5)^2 -4(3)(2) } }{2(3)}

 

displaystyle sen  x = frac{5 pm sqrt{25-24} }{6}

 

Caso 1:

 

displaystyle  sen  x= frac{5+1}{6}

 

displaystyle  sen  x= 1

 

Despejamos la variable:

 

displaystyle  x= arc  sen  1

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

displaystyle x=90^{circ}+360^{circ}k

 

Caso 2: 

 

displaystyle sen  x = frac{5-1}{6}

 

displaystyle  sen  x= frac{4}{6}

 

displaystyle  sen  x= frac{2}{3}

 

Despejamos la variable :

 

displaystyle   x= arc  sen  left( frac{2}{3} right)

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

displaystyle  x=  left {  begin{array}{l} 41^{circ} 48'37''+ 360^{circ}k   138^{circ}11'23'' + 360^{circ} k end{array} right.

4  displaystyle cos^2  x -3sen^2  x=0

 

 

4 displaystyle cos^2  x -3sen^2  x=0

 

Utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

 displaystyle  cos^2  theta  = 1- sen^2  theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

displaystyle cos^2  x Rightarrow 1- sen^2  x

 

displaystyle 1-sen^2  x -3sen^2  x=0

 

Sumamos términos semejantes:

 

displaystyle 1-4sen^2  x=0

 

Despejamos la variable:

 

displaystyle sen^2  x =frac{1}{4}

 

displaystyle sen  x =sqrt{ frac{1}{4} }

 

displaystyle sen  x =pm frac{1}{2}

 

displaystyle x=arc  sen  left( frac{1}{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{1}=30^{circ} + 360^{circ}k   x_{2}=150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

displaystyle x=arc  sen  left( - frac{1}{2} right)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{3}=210^{circ} + 360^{circ}k   x_{4}=330^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

5  displaystyle cos  2x= 1+4sen  x

 

 

5  displaystyle cos  2x= 1+4sen  x

 

Usaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

displaystyle cos(2 theta) = left{  begin{array}{l}cos^2  theta - sen^2  theta  1- 2sen^2  theta  2cos^2  theta -1 end{array}    right.

 

De las 3 opciones que tenemos, utilizaremos la primera  displaystyle  cos^2  theta - sen^2  theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

displaystyle cos  2x Rightarrow cos^2  x - sen^2  x

 

displaystyle cos^2  x - sen^2  x  = 1+4sen  x

 

Ahora utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

displaystyle  cos^2  theta  = 1- sen^2  theta

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

displaystyle cos^2  x Rightarrow1- sen^2   x

 

displaystyle  1- sen^2   x  - sen^2  x  = 1+4sen  x

 

Igualamos la ecuación a cero y simplificamos los términos semejantes

 

displaystyle  1 -1 - 2sen^2   x  -4sen  x  =  0

 

displaystyle   + 2sen^2   x  +4sen  x  =  0

 

Ahora vamos a factorizar :

 

displaystyle 2sen  x  (sen  x +2 )=0  Rightarrow  left {  begin{array}{l} sen  x=0  sen  x+2=0 end{array} right.

 

Observamos que se generan 2 casos.

 

Caso 1:

 

displaystyle x=arc  sen  0  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  x_{1}=0^{circ} + 360^{circ}k   x_{2}=180^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 displaystyle x= 0^{circ}+180^{circ} k

 

Caso 2:

 

displaystyle arc  sen (-2)

Como podemos observar en el circulo unitario, los valores de las funciones seno y coseno están en el intervalo [-1,1], así que el  displaystyle arc  sen (-2)  no existe, por lo tanto este caso, no tiene solución.

 

Sin solución

 

6   displaystyle sen(2x+60^{circ})+sen(x+30^{circ})=0

 

 

6 displaystyle sen(2x+60^{circ})+ sen(x+30^{circ})=0

 

En este caso usaremos la identidad trigonométrica de suma de ángulos :

 

displaystyle   sen  alpha  + sen beta = 2 cdot sen left( frac{ alpha + beta  }{2} right) cdot cos left( frac{ alpha - beta  }{2} right)

 

Sustituimos los valores de nuestro ejercicio en la identidad trigonométrica:

 

displaystyle  sen(2x+60^{circ}) + sen(x+30^{circ}) =

 

displaystyle  2 cdot sen left( frac{ (2x+60^{circ}) +  (x+30^{circ}) }{2} right) cdot cos left( frac{ (2x+60^{circ}) - (x+30^{circ})  }{2} right)

 

Simplificamos términos semejantes:

 

displaystyle  2 cdot sen left( frac{ (2x+ x) +  (60^{circ}+30^{circ}) }{2} right) cdot cos left( frac{ (2x-x) + (60^{circ}-30^{circ})  }{2} right)

 

displaystyle  2 cdot sen left( frac{ 3x}{2} + frac{ 90^{circ} }{2} right) cdot cos left( frac{ x}{2} + frac{30^{circ}  }{2} right)

 

 displaystyle 2 cdot sen left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right) cosleft(  frac{x}{2}+15^{circ}  right) =0

 

Para que la ecuación sea igual a cero, es claro que uno de los 2 términos debe ser igual a cero :

 

Caso 1:  displaystyle sen left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right) = 0

 

Caso 2:  displaystyle    cosleft(  frac{x}{2}+15^{circ}  right) =0

 

Resolviendo caso 1:

 

 displaystyle sen left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 displaystyle arc  sen left[ sen left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right)  right] = arc  sen  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

displaystyle arc  sen (0)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  0^{circ}+360^{circ} k     180^{circ}+360^{circ}k     end{array} right.

 

Resolvamos la ecuación para  displaystyle arc  sen (0) = 0^{circ}+360^{circ}k

 

 displaystyle  left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right)  = 0^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 displaystyle   frac{3x}{2}   = (0^{circ} - 45^{circ}) + 360^{circ}k

 

 displaystyle frac{3x}{2} = -45^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   3x= -90^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= frac{-90^{circ}}{3} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= -30^{circ} + 360^{circ}k     Rightarrow    330^{circ} + 360^{circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  displaystyle arc  sen (0) = 180^{circ}+360^{circ}k

 

 displaystyle  left(  frac{3x}{2}+45^{circ}  right)  = 180^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 displaystyle   frac{3x}{2}   = (180^{circ} - 45^{circ}) + 360^{circ}k

 

 displaystyle frac{3x}{2} = 135^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   3x= 270^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= frac{270^{circ}}{3} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= 90^{circ} + 360^{circ}k

 

displaystyle sen  left( frac{3x}{2} +45^{circ} right)=0  Rightarrow  left {  begin{array}{l} x=330^{circ} + 360^{circ}k   x= 90^{circ} + 360^{circ}k     end{array} right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación displaystyle sen(2x+60^{circ})+ sen(x+30^{circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

Resolviendo caso 2:

 

 displaystyle cos left(  frac{x}{2}+15^{circ}  right) = 0

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 displaystyle arc  cos left[ cos left(  frac{x}{2}+15^{circ}  right) = 0  right] = arc  cos  (0 )

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

displaystyle arc  cos (0)  Rightarrow  left {  begin{array}{l}  90^{circ}+360^{circ} k     270^{circ}+360^{circ}k     end{array} right.

 

Resolvamos la ecuación para  displaystyle arc  sen (0) = 90^{circ}+360^{circ}k

 

 displaystyle  left(  frac{x}{2}+15^{circ} right)  = 90^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 displaystyle   frac{x}{2}   = (90^{circ} - 15^{circ}) + 360^{circ}k

 

 displaystyle frac{x}{2} = 75^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= 150^{circ} + 360^{circ}k

 

 

Resolvamos la ecuación para  displaystyle arc  sen (0) = 270^{circ}+360^{circ}k

 

 displaystyle  left(  frac{x}{2}+15^{circ}  right)  = 270^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 displaystyle   frac{x}{2}   = (270^{circ} - 15^{circ}) + 360^{circ}k

 

 displaystyle frac{x}{2} = 255^{circ} + 360^{circ}k

 

 displaystyle   x= 510^{circ} + 360^{circ}k

 

displaystyle cos  left( frac{x}{2} +15^{circ} right)=0  Rightarrow  left {  begin{array}{l} x=150^{circ} + 360^{circ}k   x= 510^{circ} + 360^{circ}k     end{array} right.

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación displaystyle sen(2x+60^{circ})+ sen(x+30^{circ})   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

En conclusión, los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

displaystyle x Rightarrow  left {  begin{array}{l} x_1=330^{circ} + 360^{circ}k   x_2= 90^{circ} + 360^{circ}k     x_3=150^{circ} + 360^{circ}k   x_4= 510^{circ} + 360^{circ}k     end{array} right.

 

 

 

 

7  displaystyle sen^2 x - cos^2  x = frac{1}{2}

 

 

7 displaystyle sen^2 x - cos^2  x = frac{1}{2}

 

Para este caso usaremos una identidad trigonométrica de los ángulos dobles:

 

displaystyle  cos^2  theta -sen^2 theta =cos (2 theta )

 

 

Lo primero sera multiplicar toda nuestra ecuación por -1 :

 

 

displaystyle   -sen^2 x + cos^2  x =- frac{1}{2}

 

Ahora ordenamos de forma que se parezca mas a nuestra identidad trigonométrica

 

displaystyle   cos^2  x  - sen^2 x  =- frac{1}{2}

 

Usamos la identidad  sustituyendo los valores de nuestra ecuación :

 

displaystyle  cos^2  x -sen^2 x =cos (2 x ) Rightarrow  cos (2 x ) = -frac{1}{2}

 

Para despejar la variable, es necesario usar la propiedad de función inversa

 

displaystyle  arc  cos left( cos  (2x) right) = arc  cos  left( - frac{1}{2} right)

 

displaystyle  2x  = arc  cos  left( - frac{1}{2} right)

 

Buscando en el circulo unitario, encontraremos que :

 

displaystyle arc  cos  left( - frac{1}{2} right)  = left {  begin{array}{l}120^{circ} + 360^{circ}k   240^{circ}+360^{circ}k end{array} right.

 

Resolviendo para displaystyle   120^{circ} + 360^{circ}k :

 

displaystyle  2x  = 120^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable:

 

displaystyle  x  = 60^{circ} + 180^{circ}k

 

Resolviendo para displaystyle   240^{circ} + 360^{circ}k :

 

displaystyle  2x  = 240^{circ} + 360^{circ}k

 

Despejamos la variable:

 

displaystyle  x  = 120^{circ} + 180^{circ}k

 

Los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

displaystyle x Rightarrow  left {  begin{array}{l} x_1=60^{circ} + 180^{circ}k   x_2= 120^{circ} + 180^{circ}k    end{array} right.

 

 

 

8 displaystyle   cos  8x + cos  6x = 2 cdot cos(210^{circ}) cdot cos  x

 

 

8 displaystyle  cos  8x + cos  6x = 2 cdot cos(210^{circ}) cdot cos  x

 

Usaremos la identidad trigonométrica de la suma de cosenos:

 

displaystyle      cos  alpha + cos beta  = 2 cdot cos left(  frac{ alpha + beta  }{2} right) cdot  cos left( frac{ alpha - beta  }{2}  right)

 

Sustituimos:

 

displaystyle      cos  (8x) + cos (6x)  = 2 cdot cos left(  frac{  8x + 6x }{2} right) cdot cos left( frac{ 8x - 6x  }{2}  right)

 

displaystyle      cos  (8x) + cos (6x)  Rightarrow   2 cdot cos  7x cdot cos  x

 

Nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

 

displaystyle       2 cdot cos  7x cdot cos  x   = 2 cdot cos(210^{circ}) cdot cos  x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

 

displaystyle        cos  7x cdot cos  x   = cos(210^{circ}) cdot cos  x

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):

 

displaystyle        cos  7x   = cos(210^{circ})

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

displaystyle       arc  cos ( cos  7x)   = arc  cos  (cos(210^{circ}))

 

displaystyle        7x  = 210^{circ}

 

Despejamos la variable:

 

displaystyle        x  = frac{210^{circ}}{7}

 

displaystyle        x  = 30^{circ}

 

La ecuación se satisface cuando displaystyle        x  = 30^{circ}

 

9 displaystyle tg  2x = -tg  x

 

 

9 displaystyle tg  2x = -tg  x

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica ubicada en la sección de "Identidades trigonométricas para ángulos dobles" :

 

displaystyle  tg (2 theta) = frac{2 cdot tg  theta}{1 - tg^2  theta}

 

Vamos a sustituir con los valores de nuestra ecuación para obtener:

 

displaystyle  tg (2 cdot x ) = frac{2 cdot tg  x}{1 - tg^2  x}

 

Entonces, nuestra ecuación quedara de la forma siguiente:

 

displaystyle  frac{2 cdot tg  x}{1 - tg^2  x} = -tg  x

 

Igualaremos la ecuación a cero:

 

displaystyle frac{2tg  x }{1-tg^2  x } +tg  x = 0

 

Realizamos la suma de fracciones usando el producto cruzado :

 

displaystyle frac{ (2 cdot tg  x) + (1-tg^2  x) cdot (tg  x) }{1-tg^2  x } = 0

 

Eliminaremos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por displaystyle 1-tg^2  x :

 

displaystyle  (2 cdot tg  x) + (1-tg^2  x) cdot (tg  x)  = 0

 

Realizamos el producto indicado:

 

displaystyle  (2 cdot tg  x) + (tg  x -tg^3  x)  = 0

 

Agrupamos términos semejantes y los sumamos:

 

displaystyle  3 cdot tg  x  - tg^3  x  = 0

 

Factorizamos usando displaystyle  tg  x   como factor común :

 

displaystyle   (tg  x ) cdot  (3  - tg^2  x)  = 0

 

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación pordisplaystyle  tg  x y obtenemos:

 

displaystyle  3  - tg^2  x  = 0

 

Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación y ordenamos para resolver como ecuación de segundo grado :

 

displaystyle  tg^2  x -3 = 0

 

displaystyle  tg^2  x  = 3

 

displaystyle tg   x= sqrt{3}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

displaystyle arc  tg ( tg   x )= arc  tg (  sqrt{3}  )

 

displaystyle   x= arc  tg (sqrt{3})

 

displaystyle  x=   left {  begin{array}{l} 60^{circ}+180^{circ}k   120^{circ}+180^{circ}k   end{array} right.

 

10  displaystyle sen  x + sqrt{3}  cos  x = 2

 

 

10 displaystyle sen  x + sqrt{3}  cos  x = 2

 

Primero, restaremos  displaystyle  sqrt{3}  cos  x en ambos lados:

 

 displaystyle sen  x + sqrt{3}  cos  x  -  sqrt{3}  cos  x = 2  -  sqrt{3}  cos  x

 

 displaystyle sen  x  = 2  -  sqrt{3}  cos  x

 

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados:

 

 displaystyle  (sen  x )^2 = (2  -  sqrt{3}  cos  x ) ^2

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 displaystyle  (sen  x )^2 - (2  -  sqrt{3}  cos  x ) ^2 = 0

 

Resolvemos los cuadrados, para lo cual usamos la formula del binomio al cuadrado:

 

 displaystyle  (a+b)^2 = a^2 + 2 cdot a cdot b + b^2

 

 displaystyle  sen^2  x   - [(2)^2   - 2 cdot (2) cdot (sqrt{3}  cos  x) + (sqrt{3}  cos  x )^2]

 

Utilizamos la identidad trigonométrica pitagórica :

 

 displaystyle  sen^2 theta = 1- cos^2 theta

 

Sustituimos

 

 displaystyle  1- cos^2 (x)   - [(2)^2   - 2 cdot (2) cdot (sqrt{3}  cos  x) + (sqrt{3}  cos  x )^2]=0

 

Simplificamos:

 

 displaystyle  1- cos^2 (x)   - [4   - 4cdot   cos  x cdot sqrt{3} + sqrt{3}^2 cdot  cos^2  x ]=0

 

 displaystyle  1- cos^2 (x)   -4   + 4 cdot sqrt{3} cdot   cos  x + 3 cdot  cos^2  x =0

 

Simplificamos términos semejantes :

 

 displaystyle  (-4 cdot cos^2 x) + (4 cdot sqrt{3} cdot   cos  x)  + (-3) = 0

 

Realizaremos un cambio de variable:

 

Sea  displaystyle u= cos(x)

 

Sustituimos:

 

 displaystyle  (-4u^2 ) + (4 cdot sqrt{3} cdot  u)  + (-3) = 0

 

Observemos que se trata de una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la formula general:

 

displaystyle  x= frac{-b pm sqrt{b^2 -4ac } }{2a}

 

Sustituimos:

 

displaystyle  u = frac{-(4 cdot sqrt{3}) pm sqrt{(4 cdot sqrt{3})^2 -4(-4)(-3) } }{2(-4)}

 

Resolvemos:

 

displaystyle  u = frac{-4 cdot sqrt{3} pm sqrt{(16 cdot 3) -48 } }{-8}

 

displaystyle  u = frac{-4 cdot sqrt{3} pm sqrt{48 -48 } }{-8}

 

displaystyle  u = frac{-4 cdot sqrt{3} pm sqrt{0 } }{-8}

 

displaystyle  u = frac{-4 cdot sqrt{3} pm 0 }{-8}

 

displaystyle  u = frac{-4 cdot sqrt{3}  }{(-4)  cdot (2)}

 

displaystyle  u = frac{  sqrt{3}  }{2}

 

Deshacemos el cambio de variable :

 

displaystyle  cos(x) = frac{  sqrt{3}  }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

displaystyle arc  cos  cos(x) = arc  cos left( frac{  sqrt{3}  }{2} right)

 

displaystyle  x = arc  cos left( frac{  sqrt{3}  }{2} right)

 

Ahora solo debemos localizar el valor en nuestra tabla del circulo unitario:

 

displaystyle  x=  left {  begin{array}{l} x_1 = 30^{circ} + 360^{circ}k   x_2 = 330^{circ} + 360^{circ}k end{array} right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

 

 

 

11  displaystyle  sen  2x =cos(60^{circ})

 

 

11 displaystyle  sen  2x =cos(60^{circ})

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

Buscamos en nuestro circulo unitario el valor correspondiente a displaystyle  cos(60°) :

 

displaystyle  cos(60°) = frac{1}{2}

 

Sustituimos:

 

displaystyle   sen ( 2x) = frac{1}{2}

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

displaystyle  arc  sen  (sen  2x)  = arc  sen   left( frac{1}{2} right)

 

displaystyle  2x = arc  sen   left( frac{1}{2} right)

 

Localizamos los valores correspondientes en nuestro círculo unitario

 

 

displaystyle  arc  sen   left( frac{1}{2} right) =  left {  begin{array}{l} 30^{circ} + 360^{circ} k  150^{circ} + 360^{circ} k  end{array} right.

 

Entonces:

 

displaystyle  2x =  left {  begin{array}{l} 30^{circ} + 360^{circ} k  150^{circ} + 360^{circ} k  end{array} right.

 

Despejamos la variable dividiendo por 2:

 

displaystyle  x=  left {  begin{array}{l} x_1=15^{circ} + 180^{circ} k   x_2=75^{circ} + 180^{circ} k  end{array} right.

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

12  displaystyle 4sen(x-30^{circ})cos(x-30^{circ})=sqrt{3}

 

 

12 displaystyle 4sen(x-30^{circ})cos(x-30^{circ})=sqrt{3}

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

displaystyle sen(2 theta)= 2 cdot sen theta cdot cos theta

 

Pero antes de sustituir,  obtendremos una variante dividiendo por 2 cada lado de la identidad:

 

displaystyle frac{sen(2 theta)}{2} = sen theta cdot cos theta

 

Sustituimos:

 

displaystyle 4 cdot  frac{sen(2 cdot (x-30^{circ}))}{2}  = sqrt{3}

 

Simplificamos realizando la division indicada:

 

displaystyle 2 cdot  sen(2 cdot (x-30^{circ}))  = sqrt{3}

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

displaystyle  sen(2 cdot (x-30^{circ}))  = frac{ sqrt{3} }{2}

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

displaystyle  arc  sen  [ sen(2 cdot (x-30^{circ})) ] = arc  sen left( frac{ sqrt{3} }{2} right)

 

displaystyle  2 cdot (x-30^{circ} ) = arc  sen left( frac{ sqrt{3} }{2} right)

 

Localizamos el valor para displaystyle frac{ sqrt{3} }{2} en nuestro circulo unitario:

 

displaystyle  frac{ sqrt{3} }{2} =  left {  begin{array}{l} 60^{circ} + 360^{circ} k  120^{circ} + 360^{circ} k  end{array} right.

 

Sustituimos para ambos casos:

 

Caso 1:

 

displaystyle  2 cdot (x-30^{circ} ) =  60^{circ} + 360^{circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

displaystyle   x-30^{circ}  =  30^{circ} + 180^{circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

displaystyle   x  =  60^{circ} + 180^{circ} k

 

Caso 2:

 

displaystyle  2 cdot (x-30^{circ} ) =  120^{circ} + 360^{circ} k

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

displaystyle  x-30^{circ}  =  60^{circ} + 180^{circ} k

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

displaystyle  x  =  90^{circ} + 180^{circ} k

 

La ecuación se satisface cuando :

 

displaystyle  x=  left {  begin{array}{l} x_1=60^{circ} + 180^{circ} k   x_2=90^{circ} + 180^{circ} k  end{array} right.

 

 

13  displaystyle  2cos  x = 3tg  x

 

 

13 displaystyle  2cos  x = 3tg  x

 

Utilizaremos la identidad trigonométrica básica :

 

displaystyle tan  theta = frac{sen theta}{ cos theta }

 

Sustituimos:

 

displaystyle  2cos  x = 3 cdot   frac{sen x}{ cos x }

 

displaystyle  2cos  x =    frac{ 3 cdot sen x}{ cos x }

 

Eliminamos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por  displaystyle cos  x

 

displaystyle  2cos^2( x)  =    3 cdot sen (x)

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

 

displaystyle  cos^2 theta  = 1-sen^2 theta

 

Sustituimos:

 

displaystyle  2(1-sen^2  x ) = 3 cdot sen (x)

 

Aplicamos propiedad distributiva:

 

displaystyle  2-2sen^2  x = 3 cdot sen (x)

 

Igualamos a cero y ordenamos:

 

displaystyle  (-2sen^2 x) +(- 3 cdot sen (x) ) +2  =  0

 

Multiplicamos toda la expresión por displaystyle  -1

 

displaystyle  2sen^2 x + 3 cdot sen (x)  - 2  =  0

 

Realizamos un cambio de variable, donde:

 

displaystyle u= sen(x)

 

Sustituimos:

 

displaystyle  2 u^2 +  3u  - 2  =  0

 

Resolvemos mediante la formula eneal para ecuaciones de segundo grado:

 

displaystyle  u= frac{-(3) pm sqrt{(3)^2-4(2)(-2)} }{2(2)}

 

displaystyle  u= frac{-3 pm sqrt{9 +16} }{4}

 

displaystyle  u= frac{-3 pm sqrt{25} }{4}

 

displaystyle  u= frac{-3 pm 5 }{4}

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

displaystyle  sen  x = frac{-3 pm 5 }{4}

 

Caso 1:

 

displaystyle  sen  x = frac{-3 + 5 }{4}

 

displaystyle  sen  x = frac{2}{4}

 

displaystyle  sen  x = frac{1}{2}

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

displaystyle arc  sen (  sen  x ) = arc  sen left( frac{1}{2} right)

 

displaystyle  x  = arc  sen left( frac{1}{2} right)

 

Localizamos el valor correspondiente en nuestro circulo unitario :

 

displaystyle  x  =  left {  begin{array}{l} 30^{circ} + 360^{circ}k   150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

Caso 2:

 

displaystyle  sen  x = frac{-3 - 5 }{4}

 

displaystyle  sen  x = frac{-8}{4}

 

displaystyle  sen  x = -2

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

displaystyle arc  sen (  sen  x ) = arc  sen (-2)

 

displaystyle arc   x  = arc  sen(-2)

 

Como sabemos y podemos observar en nuestro circulo unitario, la función seno no esta definida para valores mayores a 1, ni menores a -1 por lo tanto este caso no tiene solución.

 

La función se satisface cuando:

 

displaystyle  x  =  left {  begin{array}{l} x_1=30^{circ} + 360^{circ}k   x_2=150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

 

14  displaystyle sen  2x cdot cos  x = 6sen^3  x

 

 

14 displaystyle sen  2x cdot cos  x = 6sen^3  x

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

displaystyle sen(2 theta)= 2 cdot sen theta cdot cos theta

 

Sustituimos:

 

displaystyle sen(2 x)= 2 cdot sen x cdot cos x

 

Entonces:

 

displaystyle ( 2 cdot sen x cdot cos  x )cdot cos  x = 6sen^3  x

 

Simplificamos:

 

displaystyle  2 cdot sen x cdot cos^2  x = 6sen^3  x

 

Igualamos a cero la ecuación:

 

displaystyle ( 2 cdot sen x cdot cos^2  x ) - ( 6sen^3  x)=0

 

Factorizamos:

 

displaystyle - ( 6sen^3  x) +(  2 cdot sen x cdot cos^2  x  ) =0

 

displaystyle - ( 6sen^2  x cdot sen  x)+ ( 2 cdot sen x cdot cos^2  x ) =0

 

displaystyle - ( (3) cdot (2) sen^2  x cdot sen  x) +( 2 cdot sen x cdot cos^2  x ) =0

 

Extraemos el termino común  displaystyle   2 cdot sen x   :

 

displaystyle  (2) sen  (x)  left[ ( -3 cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2  x ) right ] =0

 

Ahora vamos a factorizar la parte dentro del  corchete :

 

displaystyle   left[ ( -3 cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2  x ) right ]

 

Reescribiremos el 3 como  displaystyle  sqrt{ 3}^2

 

displaystyle    ( - sqrt{ 3}^2 cdot sen^2 (x) ) +(   cos^2  x )

 

Ordenamos para poder aplicar la diferencia de cuadrados :

 

displaystyle   (a+b)cdot (a-b) = a^2-b^2

 

displaystyle    (   cos^2  x ) - ( sqrt{ 3}^2 cdot sen^2 (x) )

 

Aplicamos la ley de signos displaystyle   a^2 cdot b^2 = (a cdot b)^2    :

 

displaystyle   (   cos  x )^2 - ( sqrt{ 3} cdot sen x )^2

 

Ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

 

displaystyle    [   (cos  x)  + (sqrt{ 3} cdot sen  x ) ] cdot  [ (cos  x) - (sqrt{ 3} cdot sen  x ) ]

 

Recordemos que este es el resultado de la parte del corchete que teníamos arriba, vamos a sustituirla en nuestra ecuación ahora que ya esta factorizado :

 

displaystyle  [2 sen  x] cdot  [   (cos  x)  + (sqrt{ 3} cdot sen  x ) ] cdot  [ (cos  x) - (sqrt{ 3} cdot sen  x ) ] =0

 

Es claro que para la ecuacion se satisfaga, basta con que uno solo de los corchetes, de como resultado cero, entonces tenemos 3 casos:

 

Caso 1, cuando displaystyle  [2 sen  x]  =0

 

Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación:

 

displaystyle   sen  x  =0

 

displaystyle    x  = arc  sen  0

 

Localizamos en el circulo unitario:

 

displaystyle x=  left {  begin{array}{l} 0^{circ} + 360^{circ}k   180^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

Caso 2, cuando displaystyle  [   (cos  x)  + (sqrt{ 3} cdot sen (x) ) ] =0

 

Dividimos ambos miembros por cos x y usamos la identidad trigonométrica básica de la tangente:

 

displaystyle  frac{  (cos  x)  + (sqrt{ 3} cdot sen (x) ) } {cos  x }  = frac{0}{cos  x}

 

displaystyle  1 + sqrt{ 3} cdot frac{ sen (x)}{cos  x}  =0

 

displaystyle  1 + sqrt{ 3} cdot tg  x  =0

 

Despejamos la variable :

 

displaystyle    tg  x  =- frac{1}{sqrt{3}}

 

displaystyle     x  =  arc  tg  left( - frac{1}{sqrt{3}}  right )

 

displaystyle     x  =  150^{circ} + 180^{circ}k

 

 

Caso 3, cuando displaystyle [ (cos  x) - (sqrt{ 3} cdot sen (x) ) ]=0

 

Este caso es bastante similar al caso 2:

 

displaystyle  1 - sqrt{ 3} cdot tg  x  =0

 

displaystyle    tg  x  =frac{-1}{- sqrt{3}}

 

displaystyle    tg  x  =frac{1}{ sqrt{3}}

 

displaystyle     x  =  arc  tg  left(  frac{1}{sqrt{3}}  right )

 

displaystyle     x  =  30^{circ} + 180^{circ}k

 

La ecuacion se satisface cuando x adquiere alguno de los siguientes valores :

 

displaystyle    x=    left {  begin{array}{l} x_1=0^{circ} + 360^{circ}k   x_2=180^{circ} + 360^{circ} k  x_3 = 150^{circ} + 180^{circ} k     x_4  = 30^{circ} + 360^{circ} k  end{array} right.

 

 

15 displaystyle 4sen left( frac{x}{2}  right) +2cos  x = 3

 

 

15displaystyle 4sen left( frac{x}{2}  right) +2cos  x = 3

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 displaystyle  4sen left( frac{x}{2}  right) +2cos  x -3 = 0

 

Aplicamos un cambio de variable, donde  displaystyle  u= frac{x}{2}

 

Sustituimos:

 

 displaystyle  4 cdot sen (u)   + 2 cdot cos  (2u) -3 = 0

 

Usamos la siguiente  identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 displaystyle   cos(2 theta)= 1- 2 cdot sen^2 theta

 

Sustituimos nuestra variable en la identidad:

 

 displaystyle   cos(2 u)= 1- 2 cdot sen^2 (u)

 

Sustituimos lo obtenido en nuestra ecuación :

 

 displaystyle 4 cdot sen (u)   + 2 cdot [1- 2 cdot sen^2 (u) ] -3 = 0

 

Desarrollamos:

 

 displaystyle 4 cdot sen (u)   +  2 - 4 cdot sen^2 (u)  -3 = 0

 

Sumamos términos semejantes y ordenamos:

 

 displaystyle 4 cdot sen (u)  - 4 cdot sen^2 (u)  -1 = 0

 

 displaystyle   - 4 cdot sen^2 (u) + 4 cdot sen (u)  -1 = 0

 

Realizamos otro cambio de variable, sea   displaystyle  sen(u) = v

 

 displaystyle   - 4 v^2 + 4 v  -1 = 0

 

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado :

 

displaystyle  v= frac{-(4) pm sqrt{(4)^2 -4(-4)(-1) } }{2(-4)}

 

displaystyle  v= frac{-4 pm sqrt{16 -16 } }{-8}

 

displaystyle  v= frac{-4 pm 0}{-8}

 

displaystyle  v= frac{-4 }{-8}

 

displaystyle  v= frac{1 }{2}

 

Deshacemos el ultimo cambio de variable:

 

displaystyle  sen  u = frac{1 }{2}

 

displaystyle   u = arc  sen  left( frac{1 }{2} right)

 

Localizamos los valores en nuestro circulo unitario y tenemos que:

 

displaystyle u=  left {  begin{array}{l}  30^{circ} + 360^{circ}k   150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

Ahora deshacemos el primer cambio de variable:

 

displaystyle frac{x}{2}=  left {  begin{array}{l}  30^{circ} + 360^{circ}k   150^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

Despejamos la variable, multiplicando por 2:

 

displaystyle x =  left {  begin{array}{l} x_1=  60^{circ} + 360^{circ}k   x_2 = 300^{circ} + 360^{circ} k end{array} right.

 

La ecuación se satisface cuando x adquiere cualquiera de esos 2 valores.

Si buscas un profesor de matematicas online, o simplemente clases de matematicas puntuales, en Superprof te ayudamos a encontrar lo que mejor te convenga.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (70 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗