1 De un triángulo sabemos que: a=6m, B=45^{\circ } y C=105^{\circ }. Calcula los restantes elementos.

 

De un triángulo sabemos que: a=6m, B=45^{\circ } y C=105^{\circ }. Calcula los restantes elementos.

 

representacion grafica de triangulo oblicuangulo con angulos de 105 y 45

 

1 Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180^{\circ }, podemos calcular fácilmente el ángulo  A:

A=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }

 

2 Aplicamos la ley de senos para calcular los lados b y c:

 

\cfrac{6}{sen\, 30^{\circ }}=\cfrac{b}{sen\, 45^{\circ }}

 

b=6\cdot \cfrac{sen\, 45^{\circ }}{sen\, 30^{\circ }}=6\cdot \cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{1}{2}}=6\sqrt{2}\, \textup{m}

 

\cfrac{6}{sen\, 30^{\circ }}=\cfrac{c}{sen\, 105^{\circ }}

 

c=6\cdot \cfrac{sen\, 105^{\circ }}{sen\, 30^{\circ }}=11,6\, \textup{m}

2 De un triángulo sabemos que: a=10\, \textup{m}, b=7\, \textup{m} y  C=30^{\circ }. Calcula los restantes elementos.

De un triángulo sabemos que: a=10\, \textup{m}, b=7\, \textup{m} y  C=30^{\circ }. Calcula los restantes elementos.

 

representacion grafica de triangulo con un angulo de 30 grados

 

1 Aplicamos la ley de cosenos para calcular el lado c:

c=\sqrt{10^{2}+7^{2}-2\cdot 10\cdot 7\cdot cos\, 30^{\circ }}=5,27\, \textup{m}

 

2 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo B:

 

\cfrac{7}{sen\, B}=\cfrac{5,27}{sen\, 30^{\circ }}    sen\, B=0,664\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} B=41^{\circ}{37}'{52}''\\ B=138^{\circ}{22}'{2}'' \end{matrix}\right.

 

B=41^{\circ}{37}'{52}'' ya que al ser a> b, el ángulo obtuso será A.

 

3 Para calcular el ángulo A verificamos que sumen 180^{\circ}:

 

A=180^{\circ}-30^{\circ}-41^{\circ}{37}'{52}''=108^{\circ}{22}'{8}''

3 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

 

Resuelve el triángulo de datos: A=30^{\circ}, a=3 m y b=8 m.

 

1 Aplicamos la ley de senos con los datos dados

 

\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{8}{sen\, B}

 

sen\, B=\cfrac{4}{3}> 1

 

2 Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

 

figura de imposibilidad de plantear triangulo

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4 Resuelve el triángulo de datos: A=30^{\circ}, a=3 m y b=6 m.

 

Resuelve el triángulo de datos: A=30^{\circ}, a=3 m y b=6 m.

 

1 Aplicamos la ley de senos para calcular el ángulo B:

 

\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{6}{sen\, B}    sen\, B=\cfrac{3}{3}=1

 

B=90^{\circ}

 

 

2 Como B=90^{\circ}, es un triángulo rectángulo, podemos calcular el ángulo C considerando que los ángulos agudos deben sumar 90^{\circ}:

 

C=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}

 

3 Calculamos  el lado c aplicando funciones trigonométricas:

 

c=6\cdot cos\, 30^{\circ}=3\sqrt{3}\, \textup{m}

 

figura de triangulo rectangulo con angulo de 30 grados

 

5 Resuelve el triángulo de datos: A=60^{\circ}, a=8 m y b=4 m.

 

Resuelve el triángulo de datos: A=60^{\circ}, a=8 m y b=4 m.

1 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo B

\cfrac{8}{sen\, 60^{\circ}}=\cfrac{4}{sen\, B}

 

sen\, B=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} B=25^{\circ}{40}'\\ B=180^{\circ}-25^{\circ}{40}'=154^{\circ}{20}' \end{matrix}\right.

 

2 Como a> b, sólo es válida la solución: B=25^{\circ}{40}'

 

3 Calculamos el ángulo C considerando que los 3 ángulos deben sumar 180^{\circ}:

 

C=180^{\circ}-\left ( 60^{\circ}+25^{\circ}{40}' \right )=94^{\circ}{20}'

 

4 Calculamos el lado c aplicando la ley de senos:

 

\cfrac{8}{sen\, 60^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\, 94^{\circ}{20}'}

 

c=9,21 m

6 Resuelve el triángulo de datos: A=30^{\circ}, a=3\; \textup{m} y b=4\; \textup{m}.

 

Resuelve el triángulo de datos: A=30^{\circ}, a=3\; \textup{m} y b=4\; \textup{m}.

 

1 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo B:

 

\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{4}{sen\: B}
sen\: B=\cfrac{2}{3}\; \Rightarrow\; \left\{\begin{matrix} B_{1}=41^{\circ}{48}'\\ B_{2}=180^{\circ}-41^{\circ}{48}'=138^{\circ}{12}' \end{matrix}\right.

2 Como a< b son válidas las dos soluciones

 

3 Calculamos el ángulo C y el lado c para el valor de B_{1}=41^{\circ}{48}'

 

C_{1}=180^{\circ}-(30^{\circ}+41^{\circ}{48}')=108^{\circ}{12}'
\cfrac{3}{sen\: 30^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\: 108^{\circ}{12}'}
c=5,7\; \textup{m}

4 Calculamos el ángulo C y el lado c para el valor de B_{2}=138^{\circ}{12}'

 

C_{2}=180^{\circ}-(30^{\circ}+138^{\circ}{12}')=11^{\circ}{48}'
\cfrac{3}{sen\: 30^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\: 11^{\circ}{48}'}
c=1,227\; \textup{m}

7 Resuelve el triángulo de datos: a=15\: \textup{m}, b=22\: \textup{m} y c=17\: \textup{m}.

 

Resuelve el triángulo de datos: a=15\: \textup{m}, b=22\: \textup{m} y c=17\: \textup{m}.
1 Aplicamos la ley de cosenos para calcular los ángulos A y B
cos\; A=\cfrac{484+289-225}{748}=0,7326
A=arccos\; 0,7326
A=42^{\circ}{54}'
cos\; B=\cfrac{289+225-484}{510}=0,0588
B=arccos\; 0,0588
B=86^{\circ}{38}'
2 Calculamos el ángulo C considerando que los tres ángulos suman
C=180^{\circ}
C=180^{\circ}-42^{\circ}{54}'-86^{\circ}{38}'
C=50^{\circ}{28}'

8 Calcula la altura, h, de la figura:

figura geometrica con 2 triangulos

 

Calcula la altura, h, de la figura:

 

figura geometrica de 2 triangulos

 

1 Como conocemos 2 ángulos del triángulo ABC, podemos calcular el \angle ABC considerando que la suma de los tres ángulos debe ser 180^{\circ}

 

\angle ABC=180^{\circ}-(72^{\circ}{18}'+60^{\circ}{32}')=47^{\circ}{10}'

 

2 Aplicamos la ley de senos para calcular el lado c:

 

\cfrac{c}{sen\: 60^{\circ}{32}'}=\cfrac{500}{sen\: 47^{\circ}{10}'}

 

c=593,62\; \textup{m}

 

3 Como el triángulo ABH es rectángulo, aplicamos funciones trigonométricas para calcular el lado h:

 

h=593,62\cdot sen\: 62^{\circ}{5}'=524,54\: \textup{m}

 

9 Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

dibujo de triangulo con angulos de 61 grados 28' y 54 grados y 53'

 

Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

 

dibujo de triangulo con angulos de 61 grados 28' y 54 grados y 53'

 

1 Calculamos el ángulo B considerando que la suma de los tres ángulos es 180^{\circ}:

 

B=180^{\circ}-(61^{\circ}{28}'+54^{\circ}{53}')=63^{\circ}{39}'

 

2 Aplicamos la ley de senos para calcular el lado c:

 

\cfrac{c}{sen\: 54^{\circ}{53}'}=\cfrac{200}{sen\: 63^{\circ}{39}'}

 

c=182,565\; \textup{m}

 

10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

dibujo de figura geometrica separada en triangulos

 

Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

 

dibujo de figura geometrica separada en 7 triangulos

 

1 Considerando el triángulo ACD, aplicamos la ley de senos para calcular \overline{AC}

 

\cfrac{\overline{AC}}{sen\: 43^{\circ}{52}'}=\cfrac{450}{sen\: 67^{\circ}{57}'}

 

\overline{AC}=336,45\; \textup{m}

 

2 Considerando el triángulo BCD, aplicamos ley de senos para calcular \overline{CB}

 

\cfrac{\overline{CB}}{sen\: 80^{\circ}{40}'}=\cfrac{450}{sen\: 66^{\circ}{44}'}

 

\overline{CB}=483,35\; \textup{m}

 

3 Aplicamos ley de cosenos para calcular la distancia \overline{AB}

 

x^{2}=336,45^{2}+483,35^{2}-2\cdot 336,45\cdot 483,35\cdot cos\: (32^{\circ}{36}')

 

c=286,902\; \textup{m}

11 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A=45^{\circ}, B=72^{\circ} y a=20\; \textup{m}.

 

Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A=45^{\circ}, B=72^{\circ} y a=20\; \textup{m}.

 

dibujo de circulo circonscrito en un triangulo

 

1 Considerando que \cfrac{a}{sen\: A}=2R

 

R=\cfrac{20}{2\cdot sen\: 45^{\circ}}=14,14\; \textup{m}

12 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

 

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

 

grafica de un triangulo que se forma con el centro de una circunferencia y dos tangentes

1 Aplicamos la ley de cosenos para calcular el ángulo O

 

36^{2}=25^{2}+25^{2}-2\cdot 25\cdot 25\cdot cos \left ( \textup{O} \right )

 

\textup{O}=92^{\circ}{6}'{32}''

 

2 En el cuadrilátero AOBT, los ángulos A y B son rectos.

 

\textup{O}+\textup{T}=180^{\circ}

 

\textup{T}=180^{\circ}-92^{\circ}{6}'{32}''=87^{\circ}{53}'{28}''

13 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48^{\circ}{15}'. Calcular los lados.

 

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48^{\circ}{15}'. Calcular los lados.

 

figura de un paralelogramo

 

1 Calculamos \overline{AD} aplicando la ley de cosenos

 

\overline{AD}=\sqrt{5^{2}+6^{2}-2\cdot 5\cdot 6\cdot cos\: 48^{\circ}{15}'}=4,5877\; \textup{cm}

 

representacion grafica de paralelogramo

 

2 Calculamos el \angle AOB considerando que es suplementario al \angle AOD:

 

\angle AOB=180^{\circ}-48^{\circ}{15}'=131^{\circ}{45}'

 

3 Aplicamos la ley de cosenos para calcular \overline{AB}

 

\overline{AB}=\sqrt{5^{2}+6^{2}-2\cdot 5\cdot 6\cdot cos\: 131^{\circ}{45}'}=10,047\; \textup{cm}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗