Name: Ejercicios con triangulos oblicuangulos
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1 De un triángulo sabemos que: $a=6m$ , $B=45^{\circ }$ y $C=105^{\circ }$ . Calcula los restantes elementos.

De un triángulo sabemos que: $a=6m$ , $B=45^{\circ }$ y $C=105^{\circ }$ . Calcula los restantes elementos.

representacion grafica de triangulo oblicuangulo con angulos de 105 y 45

1 Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es $180^{\circ }$ , podemos calcular fácilmente el ángulo $A$ :

$A=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$

2 Aplicamos la ley de senos para calcular los lados $b$ y $c$ :

$\cfrac{6}{sen\, 30^{\circ }}=\cfrac{b}{sen\, 45^{\circ }}$

$b=6\cdot \cfrac{sen\, 45^{\circ }}{sen\, 30^{\circ }}=6\cdot \cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{1}{2}}=6\sqrt{2}\, \textup{m}$

$\cfrac{6}{sen\, 30^{\circ }}=\cfrac{c}{sen\, 105^{\circ }}$

$c=6\cdot \cfrac{sen\, 105^{\circ }}{sen\, 30^{\circ }}=11,6\, \textup{m}$

2 De un triángulo sabemos que: $a=10\, \textup{m}$ , $b=7\, \textup{m}$ y $C=30^{\circ }$ . Calcula los restantes elementos.

De un triángulo sabemos que: $a=10\, \textup{m}$ , $b=7\, \textup{m}$ y $C=30^{\circ }$ . Calcula los restantes elementos.

representacion grafica de triangulo con un angulo de 30 grados

1 Aplicamos la ley de cosenos para calcular el lado $c$ :

$c=\sqrt{10^{2}+7^{2}-2\cdot 10\cdot 7\cdot cos\, 30^{\circ }}=5,27\, \textup{m}$

2 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo $B$ :

$\cfrac{7}{sen\, B}=\cfrac{5,27}{sen\, 30^{\circ }}$ $sen\, B=0,664\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} B=41^{\circ}{37}'{52}''\\ B=138^{\circ}{22}'{2}'' \end{matrix}\right.$

$B=41^{\circ}{37}'{52}''$ ya que al ser $a> b$ , el ángulo obtuso será $A$ .

3 Para calcular el ángulo $A$ verificamos que sumen $180^{\circ}$ :

$A=180^{\circ}-30^{\circ}-41^{\circ}{37}'{52}''=108^{\circ}{22}'{8}''$

3 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Resuelve el triángulo de datos: $A=30^{\circ}$ , $a=3$ m y $b=8$ m.

1 Aplicamos la ley de senos con los datos dados

$\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{8}{sen\, B}$

$sen\, B=\cfrac{4}{3}> 1$

2 Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que $1$ , el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

figura de imposibilidad de plantear triangulo

4 Resuelve el triángulo de datos: $A=30^{\circ}$ , $a=3$ m y $b=6$ m.

Resuelve el triángulo de datos: $A=30^{\circ}$ , $a=3$ m y $b=6$ m.

1 Aplicamos la ley de senos para calcular el ángulo $B$ :

$\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{6}{sen\, B}$ $sen\, B=\cfrac{3}{3}=1$

$B=90^{\circ}$

2 Como $B=90^{\circ}$ , es un triángulo rectángulo, podemos calcular el ángulo $C$ considerando que los ángulos agudos deben sumar $90^{\circ}$ :

$C=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$

3 Calculamos el lado $c$ aplicando funciones trigonométricas:

$c=6\cdot cos\, 30^{\circ}=3\sqrt{3}\, \textup{m}$

figura de triangulo rectangulo con angulo de 30 grados

5 Resuelve el triángulo de datos: $A=60^{\circ}$ , $a=8$ m y $b=4$ m.

Resuelve el triángulo de datos: $A=60^{\circ}$ , $a=8$ m y $b=4$ m.

1 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo $B$

$\cfrac{8}{sen\, 60^{\circ}}=\cfrac{4}{sen\, B}$

$sen\, B=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} B=25^{\circ}{40}'\\ B=180^{\circ}-25^{\circ}{40}'=154^{\circ}{20}' \end{matrix}\right.$

2 Como $a> b$ , sólo es válida la solución: $B=25^{\circ}{40}'$

3 Calculamos el ángulo $C$ considerando que los 3 ángulos deben sumar $180^{\circ}$ :

$C=180^{\circ}-\left ( 60^{\circ}+25^{\circ}{40}' \right )=94^{\circ}{20}'$

4 Calculamos el lado $c$ aplicando la ley de senos:

$\cfrac{8}{sen\, 60^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\, 94^{\circ}{20}'}$

$c=9,21$ m

6 Resuelve el triángulo de datos: $A=30^{\circ}$ , $a=3\; \textup{m}$ y $b=4\; \textup{m}$ .

Resuelve el triángulo de datos: $A=30^{\circ}$ , $a=3\; \textup{m}$ y $b=4\; \textup{m}$ .

1 Aplicamos ley de senos para calcular el ángulo $B$ :

$\cfrac{3}{sen\, 30^{\circ}}=\cfrac{4}{sen\: B}$
$sen\: B=\cfrac{2}{3}\; \Rightarrow\;$ $\left\{\begin{matrix} B_{1}=41^{\circ}{48}'\\ B_{2}=180^{\circ}-41^{\circ}{48}'=138^{\circ}{12}' \end{matrix}\right.$

2 Como $a< b$ son válidas las dos soluciones

3 Calculamos el ángulo $C$ y el lado $c$ para el valor de $B_{1}=41^{\circ}{48}'$

$C_{1}=180^{\circ}-(30^{\circ}+41^{\circ}{48}')=108^{\circ}{12}'$
$\cfrac{3}{sen\: 30^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\: 108^{\circ}{12}'}$
$c=5,7\; \textup{m}$

4 Calculamos el ángulo $C$ y el lado $c$ para el valor de $B_{2}=138^{\circ}{12}'$

$C_{2}=180^{\circ}-(30^{\circ}+138^{\circ}{12}')=11^{\circ}{48}'$
$\cfrac{3}{sen\: 30^{\circ}}=\cfrac{c}{sen\: 11^{\circ}{48}'}$
$c=1,227\; \textup{m}$

7 Resuelve el triángulo de datos: $a=15\: \textup{m}$ , $b=22\: \textup{m}$ y $c=17\: \textup{m}$ .

Resuelve el triángulo de datos: $a=15\: \textup{m}$ , $b=22\: \textup{m}$ y $c=17\: \textup{m}$ .

1 Aplicamos la ley de cosenos para calcular los ángulos $A$ y $B$

$cos\; A=\cfrac{484+289-225}{748}=0,7326$

$A=arccos\; 0,7326$

$A=42^{\circ}{54}'$

$cos\; B=\cfrac{289+225-484}{510}=0,0588$

$B=arccos\; 0,0588$

$B=86^{\circ}{38}'$

2 Calculamos el ángulo $C$ considerando que los tres ángulos suman

$C=180^{\circ}$

$C=180^{\circ}-42^{\circ}{54}'-86^{\circ}{38}'$

$C=50^{\circ}{28}'$

8 Calcula la altura, $h$ , de la figura:

figura geometrica con 2 triangulos

Calcula la altura, $h$ , de la figura:

1 Como conocemos 2 ángulos del triángulo $ABC$ , podemos calcular el $\angle ABC$ considerando que la suma de los tres ángulos debe ser $180^{\circ}$

$\angle ABC=180^{\circ}-(72^{\circ}{18}'+60^{\circ}{32}')=47^{\circ}{10}'$

2 Aplicamos la ley de senos para calcular el lado $c$ :

$\cfrac{c}{sen\: 60^{\circ}{32}'}=\cfrac{500}{sen\: 47^{\circ}{10}'}$

$c=593,62\; \textup{m}$

3 Como el triángulo $ABH$ es rectángulo, aplicamos funciones trigonométricas para calcular el lado $h$ :

$h=593,62\cdot sen\: 62^{\circ}{5}'=524,54\: \textup{m}$

9 Calcula la distancia que separa el punto $A$ del punto inaccesible $B$ .

dibujo de triangulo con angulos de 61 grados 28' y 54 grados y 53'

Calcula la distancia que separa el punto $A$ del punto inaccesible $B$ .

1 Calculamos el ángulo $B$ considerando que la suma de los tres ángulos es $180^{\circ}$ :

$B=180^{\circ}-(61^{\circ}{28}'+54^{\circ}{53}')=63^{\circ}{39}'$

2 Aplicamos la ley de senos para calcular el lado $c$ :

$\cfrac{c}{sen\: 54^{\circ}{53}'}=\cfrac{200}{sen\: 63^{\circ}{39}'}$

$c=182,565\; \textup{m}$

10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$ .

dibujo de figura geometrica separada en triangulos

Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$ .

dibujo de figura geometrica separada en 7 triangulos

1 Considerando el triángulo $ACD$ , aplicamos la ley de senos para calcular $\overline{AC}$

$\cfrac{\overline{AC}}{sen\: 43^{\circ}{52}'}=\cfrac{450}{sen\: 67^{\circ}{57}'}$

$\overline{AC}=336,45\; \textup{m}$

2 Considerando el triángulo $BCD$ , aplicamos ley de senos para calcular $\overline{CB}$

$\cfrac{\overline{CB}}{sen\: 80^{\circ}{40}'}=\cfrac{450}{sen\: 66^{\circ}{44}'}$

$\overline{CB}=483,35\; \textup{m}$

3 Aplicamos ley de cosenos para calcular la distancia $\overline{AB}$

$x^{2}=336,45^{2}+483,35^{2}-2\cdot 336,45\cdot 483,35\cdot cos\: (32^{\circ}{36}')$

$c=286,902\; \textup{m}$

11 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde $A=45^{\circ}$ , $B=72^{\circ}$ y $a=20\; \textup{m}$ .

Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde $A=45^{\circ}$ , $B=72^{\circ}$ y $a=20\; \textup{m}$ .

dibujo de circulo circonscrito en un triangulo

1 Considerando que $\cfrac{a}{sen\: A}=2R$

$R=\cfrac{20}{2\cdot sen\: 45^{\circ}}=14,14\; \textup{m}$

12 El radio de una circunferencia mide $25$ m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud $36$ m.

El radio de una circunferencia mide $25$ m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud $36$ m.