Elige la opción correcta:

1Sabiendo que {\sin \alpha = - \frac{1}{5} \,} y que {\,180 \leq \alpha \leq 270}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

En primer lugar, observemos que decir que {180 \leq \alpha \leq 270} es lo mismo que decir que {\alpha} está en el tercer cuadrante. Entonces, su coseno es negativo y su tangente es positiva.

Coseno

{\sin \alpha = \frac{-1}{5},\quad 180 \leq \alpha \leq 270}

{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow (\frac{-1}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1}

{\frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1-\frac{1}{25} = \frac{24}{25}}

{\cos \alpha = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5}}

Tangente

{\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{5}}{-\frac{\sqrt{24}}{5}} = \frac{5}{5\sqrt{24}} = \frac{\sqrt{24}}{24}}

Secante

{\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{24}}{5}} = -\frac{5\sqrt{24}}{24}}

Cosecante

{\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{-\frac{1}{5}} = -5}

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{24}}} = \sqrt{24}}

2Sabiendo que {cos \alpha = \frac{12}{13}} y que {0 \leq \alpha \leq 90}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

En primer lugar, observemos que decir que {0 \leq \alpha \leq 90} es lo mismo que decir que α está en el primer cuadrante. Entonces, su seno y su tangente son positivos.

Seno

{\cos \alpha = \frac{12}{13}, \quad 0 \leq \alpha \leq 90}

{\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha + (\frac{12}{13})^2 = 1}

{\sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}}

{\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}}

Tangente

{\tan \alpha = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5(13)}{13(12)} = \frac{5}{12}}

Secante

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{12}{13}} = \frac{13}{12}}

Cosecante

{\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\frac{5}{13}} = \frac{13}{5}}

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}}

3Sabiendo que {\tan \alpha = - \frac{3}{2}} y que {\alpha} está en el segundo cuadrante, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

Como {\alpha} está en el segundo cuadrante, su seno es positivo y su coseno es negativo.

Coseno

{\tan \alpha = -\frac{3}{2}, \quad 0 \leq \alpha \leq 90}

{\left.\begin{matrix} \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha = 1\\ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{3}{2} \Rightarrow \sin\alpha = -\frac{3}{2}\cos\alpha \end{matrix}\right\} \Rightarrow (-\frac{3}{2}\cos \alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1}

{(-\frac{3}{2}\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \frac{9}{4}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}

{\frac{13}{4}\cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{4}{13}}

{\cos\alpha = -\frac{2}{\sqrt{13}} = -\frac{2\sqrt{13}}{13}}

Seno

{\left.\begin{matrix} \sin\alpha = -\frac{3}{2}\cos\alpha\\ \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{13}}{13} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \sin\alpha = -\frac{3}{2}(-\frac{2\sqrt{13}}{13}) = \frac{3\sqrt{13}}{13}}

Secante

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{-\frac{2}{\sqrt{13}}} = -\frac{\sqrt{13}}{2}}

Cosecante

{\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{13}}{13}} = \frac{13}{3\sqrt{13}} = \frac{13\sqrt{13}}{3(13)} = \frac{\sqrt{13}{3}}

Cotangente

{\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}}

Otra forma:

Como {\alpha} está en el segundo cuadrante, su seno es positivo y su coseno es negativo.

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}}

Secante

{\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \Rightarrow \sec^2 \alpha = 1 + (-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}}

{\sec\alpha = -\sqrt{\frac{13}{4}} = -\frac{\sqrt{13}}{2}}

Coseno

{\cos \alpha = \frac{1}{-\frac{\sqrt{13}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{13}} = -\frac{2\sqrt{13}}{13}}

Seno

{\tan\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \sin\alpha = \cos\alpha\cdot \tan \alpha = -\frac{2\sqrt{13}}{13}\cdot(-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{13}}{13}}

Cosecante

{\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{13}}{13}} = \frac{13}{3\sqrt{13}} = \frac{13\sqrt{13}}{3(13)} = \frac{\sqrt{13}}{3}}

4Sabiendo que {\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}} y que {\alpha} está en el cuarto cuadrante, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

Como {\alpha} está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo y su coseno es positivo.

Coseno

{\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq \alpha \leq 90}

{\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \cos^2\alpha = 1}

{\frac{3}{4} + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1 -\frac{3}{4} = \frac{1}{4}}

{\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}}

Tangente

{\tan\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}}

Secante

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2}

Cosecante

{\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}}

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}}

5Sabiendo que {\sec \alpha = 2} y que {270 \leq \alpha \leq 360}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

En primer lugar, observemos que decir que {270 \leq \alpha \leq 360} es lo mismo que decir que {\alpha} está en el cuarto cuadrante. Entonces, su seno es negativo y su tangente es negativa.

Coseno

{\sec \alpha = 2, \quad 180 \leq \alpha \leq 270}

{\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \Rightarrow \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}

{2 = \frac{1}{\cos \alpha \Righarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}}}

Tangente

{\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \Rightarrow 4 = 1 + \tan^2\alpha}

{3 = \tan^2\alpha \Rightarrow \tan \alpha = -\sqrt{3}}

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \Rightarrow \cot\alpha = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}}

Cosecante

{\csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \Rightarrow \csc^2\alpha = 1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2}

{= 1 + \frac{3}{9} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}}

{\csc\alpha = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}}

Seno

{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \sin^2\alpha + (-\frac{1}{2})^2 = 1}

{\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}}

{\sin \alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}}

6Sabiendo que {\sec \alpha = -\frac{5}{2}} y que {180 \leq \alpha \leq 270}, calcula las restantes razones trigonométricas, del ángulo {\alpha}.

En primer lugar, observemos que decir que {180 \leq \alpha \leq 270} es lo mismo que decir que {\alpha} está en el tercer cuadrante. Entonces, su seno es negativo, su coseno negativo y su tangente es positiva.

Coseno

{\sec\alpha = -2, \quad 180 \leq \alpha \leq 270}

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \Rightarrow -\frac{5}{2} = \frac{1}{\cos\alpha}}

{\cos \alpha = -\frac{2}{5}}

Tangente

{\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \Rightarrow \frac{25}{4} = 1 + \tan^2\alpha}

{\frac{21}{4} = \tan^2\alpha \Rightarrpw \tan\alpha = \frac{21}{2}}

Cotangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}}

Cosecante

{\csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \Rightarrow \csc^2\alpha = 1+(\frac{2\sqrt{21}}{21})^2}

{= 1 + \frac{4}{21} = \frac{25}{21}}

{\csc \alpha = -\sqrt{\frac{25}{21}} = -\frac{5}{\sqrt{21}} = -\frac{5\cdot \sqrt{21}}{21}}

Seno

{\sin \alpha = \frac{1}{\csc\alpha} = \frac{1}{-\frac{5}{\sqrt{21}}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}}

7Sabiendo que {\csc \alpha = -5} y que {\alpha} está en el cuarto cuadrante, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

En primer lugar, observemos que como {\alpha} está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo, su coseno positivo y su tangente negativa.

Seno

{\csc\alpha = 5, 180 \leq \alpha \leq 270}

{\csc\alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \Rightarrow -5=\frac{1}{\sin \alpha} \Rightarrow \sin\alpha = -\frac{1}{5}}

Cotangente

{\csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \Rightarrow 25 = 1 +\cot^2\alpha \Rightarrow 24 = \cot^2\alpha}

{\cot \alpha = -\sqrt{24}}

Tangente

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \Rightarrow -\sqrt{24} = \frac{1}{\tan\alpha}}

{\tan\alpha = -\frac{1}{\sqrt{24}} = -\frac{\sqrt{24}}{24}}

Coseno

{\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1 \Rightarrow (\frac{1}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1}

{\cos^2\alpha = 1 -\frac{1}{25} = \frac{24}{25}}[\latex] [latex]{\cos\alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}}

Secante

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \Rightarrow \sec\alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{24}}{5}}}

{\sec\alpha = \frac{5\sqrt{24}}{24}}

8Sabiendo que {\cot \alpha = \frac{5}{6}}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo {\alpha}.

Tangente

{\cot \alpha = \frac{5}{6}}

{\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{1}{\tan\alpha} \Rightarrow \tan\alpha = \frac{6}{5}}

Coseno

{\left. \begin{matrix} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha =1\\ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{6}{5} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{6}{5}\cos\alpha \end{matrix}\right\} \Rightarrow (\frac{6}{5}\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1}

{(\frac{6}{5}\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \frac{36}{25}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha =1}

{\frac{61}{25}\cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{25}{61}}

{\cos\alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{61}} = \pm\frac{5\sqrt{61}}{61}}

Seno

{\left. \begin{matrix} \sin\alpha = \frac{6}{5}\cos\alpha\\ \cos\alpha = \pm\frac{5\sqrt{61}}{61} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \sin\alpha = \pm \frac{6}{5}\cdot \frac{5\sqrt{61}}{61} = \pm \frac{6\sqrt{61}}{61}}

Secante

{\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\Rightarrow \sec\alpha = \frac{1}{\pm\frac{5\sqrt{61}}{61}} = \pm\frac{61}{5\sqrt{61}} = \pm\frac{\sqrt{61}}{5}}

Cosecante

{\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} \Rightarrow \csc\alpha = \frac{1}{\pm \frac{6\sqrt{61}}{61}}}

{\csc\alpha = \pm \frac{61}{6\sqrt{61}} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}}

Hay que distinguir casos dependiendo de dónde se encuentre el ángulo {\alpha}.

Primer cuadrante

El seno y el coseno son positivos.

{\cos\alpha = \frac{5\sqrt{61}}{61}, \quad \sec\alpha = \frac{\sqrt{61}}{5}}

{\sin\alpha = \frac{6\sqrt{61}}{61}, \quad \csc\alpha = \frac{\sqrt{61}}{6}}

Tercer cuadrante

El seno y el coseno son negativos.

{\cos\alpha = -\frac{5\sqrt{61}}{61}, \sec\alpha = -\frac{\sqrt{61}}{5}}

{\sin\alpha = -\frac{6\sqrt{61}}{61}, \csc\alpha = -\frac{\sqrt{61}}{6}}

Observemos que no consideramos el segundo ni el cuarto cuadrante porque en éstos la tangente es negativa, pero en nuestro caso {\cot \alpha = \frac{5}{6}}, con lo que {\tan <\alpha} es positiva.

9Sabiendo que sen α = −4/5, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Coseno

Tangente

Secante

Cosecante

Cotagente

Hay que distinguir casos dependiendo de dónde se encuentre el ángulo α.

Tercer cuadrante

El coseno es negativo y la tangente es positiva.

Cuarto cuadrante

El coseno es positivo y la tangente es negativa.

Observemos que no consideramos el primer y segundo cuadrante porque en éstos el seno es positivo, pero en nuestro caso sen α = −4/5.

10Sabiendo que tg α = 2, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Seno

Coseno

Secante

Cosecante

Cotagente

Hay que distinguir casos dependiendo de dónde se encuentre el ángulo α.

Primer cuadrante

El seno y el coseno son positivos.

Tercer cuadrante

El seno es positivo y el coseno es negativo.

Observa que el segundo y el cuarto cuadrante no se consideran porque en éstos, la tangente es negativa, pero en nuestro caso tg α = 2.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗