¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

 

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

 

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

 

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Ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas

 

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

1 2\cos x \cdot \tan x -1 =0

 

Usando identidades trigonométricas, convertimos la tangente en seno y coseno

 

2\cos x \cdot \cfrac{\sin x}{\cos x} -1 =0

 

2\cdot \sin x -1 =0

 

\sin x =\cfrac{1}{2}

 

x=\arcsin \left ( \cfrac{1}{2} \right )

 

x_{1}=30^{\circ}

x_{2}=150^{\circ}

 

De forma general:

 

x_{1}=30^{\circ}+360^{\circ}\cdot k

x_{2}=150^{\circ}+360^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

2 \cos ^{2}x-3\sin^{2}x=0 para 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}

 

De la identidad pitagórica del seno y coseno \sin ^{2}x+\cos ^{2}x = 1 podemos deducir que \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x, por lo que la ecuación se reescribe como:

 

1-\sin ^{2}x-3\sin ^{2}x=0

 

Agrupamos términos semejantes y despejamos la x

 

1-4\sin ^{2}x=0

 

\sin ^{2}x=\cfrac{1}{4}

 

\sin x=\pm \cfrac{1}{2}

 

x=\arcsin \left ( \pm \cfrac{1}{2} \right )

 

x_{1}=30^{\circ}          x_{2}=150^{\circ}          x_{3}=210^{\circ}          x_{3}=330^{\circ}

 

 

 

3 2\sin (2x+60^{\circ})+\sin (x+30^{\circ})=0

 

Transformamos la suma en producto

 

2\sin \left ( \cfrac{3x}{2}+45^{\circ} \right )\cdot \cos \left ( \cfrac{x}{2}+15^{\circ} \right )=0

 

Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

 

\sin \left ( \cfrac{3x}{2}+45^{\circ} \right )\cdot \cos \left ( \cfrac{x}{2}+15^{\circ} \right )=0 \; \left\{\begin{matrix} \sin \left ( \cfrac{3x}{2}+45^{\circ} \right )=0\\ \\ \cos \left ( \cfrac{x}{2}+15^{\circ} \right )=0 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \cfrac{3x}{2}+45=0\;\;\;\\ \\ \cfrac{3x}{2}+45=180\\ \\ \cfrac{x}{2}+15=90\;\;\\ \\ \cfrac{x}{2}+15=270 \end{matrix}\right.

 

\Rightarrow \; \; x=150^{\circ}+180^{\circ}\cdot k

 

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

4 2\tan x-3\cot x-1=0

 

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por \tan x

 

2\tan ^{2}x-3- \tan x =0

2\tan ^{2}x- \tan x-3 =0

 

Factorizamos el primer miembro como un trinomio cuadrado de la forma ax^{2}-bx+c e igualamos a cero cada factor

 

(\tan x+1)(2\tan x-3)=0

 

\left\{\begin{matrix} \tan x+1=0\\ 2\tan x-3=0 \end{matrix}\right.

 

\; \; \Rightarrow x_{1}=135^{\circ}+180^{\circ}\cdot k\; \; x_{2}=56,3^{\circ}+180^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

 

5 \cos 2x=1+4\sin x

 

Usamos \cos 2x=1-2\sin ^{2}x para escribir la ecuación en función del seno:

 

1-2\sin ^{2}x=1+4\sin x

2\sin ^{2}x+4\sin x=0

 

Factorizando por factor común

 

2\sin x\cdot (\sin x+2)=0

 

Del primer factor:

 

x=0^{\circ}+180^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

Del segundo factor no se obtiene solución ya que -1\leq \sin x\leq 1

 

 

6 \tan 2x=-\tan x

 

Usamos la identidad del ángulo doble para la tangente \tan 2x=\cfrac{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}

 

\cfrac{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}=-\tan x

 

Simplificando la expresión obtenemos

 

-2=1+\tan ^{2}x

\tan ^{2}x=3

x=\arctan (\sqrt{3})+180^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

 

7 4\sin (x-30^{\circ})\cdot \cos (x-30^{\circ})=\sqrt{3}

 

Podemos aplicar la identidad \sin (2u)=2\sin u\cdot \cos u

 

2\cdot \sin (2x-60^{\circ})=\sqrt{3}

\sin (2x-60^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

\left\{\begin{matrix} 2x-60^{\circ}=60^{\circ}\; \, \\ 2x-60^{\circ}=120^{\circ} \end{matrix}\right.

 

\Rightarrow \; \; \; x_{1}=0^{\circ}+360^{\circ}\cdot k\; \; \; x_{2}=30^{\circ}+360^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

 

8 \sin 2x\cdot \cos x = 6 \sin ^{3}x

 

Aplicando la identidad del seno del ángulo doble obtenemos

 

2\sin x \cdot \cos x\cdot \cos x=6\sin^{3}x

\sin x (\cos ^{2}x-3\sin ^{2}x)=0

 

Igualamos cada factor a cero

 

\left\{\begin{matrix} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \sin x =0\\ \cos ^{2}x-3\sin^{2}x=0 \end{matrix}\right.

 

De la primer ecuación deducimos que

 

x_{1}=0^{\circ}+180^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

De la ecuación 2:

 

\cos ^{2}x=3\sin^{2}x

 

\tan ^{2}x=\cfrac{1}{3}

 

\tan x=\pm \cfrac{\sqrt{3}}{3}

 

\Rightarrow \; \; \; x_{2}=30^{\circ}+180^{\circ}\cdot k\; \; \; \; \; x_{2}=150^{\circ}+180^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

 

9 4\sin \cfrac{x}{2}+2\cos x = 3

 

Usando la identidad \cos 2u=\cos^{2}u-\sin^{2}u

 

4\cdot \sin \cfrac{x}{2}+2\left ( \cos ^{2}\cfrac{x}{2}-\sin ^{2}\cfrac{x}{2} \right )=3

 

4\cdot \sin \cfrac{x}{2}+2 \cos ^{2}\cfrac{x}{2}-2\sin ^{2}\cfrac{x}{2} =3

 

Usamos la identidad pitagórica de senos y cosenos

 

4\sin \cfrac{x}{2}+2\left ( 1-\sin ^{2}\cfrac{x}{2} \right )-2\sin ^{2}\cfrac{x}{2}=3

 

4\sin ^{2}\cfrac{x}{2}-4\sin \cfrac{x}{2}+1=0

 

Factorizamos el trinomios cuadrado perfecto

 

\left ( 2\sin \cfrac{x}{2}-1 \right )^{2}=0

 

2\sin \cfrac{x}{2}-1 =0

 

\sin \cfrac{x}{2}=\cfrac{1}{2}

 

\Rightarrow \; \; \; x_{1}=60^{\circ}+360^{\circ}\cdot k\; \; \; \; \; x_{2}=300^{\circ}+360^{\circ}\cdot k

con k\; \epsilon \; \mathbb{Z}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Nuñez
Nuñez
Invité
22 May.

cuando tenemos exponentes mayor que dos se saca factor común para reducirlo a una ecuación cuadrática?

Duarte
Duarte
Invité
26 Ago.

muy buenos ejemplos

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

¡Duarte, nos alegramos mucho de que te guste nuestro articulo!