Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y se
verifican para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren, es decir, para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones.

Identidades fundamentales

Sea \alpha ángulo cualquiera, entonces se cumplen las siguientes identidades:

1 \cos ^{2} \alpha + \operatorname{sen}^{2} \alpha=1

2 \sec ^{2} \alpha=1+\operatorname{tg}^{2} a

3 \operatorname{cosec}^{2} \alpha=1+\operatorname{cotg}^{2} \alpha

4 \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\operatorname{sen} \alpha}

5 \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}

6 \operatorname{cotg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\operatorname{sen} \alpha}

 

Ejemplo

 

Sabiendo que  \operatorname{sen} \alpha = 3 / 5 , y que  90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo \alpha.

Tenemos que \operatorname{sen} \alpha =\frac{3}{5}, entonces de la identidad (4) tendremos que

     \[ \operatorname{cosec} \alpha =\frac{5}{3}, \]

de la identidad (1)

     \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 \alpha } \]

en este caso

     \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}} \]

y puesto que el ángulo se encuentra entre  90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}, entonces

     \[ \cos \alpha = - \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}} = -\frac{4}{5}. \]

De esto ultimo y la identidad (5) obtenemos que

     \[ \sec \alpha = -\frac{5}{4} \]

y finalmente de (6)

     \[ \operatorname{tg} \alpha =-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{cotg} \alpha =-\frac{4}{3} \]

 

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Vamos

Suma y diferencia de ángulos

Sean a, b ángulos cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades:

1 \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a \cos b+\cos a \operatorname{sen} b

2 \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a \cos b-\cos a \operatorname{sen} b

3 \cos (a+b)=\cos a \cos b-\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b

4 \cos (a-b)=\cos a \cos b+\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b

5 \operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}

6 \operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{1+\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}

 

Ejemplos

     \begin{align*} \operatorname{sen} 75^{\circ} &= \operatorname{sen}\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ &= \operatorname{sen} 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \operatorname{sen} 30^{\circ} \\ &=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) \end{align*}

 

     \begin{align*} \cos 15^{\circ} &= \cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ &= \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\operatorname{sen} 45^{\circ} \operatorname{sen} 30^{\circ} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) \end{align*}

 

     \begin{align*} \operatorname{tg} 15^{\circ} &= \frac{\operatorname{tg} 45^{\circ}-\operatorname{tg} 30^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 45^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ}} \\ &= \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \\ &= 2-\sqrt{3} \end{align*}

 

Ángulo doble

Sea a angulo cualquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades

1 \operatorname{sen} 2 a=2 \operatorname{sen} a \cos a

2 \cos 2 a=\cos ^{2} a-\operatorname{sen}^{2} a

3 \operatorname{tg} 2 a=\frac{2 \operatorname{tg} a}{1-\operatorname{tg}^{2} a}

 

Ejemplos

 

    \begin{align*} \operatorname{sen} 120^{\circ} &= 2 \operatorname{sen} 60^{\circ} \cos 60^{\circ}\\ &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*}

 

    \begin{align*} \cos 120^{\circ} &= \cos ^{2} 60^{\circ}-\operatorname{sen}^{2} 60^{\circ}\\ &= \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\ &= -\frac{1}{2}. \end{align*}

 

    \begin{align*} \operatorname{tg} 120^{\circ} &= \frac{2 \operatorname{tg} 60^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^{2} 60^{\circ}}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1-3}\\ &= -\sqrt{3}. \end{align*}

 

Ángulo mitad

El ángulo mitad cumple las siguientes igualdades

1 \operatorname{sen} \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}

2 \cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}

3 \operatorname{tg} \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}

 

Ejemplos

 

    \begin{align*} \operatorname{sen}\left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \operatorname{sen}\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) \\ &= \sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{align*}

 

    \begin{align*} \cos \left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \cos \left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) \\ &= \sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \end{align*}

 

    \begin{align*} \operatorname{tg}\left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \operatorname{tg}\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right)\\ &= \sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{1+\cos 45^{\circ}}}\\ &= \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ &= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ &= -1+\sqrt{2}. \end{align*}

 

Transformaciones de sumas en productos

Sean A, B ángulos cualesquiera, entonces

1 \operatorname{sen} A+\operatorname{sen} B=2 \operatorname{sen} \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}

2 \operatorname{sen} A-\operatorname{sen} B=2 \cos \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2}

3\cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}

4\cos A-\cos B=-2 \operatorname{sen} \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2}

 

Ejemplos

 

     \[ \operatorname{sen} 40^{\circ}+\operatorname{sen} 20^{\circ}=2 \operatorname{sen} 30^{\circ} \cos 10^{\circ} \]

 

     \[ \operatorname{sen} 40^{\circ}-\operatorname{sen} 20^{\circ}=2 \cos 30^{\circ} \operatorname{sen} 10^{\circ} \]

 

     \[ \cos 40^{\circ}+\cos 20^{\circ}=2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} \]

 

     \[ \cos 40^{\circ}-\cos 20^{\circ}=-2 \operatorname{sen} 30^{\circ} \operatorname{sen} 10^{\circ} \]

 

Transformaciones de productos en sumas

Sean A, B ángulos cualesquiera, entonces

1 \operatorname{sen} A \cdot \cos B=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)]

2 \cos A \cdot \operatorname{sen} B=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)-\operatorname{sen}(A-B)]

3\cos A \cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]

4 \operatorname{sen} A \cdot \operatorname{sen} B=-\frac{1}{2}[\cos (A+B)-\cos (A-B)]

 

Ejemplos

     \[ \operatorname{sen} 3 x \cdot \cos x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} 4 x+\operatorname{sen} 2 x) \]

 

     \[ \cos 3 x \cdot \operatorname{sen} x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} 4 x-\operatorname{sen} 2 x) \]

 

     \[ \operatorname{sen} 3 x \cdot \operatorname{sen} x=-\frac{1}{2}(\cos 4 x-\cos 2 x) \]

 

     \[ \cos 3 x \cdot \cos x=\frac{1}{2}(\cos 4 x+\cos 2 x) \]

 

Ejercicios utilizando las identidades-igualdades

1 Desarrollar:  \cos(x + y + z):

     \begin{align*} \cos (x+y+z) &= \cos [x+(y+z)] \\ &= \cos x \cdot \cos (y+z)-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen}(y+z) \\ &= \cos x(\cos y \cdot \cos z-\operatorname{sen} y \cdot \operatorname{sen} z)-\operatorname{sen} x (\operatorname{sen} y \cdot \cos z+\cos y \cdot \operatorname{sen} z \\ &= \cos x \cdot \cos y \cdot \cos z-\cos x \cdot \operatorname{sen} y \cdot \operatorname{sen} z-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y \cdot \cos z-\operatorname{sen} x \cdot \cos y \cdot \operatorname{sen} z \end{align*}

 

2 Calcula el \operatorname{sen} 3 x, en función de sen x:

     \begin{align*} \operatorname{sen} 3 x &= \operatorname{sen}(2 x+x) \\ &= \operatorname{sen} 2 x \cdot \cos x+\cos 2 x \cdot \operatorname{sen} x \\ &= (2 \operatorname{sen} x \cdot \cos x) \cos x + \left(\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x\right) \operatorname{sen} x \\ &= 2 \operatorname{sen} x \cdot \cos ^{2} x+\cos ^{2} x \cdot \operatorname{sen} x-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x \cdot \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x\left(1-\operatorname{sen}^{2} x\right)-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x-4 \operatorname{sen}^{3} x \end{align*}

 

3 Calcula el \operatorname{sen} x, \cos x y \operatorname{tg} en función de \operatorname{tg} x/2 .

     \[ \operatorname{sen} x=2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}} \]

 

     \[ \cos x=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}=\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}-\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{x}{2}}=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}{1+\cos ^{2} \frac{x}{2}} \]

 

     \[ \operatorname{tg} x=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}} \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗