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Identidades fundamentales
Suma y diferencia de ángulos
Ángulo doble
Ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y se
verifican para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren, es decir, para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones.

Identidades fundamentales

Sea $\alpha$ ángulo cualquiera, entonces se cumplen las siguientes identidades:

1 $\cos ^{2} \alpha + \operatorname{sen}^{2} \alpha=1$

2 $\sec ^{2} \alpha=1+\operatorname{tg}^{2} a$

3 $\operatorname{cosec}^{2} \alpha=1+\operatorname{cotg}^{2} \alpha$

4 $\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\operatorname{sen} \alpha}$

5 $\sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}$

6 $\operatorname{cotg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\operatorname{sen} \alpha}$

Ejemplo

Sabiendo que $\operatorname{sen} \alpha = 3 / 5$ , y que $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

Tenemos que $\operatorname{sen} \alpha =\frac{3}{5}$ , entonces de la identidad (4) tendremos que

$\operatorname{cosec} \alpha =\frac{5}{3},$

de la identidad (1)

$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 \alpha }$

en este caso

$\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}$

y puesto que el ángulo se encuentra entre $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ , entonces

$\cos \alpha = - \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}} = -\frac{4}{5}.$

De esto ultimo y la identidad (5) obtenemos que

$\sec \alpha = -\frac{5}{4}$

y finalmente de (6)

$\operatorname{tg} \alpha =-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{cotg} \alpha =-\frac{4}{3}$

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Suma y diferencia de ángulos

Sean $a, b$ ángulos cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades:

1 $\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a \cos b+\cos a \operatorname{sen} b$

2 $\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a \cos b-\cos a \operatorname{sen} b$

3 $\cos (a+b)=\cos a \cos b-\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b$

4 $\cos (a-b)=\cos a \cos b+\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b$

5 $\operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}$

6 $\operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{1+\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}$

Ejemplos

$\begin{align*} \operatorname{sen} 75^{\circ} &= \operatorname{sen}\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ &= \operatorname{sen} 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \operatorname{sen} 30^{\circ} \\ &=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) \end{align*}$

$\begin{align*} \cos 15^{\circ} &= \cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ &= \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\operatorname{sen} 45^{\circ} \operatorname{sen} 30^{\circ} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{tg} 15^{\circ} &= \frac{\operatorname{tg} 45^{\circ}-\operatorname{tg} 30^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 45^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ}} \\ &= \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \\ &= 2-\sqrt{3} \end{align*}$

Ángulo doble

Sea $a$ angulo cualquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades

1 $\operatorname{sen} 2 a=2 \operatorname{sen} a \cos a$

2 $\cos 2 a=\cos ^{2} a-\operatorname{sen}^{2} a$

3 $\operatorname{tg} 2 a=\frac{2 \operatorname{tg} a}{1-\operatorname{tg}^{2} a}$

Ejemplos

$\begin{align*} \operatorname{sen} 120^{\circ} &= 2 \operatorname{sen} 60^{\circ} \cos 60^{\circ}\\ &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*}$

$\begin{align*} \cos 120^{\circ} &= \cos ^{2} 60^{\circ}-\operatorname{sen}^{2} 60^{\circ}\\ &= \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\ &= -\frac{1}{2}. \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{tg} 120^{\circ} &= \frac{2 \operatorname{tg} 60^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^{2} 60^{\circ}}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1-3}\\ &= -\sqrt{3}. \end{align*}$

Ángulo mitad

El ángulo mitad cumple las siguientes igualdades

1 $\operatorname{sen} \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$

2 $\cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$

3 $\operatorname{tg} \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$

Ejemplos

$\begin{align*} \operatorname{sen}\left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \operatorname{sen}\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) \\ &= \sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \cos \left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) \\ &= \sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{tg}\left(22^{\circ} 30^{\prime}\right) &= \operatorname{tg}\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right)\\ &= \sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{1+\cos 45^{\circ}}}\\ &= \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ &= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ &= -1+\sqrt{2}. \end{align*}$

Transformaciones de sumas en productos

Sean $A, B$ ángulos cualesquiera, entonces

1 $\operatorname{sen} A+\operatorname{sen} B=2 \operatorname{sen} \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

2 $\operatorname{sen} A-\operatorname{sen} B=2 \cos \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2}$

3 $\cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

4 $\cos A-\cos B=-2 \operatorname{sen} \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2}$

Ejemplos

$\operatorname{sen} 40^{\circ}+\operatorname{sen} 20^{\circ}=2 \operatorname{sen} 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$

$\operatorname{sen} 40^{\circ}-\operatorname{sen} 20^{\circ}=2 \cos 30^{\circ} \operatorname{sen} 10^{\circ}$

$\cos 40^{\circ}+\cos 20^{\circ}=2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$

$\cos 40^{\circ}-\cos 20^{\circ}=-2 \operatorname{sen} 30^{\circ} \operatorname{sen} 10^{\circ}$

Transformaciones de productos en sumas

Sean $A, B$ ángulos cualesquiera, entonces

1 $\operatorname{sen} A \cdot \cos B=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)]$

2 $\cos A \cdot \operatorname{sen} B=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)-\operatorname{sen}(A-B)]$

3 $\cos A \cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$

4 $\operatorname{sen} A \cdot \operatorname{sen} B=-\frac{1}{2}[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$

Ejemplos

$\operatorname{sen} 3 x \cdot \cos x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} 4 x+\operatorname{sen} 2 x)$

$\cos 3 x \cdot \operatorname{sen} x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} 4 x-\operatorname{sen} 2 x)$

$\operatorname{sen} 3 x \cdot \operatorname{sen} x=-\frac{1}{2}(\cos 4 x-\cos 2 x)$

$\cos 3 x \cdot \cos x=\frac{1}{2}(\cos 4 x+\cos 2 x)$

Ejercicios utilizando las identidades-igualdades

1 Desarrollar: $\cos(x + y + z):$

$\begin{align*} \cos (x+y+z) &= \cos [x+(y+z)] \\ &= \cos x \cdot \cos (y+z)-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen}(y+z) \\ &= \cos x(\cos y \cdot \cos z-\operatorname{sen} y \cdot \operatorname{sen} z)-\operatorname{sen} x (\operatorname{sen} y \cdot \cos z+\cos y \cdot \operatorname{sen} z \\ &= \cos x \cdot \cos y \cdot \cos z-\cos x \cdot \operatorname{sen} y \cdot \operatorname{sen} z-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y \cdot \cos z-\operatorname{sen} x \cdot \cos y \cdot \operatorname{sen} z \end{align*}$

2 Calcula el $\operatorname{sen} 3 x$ , en función de $sen x$ :

$\begin{align*} \operatorname{sen} 3 x &= \operatorname{sen}(2 x+x) \\ &= \operatorname{sen} 2 x \cdot \cos x+\cos 2 x \cdot \operatorname{sen} x \\ &= (2 \operatorname{sen} x \cdot \cos x) \cos x + \left(\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x\right) \operatorname{sen} x \\ &= 2 \operatorname{sen} x \cdot \cos ^{2} x+\cos ^{2} x \cdot \operatorname{sen} x-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x \cdot \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x\left(1-\operatorname{sen}^{2} x\right)-\operatorname{sen}^{3} x \\ &= 3 \operatorname{sen} x-4 \operatorname{sen}^{3} x \end{align*}$

3 Calcula el $\operatorname{sen} x, \cos x$ y $\operatorname{tg}$ en función de $\operatorname{tg} x/2$ .

$\operatorname{sen} x=2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}$

$\cos x=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}=\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}=\frac{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}-\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{x}{2}}=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}{1+\cos ^{2} \frac{x}{2}}$

$\operatorname{tg} x=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de trigonometria I

Resumen de trigonometria II

Teoría

Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

Medida de angulos

Resolucion de triangulos rectangulos

Seno, coseno y tangente de 30º, 45º y 60º

Ángulos que se diferencian en 180°

Ángulos opuestos

Teorema del seno y coseno

Las ecuaciones trigonometricas

Todo sobre las ecuaciones trigonometricas

Números cardinales

Funcion trigonometrica

Razones trigonometricas de angulos

Identidades trigonometricas fundamentales

Resolucion de triangulos conociendo dos lados y el angulo

Identidades trigonometricas y Propiedades trigonometricas (Ejercicios y Teoría)

Calculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible

Resolver un triangulo conociendo los tres lados

Ejercicios de triangulos rectangulos

Resolucion de triangulos oblicuangulos

Aplicaciones de la Trigonometría

Angulos negativos y mayores de 360º

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

Razones trigonometricas de otros angulos

Ángulos complementarios

Resolución de triángulos I

Definición y medida de ángulos

Angulos suplementarios

Fórmulas

Que es el Arcocoseno

Qué es el Arcotangente

Área del triángulo

Qué es la Cosecante

Qué es la función cosecante

Qué es la Función coseno

Qué es la Función cotangente

Qué es la Función secante

Qué es la función seno

Qué es una Función tangente

Razones trigonometricas

Qué es la Secante

Qué es el Seno

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Razones trigonometricas del angulo doble

Formulas de trigonometria

Resolucion de triangulos

Reduccion de angulos al primer cuadrante

¿Que es el Arcoseno?

Que es un triangulo oblicuangulo

Angulos notables

Definicion de la tangente y propiedades

Definición de coseno y sus principales idéntidades trigonométricas

Qué es el Teorema del seno

Qué es una Función trigonométrica inversa

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Que es la cotangente

Los Teoremas de Trigonometría

Qué es el Teorema del Coseno

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Ejercicios interactivos de triángulos rectángulos II

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