Definición de la tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo o adyacente al ángulo.

Triángulo rectángulo

Se denota por tg B o tan B.

{tg\, B = \frac{sen\, B}{\cos B} = \frac{cateto \quad opuesto}{cateto \quad contiguo} = \frac{b}{c}}

Tangente en la circunferencia goniométrica

razones trigonométricas en el círculo

Por las definiciones de las razones trigonométricas tenemos:

{sen\, a = \frac{PQ}{OP} = \frac{PQ}{r} = PQ}

{\cos a= \frac{OQ}{OP} = OQ}

{tg\, a = \frac{PQ}{OQ} = \frac{ST}{OT} = \frac{ST}{r} = ST}

Signo de la tangente

 

signos de la tangente

En la imagen podemos observar el signo de la tangente dependiendo su ubicación en el plano cartesiano.

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Valores de la tangente de algunos ángulos

 

Valores de las tangentes

 

Relación entre la tangente y la secante

La siguiente ecuación es conocida como una identidad Pitagórica que relaciona a la tangente y la secante.

{sec^2\alpha = 1 + tg^2\alpha}

Ejemplo

Sabiendo que {tg \, \alpha = 2}, y que  {180 < \alpha < 270}. Calcular el coseno de {\alpha}.

{sec^2 \alpha = 1 + 4 \quad sec\, \alpha = -\sqrt{1+5}=-\sqrt{5}}

Cambiamos la secante por su definición como la razón 1 entre el coseno, es decir,

{\frac{1}{\cos \alpha} = -\sqrt{5} \quad \cos \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}= -\frac{\sqrt{5}}{5}}

Propiedades de la tangente

 

Tangente del ángulo complementario

{tg\, (\frac{\pi}{2}-\alpha) = cot\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 60 = tg\, (90-30) = cot\, 30 = \sqrt{3}}

Tangente del ángulo suplementario

{tg\, (\pi-\alpha) = -tg\, \alpha}

Ejemplo: {tg\, 150 = tg\, (180-30) = -tg\, 30 = -\frac{\sqrt{3}}{3}}

Tangente de ángulos que se diferencian en 180°

{tg\, (\pi + \alpha) = tg\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 210 = tg\, (180+30) = tg\, 30 = \frac{\sqrt{3}}{3}}

Tangente del ángulo opuesto

{tg\, (2\pi-\alpha) = -tg\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 330 = tg\, (360-30) = -tg\, 30 = -\frac{\sqrt{3}}{3}}

Tangente del ángulo negativo

{tg\, (-\alpha) = -tg\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, (-30) = -tg\, 30 = -\frac{\sqrt{3}}{3}}

Tangente de un ángulo mayor de 360º

{tg\, (\alpha + 2\pik) = tg\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 750 = tg\, (360\cdot 2 + 30) = tg\, 30 = \frac{\sqrt{3}}{3}}

Tangente de ángulos que diferencian en 90º

{tg\, (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -cot\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 120 = tg\, (90 + 30) = -cot\, 30 = -\sqrt{3}}

Tangente de ángulos que suman en 270º

{tg\, (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = cot\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 240 = tg\, (270 - 30) = cot\, 30 = \sqrt{3}}

Tangente de ángulos que se diferencian en 270º

{tg\, (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cot\, \alpha}

Ejemplo:

{tg\, 300 = tg\, (270 + 30) = -cot\, 30 = -\sqrt{3}}

Tangente de una suma

{tg\, (a+b) = \dfrac{tg\, a + tg\, b}{1 - tg\, a\cdot tg\, b}}

Ejemplo:

{tg\, 75 = \dfrac{tg\, 45 + tg\, 30}{1 - tg\, 45\cdot tg\, 30} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}}

Tangente de una diferencia

{tg\, (a-b) = \dfrac{tg\, a - tg\, b}{1 + tg\, a\cdot tg\, b}}

Ejemplo:

{tg\, 15 = \dfrac{tg\, 45 - tg\, 30}{1 + tg\, 45\cdot tg\, 30} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}}

Tangente del ángulo doble

{tg\, 2a = \dfrac{2tg\, a}{1 - tg^2a}}

Ejemplo:

{tg\, 120 = \dfrac{2tg\, 60}{1 - tg^2 60} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - 3} = -\sqrt{3}}

Tangente del ángulo mitad

{tg\, \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos a}{1 + \cos a}}}

Ejemplo:

{tg\, (22º 30') = tg\, \frac{45}{2} = \sqrt{\dfrac{1-\cos 45}{1 + \cos 45}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗