Ecuaciones de 2º grado completa

 

La ecuación de segundo grado en su forma completa es

 

ax^2 + bx + c = 0

 

con a \neq 0. La solución de dicha ecuación es

 

x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

 

Una ecuación de segundo grado es incompleta si el coeficiente a \neq 0 y b = 0 ó c = 0

 

Ecuación incompleta con b = 0 y c = 0

 

ax^2 = 0

 

Para este caso el valor x = 0 satisface la ecuación incompleta, por lo que la solución es x = 0.

 

Ecuación incompleta con c = 0

 

ax^2 + bx = 0

 

Para este caso factorizamos la ecuación e igualamos a cero

 

ax^2 + bx = x(ax + b) = 0

 

Igualando los factores a cero se obtienen las soluciones x=0
y x = -\cfrac{b}{a}

 

Ecuación incompleta con b = 0

 

ax^2 + c = 0

 

Para este caso, las soluciones reales son

 

x = \sqrt{-\cfrac{c}{a}} y x = -\sqrt{-\cfrac{c}{a}}

 

siempre que -\cfrac{c}{a} sea positivo. En caso de ser negativo, no se tienen soluciones reales.

 

Propiedades de las soluciones de una ecuación de 2º grado

 

1La suma de las soluciones siempre es igual al negativo del cociente de b y a

 

x_1 + x_2 = -\cfrac{b}{a}

 

2El producto de las soluciones es igual al cociente de c y a

 

x_1 \cdot x_2 = \cfrac{c}{a}

 

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

 

Si conoces las soluciones de una ecuación de segundo grado, puedes a partir de estas obtener la ecuación. Para esto se consideran la suma y el producto de las raíces

 

S = x_1 + x_2

P = x_1 \cdot x_2

 

La ecuación cuadrática que tiene por soluciones a x_1 y x_2 es

 

x^2 - Sx + P = 0

 

Factorización de un trinomio de segundo grado

 

Si se conocen las raíces x_1 y x_2 de la ecuación de segundo grado

 

ax^2 + bx + c = 0

 

La ecuación se factoriza de la forma

 

a(x - x_1)(x - x_2)

 

Pasos para resolver ecuaciones racionales

 

1 Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

 

2 Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

 

Ecuaciones bicuadradas

 

Las ecuaciones bicuadradas son las de la forma

 

ax^4 + bx^2 + c = 0

 

Para resolverlas, efectuamos el cambio x^2 = t, \ x^4 = t^2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t

 

at^2 + bt + c = 0

 

Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x

 

x = \pm \sqrt{t}

 

También se puede realizar con la fórmula:

 

x = \pm \sqrt{\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

 

Pasos para resolver ecuaciones irracionales

 

1 Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

 

2 Se elevan al cuadrado los dos miembros.

 

3 Se resuelve la ecuación obtenida.

 

4Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

 

5 Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

 

Ecuaciones de grado superior a dos

 

Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗