Factorización

 

Factorizar x^2 - 5x + 6

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}  \\\\  & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}  \\\\  & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2}  \\\\  & = & \cfrac{5 \pm 1}{2}  \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{5 + 1}{2} = 3

 

x_2 = \cfrac{5 - 1}{2} = 2

 

2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

 

(x - x_1)(x - x_2)

 

3Así, la factorización buscada es

 

x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

 

 

 

Encontrar el valor k

 

Determinar k de modo que en la ecuación x^2 - kx + 36 = 0  las raíces sean iguales.

1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante b^2 - 4ac tiene que ser igual a cero.Calculamos el discriminante

 

\begin{array}{rcl} b^2 - 4ac & = & (-k)^2 - 4(1)(36) \\\\ & = & k^2 - 144 \end{array}

 

2Igualamos el resultado a cero

 

\begin{array}{rcl} k^2 - 144 & = & 0 \\\\  (k - 12)(k + 12) & = & 0 \end{array}

 

3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de k que hacen que las raíces sean guales

 

\begin{array}{rcl} k - 12  =  0 & \Longrightarrow & k = 12 \\\\ k + 12  =  0 & \Longrightarrow & k = -12 \end{array}

 

 

Encuentra los valores que se te piden

 

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:

 

x^2 - Sx + P = 0

 

Siendo S la suma de las raíces y P el producto de las raíces

 

2Sabemos que S = 5 y P = -84, por lo que obtenemos

 

x^2 -5x - 84

 

3Resolvemos la ecuación de segundo grado x^2 -5x - 84 = 0

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-84)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{361}}{2} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 19}{2} \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{5 + 19}{2} = 12

 

x_2 = \cfrac{5 - 19}{2} = -7

 

Así, los números buscados son -7 y 12

 

 

Ejercicio para calcular edades

 

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

1Designamos las variables para el ejercicio:

 

Edad actual x

Edad hace 13 años x - 13

Edad dentro de 11 años x + 11

 

2Escribimos la ecuación correspondiente:

 

x + 11 = \cfrac{(x - 13)^2}{2}

 

3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación

 

x^2 - 28x + 147 = 0

 

4Resolvemos la ecuación

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(1)(147)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{28 \pm \sqrt{196}}{2} \\\\ & = & \cfrac{28 \pm 14}{2} \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{28 + 14}{2} = 21

 

x_2 = \cfrac{28 - 14}{2} = 7

 

x = 7 no es una solución válida porque entonces ¿qué edad tendría hace 13 años?

 

Así, la edad actual es 21 años

 

 

Cálculo de un terreno

 

Para vallar una finca rectangular de 750 \, m^2 se han utilizado 110 \, m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

1Representamos el terreno

 

Figura cuya área representa una ecuación cuadrática

donde

Semiperímetro 55

 

Base x

 

Altura 55 - x

 

2El área es igual a base por altura

 

x(55 - x) = 750

 

3Quitamos paréntesis y hallamos las raíces

 

x^2 - 55x + 750 = 0

 

x = 25 y x = 30

 

Así, las dimensiones de la finca son:

 

base 25 \, m y altura 30 \, m

 

base 30 \, m y altura 25 \, m

 

 

Triángulos proporcionales

 

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 \, m^2.

1Representamos los datos proporcionados

 

Ejercicio sobre proporcionalidad de triángulos

 

Primer lado 3x (base)

 

Segundo lado 4x (altura)

 

Tercer lado 5x

 

2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

 

\cfrac{3x \cdot 4x}{2} = 24

 

3Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

 

x^2 = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \pm 2

 

-2 no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa. Así las soluciones son:

 

Primer lado 6 \, m

 

Segundo lado 8 \, m

 

Tercer lado 10 \, m

 

 

Calcula el área del jardín

 

Un jardín rectangular de 50 \, m de largo por 34 \, m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 \, m^2.

1Representamos los datos proporcionados

 

Rectángulo cuya área representa una ecuación de 2do grado

 

Llamaremos x a la anchura del camino

 

2540 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín

 

(50 + 2x)(34 + 2x) - 50 \cdot 34 = 540

 

3Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los dos miembros

 

\begin{array}{rcl}4x^2 + 168x - 540 & = & 0 \\\\ x^2 + 42x - 135 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 45) & = & 0 \end{array}

 

Así, la anchura del camino es 3 \, m.

 

-45 \, m no es una solución porque las distancias han de ser positivas.

 

 

Criterio de semejanza en rectángulos

 

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 \, m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 \, m y 48 \, m respectivamente.

1Los lados tienen en común el 12, por lo que empleando la semejanza se tiene

 

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

 

 

Ejercicio de dimensiones de un triangulo conociendo la diagonal

 

2Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

\begin{array}{rcl} (4x)^2 + (3x)^2 & = & 75^2 \\\\ 25x^2 & = & 5625 \end{array}

 

3Resolvemos la última ecuación y obtenemos x = 15. Así, las dimensiones del rectángulo solicitado son:

 

Base 4 \cdot 15 = 60 \, m

Altura 3 \cdot 15 = 45 \, m

 

 

Calcula el numero que se te indica

 

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es \cfrac{26}{5}.

1Consideramos

 

Número: x

 

Inverso del número: \cfrac{1}{x}

 

2Realizamos la suma indicada

 

x + \cfrac{1}{x} = \cfrac{26}{5}

 

3Resolvemos la ecuación racional

 

\begin{array}{rcl} x + \cfrac{1}{x} & = & \cfrac{26}{5}  \\\\  \cfrac{x^2 + 1}{x} & = & \cfrac{26}{5}  \\\\  5x^2 - 26x + 5 & = & 0  \\\\  (x - 5)(5x - 1) & = & 0  \end{array}

 

Las soluciones de la ecuación son x = 5 y x = \cfrac{1}{5}

 

El número pedido es 5, pues  \cfrac{1}{5} no es solución porque no es un número entero.

 

 

Estructura la ecuación cuadrática y calcula

 

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1Consideramos

 

Primer número x

 

Segundo número x + 2

 

Expresamos la suma de los cuadrados

x^2 + (x + 2)^2 = 580

2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2

 

\begin{array}{rcl} x^2 + (x + 2)^2 & = & 580  \\\\  x^2 + x^2 + 4x + 4 & = & 580  \\\\  2x^2 + 4x - 576 & = & 0  \\\\   x^2 + 2x 288 & = & 0  \\\\  (x - 16)(x + 18) & = &  0  \end{array}

 

3Las soluciones de la ecuación son x = 16 y x = -18

 

Primer número x = 16

 

segundo número x = -18

 

x = -18 no es solución a nuestro problema porque no es un número natural

 

 

Calcular tiempo de llenado de una piscina

 

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

1Consideramos

 

Tiempo de A:  x

 

Tiempo de B:  x + 3

2En una hora ocurre lo siguiente:

A = \cfrac{1}{x}

B = \cfrac{1}{x + 3}

También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina

A + B = \cfrac{1}{2}

3Sustituimos:

\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x + 3} = \cfrac{1}{2}

 

Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores

 

\begin{array}{rcl}  \cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x + 3} & = & \cfrac{1}{2}  \\\\  2x + 6 + 2x - x^2 - 3x & = & 0 \\\\  x^2 - x - 6 & = & 0  \\\\  (x - 3)(x + 2)  & = & 0  \end{array}

Así, las posibles soluciones son 3 y -2, pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.

4Comprobamos que 3 es una solución:

Al cabo de una hora, ocurre que:

A = \cfrac{1}{3}

B = \cfrac{1}{3+3} = \cfrac{1}{6}

Al cabo de 2 horas:

\cfrac{1}{3} \cdot 2 =  \cfrac{2}{3}

\cfrac{1}{6} \cdot 2 = \cfrac{2}{6}  = \cfrac{1}{3}

Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado

\cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{3} = \cfrac{3}{3} = 1

La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas. Así, el tiempo solicitado es:

Tiempo de A = 3 \, hrs

 

Tiempo de B = 6 \, hrs

 

 

Encuentra los valores que se indican

 

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

1Representamos los datos proporcionados

 

Ejercicio de triangulo mediante números consecutivos

 

Primer cateto 2x

 

Segundo cateto 2x + 2

 

Hipotenusa 2x + 4

 

2Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

(2x)^2 + (2x + 2)^2 = (2x + 4)^2

 

3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4

 

\begin{array}{rcl} (2x)^2 + (2x + 2)^2 & = & (2x + 4)^2 \\\\ 4x^2 - 8x -12 & = & 0 \\\\ x^2 - 2x - 3 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 1) & = & 0 \end{array}

 

4Las soluciones de la ecuación son x= 3 y x= -1. Así, las medidas solicitadas corresponden a x= 3

 

Primer cateto 6 \, cm

 

Segundo cateto 8 \, cm

 

Hipotenusa 10 \, cm

 

No consideramos x = -1 porque las distancias son positivas

 

 

 

Cálculo de un volumen

 

Una pieza rectangular es 4 \, cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 \, cm^3 cortando un cuadrado de 6 \, cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

1Representamos los datos proporcionados

 

Caja para calculo de dimensiones

 

Ancho: x

 

Largo: x + 4

 

Alto: 6 \, cm

 

2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es: largo \times ancho \times alto

 

6(x - 12) \cdot (x + 4 - 12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

 

3Resolvemos la ecuación anterior

 

\begin{array}{rcl}6(x - 12) \cdot (x + 4 - 12) & = & 840 \\\\ (x - 12)(x - 8) & = & 140 \\\\ x^2 - 20x - 44 & = & 0 \\\\ (x - 22)(x + 2) & = & 0 \end{array}

Las soluciones de la ecuación son x = 22 y x = -2. Así, las medidas solicitadas son

Ancho: 22 \, cm

 

Largo: 26 \, cm

 

La solución -2 la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa

 

 

Llenando un deposito

 

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

1Consideramos

 

Tiempo del primero: x

 

Tiempo del segundo: x - 2

2En una hora ocurre lo siguiente:

Primero \Longrightarrow \cfrac{1}{x}

Segundo \Longrightarrow \cfrac{1}{x - 2}

También sabemos que en una hora y 20 minutos, esto es en \cfrac{4}{3} de hora los 2 caños juntos llenan un depósito

3Sustituimos:

\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x - 2} = \cfrac{1}{\cfrac{4}{3}}

 

Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x - 2} & = & \cfrac{1}{\cfrac{4}{3}} \\\\ 3x^2 - 14x + 8 & = & 0 \\\\ (x - 4)\left(3x - 2\right) & = & 0 \end{array}

Así, las posibles soluciones son 4 y \cfrac{2}{3}, pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

4Así, los tiempos empleados son:

 

Tiempo del primero 4 \, hrs

 

Tiempo del segundo 2 \, hrs

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗