Ejercicios propuestos

1

Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

 

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

Como conocemos las raíces de la ecuación, podemos escribir ésta como:

x² + Sx + P = 0

Siendo Sla suma de las raíces y P el producto de las raíces

S = 3 − 2 = 1

P = 3 · (−2) = −6

x² − x − 6 = 0

2

Factorizar:

 

Factorizar:

Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

a · (x - x1) · (x - x2) = 0

3

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

 

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

Para que las dos raíces sean iguales el discrimnante (b² − 4ac) tiene que ser igual a cero

b² − 4ac = 0

k² − 4 · 36 = 0          k² = 144

4

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

 

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

5

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

 

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

x = 7, no es una solución válida porque entonces qué edad tendría hace 13 años

Edad actual 21 años

6

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

 

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

El área es igual base por altura

x · (55 − x) = 750

Quitamos paréntesi

x² − 55x + 750 = 0

x = 25      x = 30

Las dimensiones de la finca son:

base = 30 m      altura = 25 m

base = 25 m     altura = 30 m

7

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

 

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

1er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3er lado 5x

Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

−2 no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa

1er lado 6 m

2º lado 8 m

3er lado 10 m

8

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

 

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

LLamamos x a la anchura del camino

540 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

Quitamos paréntesis, operamos y simplicamos la ecuación dividiendo por 4 en los dos miembros

4x² + 168x − 540 = 0        x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m.

−45 no es una solución porque las distancias han de ser positivas.

9

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

 

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

(4x)² + (3x)² = 75²

25x² = 5625

x² = 225      x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

10

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

 

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

Número: x

Inverso del número: 1/x

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

El número pedido es 5, pero como es una ecuación racional vamos a comprobarlo:

1/5 no es solución porque no es un número entero

11

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

 

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1er número x

2º número x + 2

Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo en los dos miembros por 2

1er número 16

2º número 18

−18 no es solución porque no es un número natural

12

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

 

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

Tiempo de A x

Tiempo de B x + 3

A

B

A y B

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

Comprobamos que 3 es una solución:

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

13

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

 

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

1er cateto 2x

2º cateto 2x + 2

Hipotenusa 2x + 4

Aplicamos el teorema de Pitágoras

(2x)² + (2x + 2)² = (2x + 4)²

Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo en los dos miembros por 4

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16

4x² − 8x − 12 = 0         x² − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1er cateto 6 cm

2º cateto 8 cm

Hipotenusa 10 cm

No consideramos x= −1 porque las distancias son positivas

14

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

 

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

Ancho: x

Largo: 4x

Alto: 6 cm

El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es: largo × ancho × alto

6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

Pasamos el 6 dividiendo al segundo miembro y se multiplican los binomios

x² − 20x − 44 = 0    x = 22 y x = −2

Ancho: 22 cm

Largo: 26 cm

La solución −2 la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa

15

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

 

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

Tiempo del 1º x

Tiempo de 2º x − 2

El primero llena un depósito en x horas.

El segundo llena un depósito en (x − 2) horas

Pasamos el tiempo a una fracción de hora

1 hora y 20 minutos = 4/3 horas

Entre los dos

Hacemos el inverso en el segundo miembro

Quitamos denominadores, el m.c.m. es: 4x(x − 2)

Tiempo del 1º 4 horas

Tiempo de 2º 2 horas

no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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