Encuentra la ecuación cuadrática

 

Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

 

 

 

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

 

Como conocemos las raíces de la ecuación, podemos escribir ésta como:

 

x² + Sx + P = 0

 

Siendo Sla suma de las raíces y P el producto de las raíces

 

S = 3 − 2 = 1

P = 3 · (−2) = −6

x² − x − 6 = 0

 

 

Factorizacion

 

Factorizar :    Ecuación cuadrática

 

 

 

 

Factorizar:      Ecuación cuadrática

 

 

Formula general para resolver ecuaciones cuadráticas

 

Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

 

 

a · (x - x1) · (x - x2) = 0

 

Ecuación cuadrática factorizada

 

 

Encontrar el valor k

 

Determinar k de modo que en la ecuación x² − kx + 36 = 0 las raíces sean iguales.

 

 

 

 

Determinar k de modo que en la ecuación x² − kx + 36 = 0  las raíces sean iguales.

Para que las dos raíces sean iguales, el discrimnante (b² − 4ac) tiene que ser igual a cero

 

b² − 4ac = 0

 

k² − 4 · 36 = 0          k² = 144

 

Valor de k para satisfacer la ecuación cuadrática

 

 

Encuentra los valores que se te piden

 

 

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

 

 

 

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

 

x² − Sx + P = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

 

Ejercicio para calcular edades

 

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años.

 

Calcula la edad de Pedro.

 

 

 

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años.

 

Calcula la edad de Pedro.

 

Designamos las variables para el ejercicio:

 

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

 

Escribimos la ecuación correspondiente:

 

Traducción del ejercicio a la forma algebraica

 

Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

 

Simplificación de la ecuación

 

Valores que satisfacen la ecuación

 

x = 7, no es una solución válida porque entonces qué edad tendría hace 13 años

 

Edad actual 21 años

 

 

 

Calculo de un terreno

 

Para hallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.

 

Calcula las dimensiones de la finca.

 

 

 

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.

 

Calcula las dimensiones de la finca.

 

 

Figura cuya área representa una ecuación cuadrática

 

 

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

 

El área es igual base por altura

x · (55 − x) = 750

 

Quitamos paréntesis

x² − 55x + 750 = 0

x = 25      x = 30

 

Las dimensiones de la finca son:

base = 30 m      altura = 25 m

base = 25 m     altura = 30 m

 

 

Rectángulos proporcionales

 

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

 

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

 

 

 

 

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

 

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

 

 

Ejercicio sobre proporcionalidad de triángulos

 

1er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3er lado 5x

 

Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

 

Sustitución de valores en la formula del área del triangulo

 

Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

 

Simplifican y resultado de la variable x

 

−2 no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa

 

1er lado 6 m

2º lado 8 m

3er lado 10 m

 

 

Calcula el área del jardín

 

Un jardín rectangular de 50m de largo por 34m de ancho está rodeado por un camino
de arena uniforme.

 

Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540m².

 

 

 

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino
de arena uniforme.

 

Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

 

 

Rectángulo cuya área representa una ecuación de 2do grado

 

Llamaremos x a la anchura del camino

 

540 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín

 

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

 

Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los
dos miembros

 

4x² + 168x − 540 = 0        x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

 

La anchura del camino es 3 m.

 

−45 no es una solución porque las distancias han de ser positivas.

 

 

Criterio de Semejanza en rectángulos

 

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que
es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

 

 

 

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que
es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

 

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

 

 

Ejercicio de dimensiones de un triangulo conociendo la diagonal

 

(4x)² + (3x)² = 75²

25x² = 5625

x² = 225      x = 15

 

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

 

 

Calcula el numero que se te indica

 

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es Fracción .

 

 

 

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es Fracción .

 

Número: x

Inverso del número: 1/x

 

Traducción del ejercicio a su forma algebraica

 

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

 

Mínimo común múltiplo

 

Simplificación a la forma cuadrática de la ecuación

 

Formula general para resolver ecuaciones de 2do grado

 

El número pedido es 5, pues  1/5 no es solución porque no es un número entero.

 

 

Estructura la ecuación cuadrática y calcula

 

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

 

¿Cuáles son esos números?

 

 

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus
cuadrados es 580.

 

¿Cuáles son esos números?

 

1er número x

2º número x + 2

 

Planteamiento algebraico del ejercicio

 

 

Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2

 

Forma general de la ecuación de segundo grado

 

simplificación de la ecuación

 

Resolviendo mediante la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

1er número 16

2º número 18

 

−18 no es solución porque no es un número natural

 

 

Calcular tiempo de llenado de una piscina

 

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B.

 

¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

 

 

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B.

 

¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

 

Tiempo de A:   x

Tiempo de B:   x + 3

 

En una hora ocurre lo siguiente:

A=  Inverso de x

 

B =Fracción propuesta para el ejercicio

 

También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina

A + B=  Un medio

 

Sustituimos:

 

Sustitución de los valores

 

 

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

 

Calculo del mínimo común múltiplo

 

Planteando la ecuación cuadrática

 

Soluciónes por formula general

 

 

Comprobamos que 3 es una solución:

Al cabo de una hora, ocurre que:

A=\frac{1}{(3)}

B=\frac{1}{3+(3)}= \frac{1}{6}

 

Al cabo de 2 horas:

\frac{1}{(3)} \cdot 2 =  \frac{2}{(3)}

\frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6}  = \frac{1}{3}

 

Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado    \frac{2}{(3)} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1

La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas.

 

Respuesta:

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

 

 

Encuentra los valores que se indican

 

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos.

 

Halla los valores de dichos lados.

 

 

 

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos.

 

Halla los valores de dichos lados.

 

 

Ejercicio de triangulo mediante números consecutivos

 

1er cateto 2x

2º cateto 2x + 2

Hipotenusa 2x + 4

 

 

Aplicamos el teorema de Pitágoras

(2x)² + (2x + 2)² = (2x + 4)²

 

 

Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16

4x² − 8x − 12 = 0         x² − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

 

1er cateto 6 cm

2º cateto 8 cm

Hipotenusa 10 cm

 

No consideramos x= −1 porque las distancias son positivas

 

 

Calculo de un volumen

 

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha.

Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado
en cada esquina y doblando los bordes.

 

Halla las dimensiones de la caja.

 

 

 

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha.

Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado
en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

 

 

Caja para calculo de dimensiones

 

Ancho: x

Largo: 4x

Alto: 6 cm

 

El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es: largo × ancho × alto

6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

 

Pasamos el 6 dividiendo al segundo miembro y se multiplican los binomios

x² − 20x − 44 = 0    x = 22 y x = −2

 

Ancho: 22 cm

Largo: 26 cm

 

La solución −2 la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa

 

Llenando un deposito

 

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos
juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.

 

¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

 

 

 

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos
juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.

 

¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

 

Tiempo del 1º x

Tiempo de 2º x − 2

 

Reciproco de x

 

El primero llena un depósito en x horas.

 

modo algebraico de la segunda oración

 

El segundo llena un depósito en (x − 2) horas

 

Pasamos el tiempo a una fracción de hora

 

1 hora y 20 minutos = 4/3 horas

 

Entre los dos  \frac{1}{\frac{4}{3}}

 

Sustitución de valores en la suma para calcular el llenado

 

Hacemos el inverso en el segundo miembro

 

Trabajo algebraico para resolver la ecuación

 

Quitamos denominadores, el m.c.m. es: 4x(x − 2)

 

Forma general de la ecuación de 2do grado

 

2 Resultados obtenidos mediante la formula general

 

Tiempo del 1º  4 horas

Tiempo de 2º  2 horas

 

\frac{2}{3} no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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