Escoge la opción correcta:

1La ecuación 2x^2 - x - 3 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{25}}{4} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 5}{4} \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{1 + 5}{4} = \cfrac{3}{2}

 

x_2 = \cfrac{1 - 5}{4} = -1

 

La ecuación tiene dos soluciones simples que son x_1 = \cfrac{3}{2} y x_2 = -1

2La ecuación 4x^2 + 4x + 1 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{0}}{8} \\\\ & = & \cfrac{-1}{2} \end{array}

 

La ecuación tiene una solución doble que es: x = -\cfrac{1}{2}

3La ecuación -x^2 + 16x - 64 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-1)(-64)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-16 \pm \sqrt{0}}{-2} \\\\ & = & 8 \end{array}

 

La ecuación tiene una solución doble que es: x = 8

4La ecuación 3x^2 - x + 12 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(12)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{-143}}{6} \notin \mathbb{R} \end{array}

 

La ecuación no tiene soluciones reales, ya que el radicando es negativo.

5La ecuación -x^2 + 2x + 15 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(15)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-2 \pm \sqrt{64}}{-2} \\\\ & = & \cfrac{-2 \pm 8}{-2} \end{array}

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{-2 - 8}{-2} = 5

 

x_2 = \cfrac{-2 + 8}{-2} = -3

 

La ecuación tiene dos soluciones simples que son x_1 = 5 y x_2 = −3.

6La ecuación x^2 - 5x + 9 = 0 tiene...

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{-11}}{2} \notin \mathbb{R} \end{array}

 

La ecuación no tiene soluciones reales, ya que el radicando es negativo.

Resuelve las siguientes cuestiones:

7Calcula el valor de a para que la ecuación x^2 + ax + 16 = 0 tenga un única solución.

a_1 = ; a_2 = −

Para que la ecuación x^2 + ax + 16 = 0 tenga una raíz doble se debe verificar que el discriminante de la misma sea nulo.

 

El discriminante es a^2 - 4(1)(16)

 

Igualamos el discriminante a cero y despejamos a

 

a^2 - 4(1)(16) = 0
a = \pm 8

 

Así, cuando a = \pm 8 se tiene una raiz doble.

8Sabemos que para m = 4 el polinomio 4x^2 - mx + 2m - 7 tiene un raíz doble. Calcula otro valor de m para que dicho polinomio tenga una raíz doble.

m =

Para el valor m = 4 y para el valor que hayas obtenido en el apartado anterior calcula la solución de la ecuación 4x^2 - mx + 2m - 7 = 0

m = 4 x =
m = x =

Que el polinomio 4x^2 − mx + 2m − 7 tenga una raíz doble quiere decir que la ecuación 4x^2 − mx + 2m − 7 = 0 tiene una única solución.

 

Para que la ecuación tenga una única solución se debe verificar que el discriminante sea igual a 0.

 

(-m)^2 - 4(4)(2m - 7) = 0

 

Desarrollando se obtiene la ecuación cuadrática m^2 - 32m + 112 = 0

 

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} m & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(1)(112)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{32 \pm \sqrt{576}}{2} \\\\ & = & \cfrac{32 \pm 24}{2} \end{array}

Las raíces son

 

m_1 = \cfrac{32 - 24}{2} = 4

 

m_2 = \cfrac{32 + 24}{2} = 28

 

Por tanto, para que el polinomio dado tenga una raíz doble m deberá ser m = 4 o m = 28

 

Para m = 4, la ecuación 4x^2 - mx + 2m - 7 = 0 se transforma en: 4x^2 - 4x + 1 = 0

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{4 \pm \sqrt{0}}{8} \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

Para m = 28, la ecuación 4x^2 - mx + 2m - 7 = 0 se transforma en: 4x^2 - 28x + 49 = 0

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(4)(49)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{28 \pm \sqrt{0}}{8} \\\\ & = & \cfrac{7}{2} \end{array}

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗