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¿Qué es una ecuación de grado superior a dos?
Pasos para resolver una ecuación de grado superior a dos

¿Qué es una ecuación de grado superior a dos?

Una ecuación de grado superior a dos es una ecuación escrita de la forma siguiente:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots a_{1}x+a_{0}=0$

donde $n>2$

Este tipo de ecuacion se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

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Pasos para resolver una ecuación de grado superior a dos

Para mejor entender los pasos de resolución, vamos a tomar el siguiente ejemplo:

$2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0$

Utilizamos la regla de Ruffini y la formula general para ecuaciones de segundo grado con el objetivo de reducir el orden de la ecuación.

I - Factorizamos la ecuación de cuarto grado

Para factorizar la ecuación

$E(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6$

1 Buscamos los divisores del término independiente.

El término independiente es el $6$ , ya que el termino independiente de un polinomio es aquel que no está multiplicado por $x$ .

Los divisores de $6$ son:

$\{\pm 1, \pm 2, \pm 3\}$ .

Esto lo hacemos con el fin de encontrar un valor que resuelva la ecuación $E(x)=0$ , y de este modo encontrar una raíz de la ecuación para que nos sea más fácil factorizarlo. Una vez encontrados los divisores del término independiente, la siguiente etapa es:

2 Evaluamos el polinomio en los divisores del termino independiente.

Si $x=1$

$E(1)=2(1)^{4}+(1)^{3}-8(1)^{2}-(1)+6=2+1-8-1+6=0$

$x=1$ , es entonces una raíz de $E(x)$ .

Como hemos encontrado una raíz, sabemos que el termino $x-1$ divide a $E(x)$ .

3 Usamos la regla de Ruffini.

La regla de Ruffini nos facilita el calculo de la división de $E(x)$ entre $x-1$ .

Tomando los términos de $E(x)$ , la raíz encontrada $(x=1)$ y colocándolos como indica la regla de Ruffini tenemos:

$\begin{tabular}{ c c c c c c} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6\\ 1 & & 2 & 3 & -5 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{tabular}$

Esto implica que la división de $E(x)$ entre la raíz $x=1$ da como resultado la ecuación $E_1(x)=2x^3+3x^2-5x-6$ .

Por lo que tenemos que $E(x)=(x-1)(2x^3+3x^2-5x-6)$ .

II - Factorizamos la ecuación de tercer grado

Para factorizar la ecuación $E_1(x)$ obtenida en el paso anterior, realizaremos un procedimiento similar.

1Revisamos si el número $1$ resulta ser una raíz repetida, es decir que $x=1$ también sea una solución para la ecuación $E_1(x)$ , por lo que evaluando nos queda:

$E_{1}(1)=2(1)^3+3(1)^2-5(1)-6=2+3-5-6=-6 \neq 0$

Entendemos que $x=1$ no es una raíz repetida.

2Revisamos si el resto de los divisores del termino independiente de la ecuación original $E(x)$ son raíces de $E_1(x)$ .

Notamos que si, con $x=-1$ entonces:

$E_{1}(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-6=-2+3+5-6=0$

Por lo que $x=-1$ , es una raíz de $E_{1}(x)$ .

Es decir que $x+1$ divide a $E_1(x)$ .

3Usamos la regla de Ruffini para realizar la división de $E_1(x)$ entre $x+1$ .

Tomamos la raíz que encontramos en este paso $(x=-1)$ y los coeficientes de $E_1(x)$ , para ordenarlos de la siguiente manera y obtener:

$\begin{tabular}{ c c c c c} & 2 & 3 & -5 & -6\\ -1 & & -2 & -1 & 6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{tabular}$

Lo que implica que el resultado de la división es la expresión $E_{2}(x)=2x^2+x-6$ .

Es decir que $E_{1}(x)=(x+1)(2x^2+x-6)$ .

Por lo que a su vez tenemos que: $E(x)=(x-1)(x+1)(2x^2+x-6)$ .

III - Factorizamos la ecuación de segundo grado

Este paso es bastante simple ya que solo tenemos que encontrar las raíces del polinomio de grado $2$ $E_{2}(x)=2x^2+x-6$ .

Podemoss calcular con facilidad estas raices sando la formula general para ecuaciones de segundo grado:

$x=\cfrac{-(1)\pm \sqrt{(1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)}=\cfrac{-1\pm \sqrt{49}}{4}=\cfrac{-1\pm 7}{4}$

Entonces las raíces de $E_{2}(x)$ son:

$x_{1}=-2$

$x_{2}=\displaystyle \frac{3}{2}$ .

Esto implica que $E_{2}(x)=(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2})$ .

Por lo que llegamos a la conclusión de que:

$E(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2})$ .

Soluciones

$x=1,\ x=-1,\ x=-2,\ x=\frac{3}{2}$

Factorización

$(x-1)(x+1)(x-\frac{3}{2})(x+2)$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Darlin de la Cruz

Agosto 2021

donde puedo encontrar los ejercicios resueltos?

Mayely García

Octubre 2021

Como se encuentra el intercepto de una función polinomica de grado 4, que está en fracciones

Ecuaciones con grado superior a dos

¿Qué es una ecuación de grado superior a dos?

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