¿Qué es una ecuación de grado superior a dos?

 

Una ecuación de grado superior a dos es una ecuación escrita de la forma siguiente:

 

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots a_{1}x+a_{0}=0

 

donde n>2

 

Este tipo de ecuacion se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

 

Para mejor entender los pasos de resolución, vamos a tomar el siguiente ejemplo:
 

2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

Utilizamos la regla de Ruffini y la formula general para ecuaciones de segundo grado con el objetivo de reducir el orden de la ecuación.

 

I - Factorizamos la ecuación de cuarto grado

 

Para factorizar la ecuación
 

E(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6
 

1 Buscamos los divisores del término independiente.

 

El término independiente es el 6, ya que el termino independiente de un polinomio es aquel que no está multiplicado por x.
 

Los divisores de 6 son:
 

\{\pm 1, \pm 2, \pm 3\}.

 

Esto lo hacemos con el fin de encontrar un valor que resuelva la ecuación E(x)=0, y de este modo encontrar una raíz de la ecuación para que nos sea más fácil factorizarlo. Una vez encontrados los divisores del término independiente, la siguiente etapa es:
 

2 Evaluamos el polinomio en los divisores del termino independiente.

 

Si x=1

 

E(1)=2(1)^{4}+(1)^{3}-8(1)^{2}-(1)+6=2+1-8-1+6=0

 

x=1, es entonces una raíz de E(x).

 

Como hemos encontrado una raíz, sabemos que el termino x-1 divide a E(x).
 

3 Usamos la regla de Ruffini.

 

La regla de Ruffini nos facilita el calculo de la división de E(x) entre x-1.
 

Tomando los términos de E(x), la raíz encontrada (x=1) y colocándolos como indica la regla de Ruffini tenemos:
 

\begin{tabular}{ c c c c c c}   & 2 & 1 & -8 & -1 & 6\\   1 &  & 2 & 3 & -5 & -6 \\  \hline     & 2 & 3 & -5 & -6 & 0     \end{tabular}

 

Esto implica que la división de E(x) entre la raíz x=1 da como resultado la ecuación E_1(x)=2x^3+3x^2-5x-6.

 

Por lo que tenemos que E(x)=(x-1)(2x^3+3x^2-5x-6).

 

II - Factorizamos la ecuación de tercer grado

 

Para factorizar la ecuación E_1(x) obtenida en el paso anterior, realizaremos un procedimiento similar.
 

1Revisamos si el número 1 resulta ser una raíz repetida, es decir que x=1 también sea una solución para la ecuación E_1(x), por lo que evaluando nos queda:

 

E_{1}(1)=2(1)^3+3(1)^2-5(1)-6=2+3-5-6=-6 \neq 0

 

Entendemos que x=1 no es una raíz repetida.
 

2Revisamos si el resto de los divisores del termino independiente de la ecuación original E(x) son raíces de E_1(x).
 

Notamos que si, con x=-1 entonces:

 

E_{1}(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-6=-2+3+5-6=0

 

Por lo que x=-1, es una raíz de  E_{1}(x).
 

Es decir que x+1 divide a E_1(x).
 

3Usamos la regla de Ruffini para realizar la división de E_1(x) entre x+1.

Tomamos la raíz que encontramos en este paso (x=-1) y los coeficientes de E_1(x), para ordenarlos de la siguiente manera y obtener:

 

\begin{tabular}{ c c c c c}   & 2 & 3 & -5 & -6\\   -1 &  & -2 & -1 & 6 \\  \hline     & 2 & 1 & -6 & 0     \end{tabular}

 

Lo que implica que el resultado de la división es la expresión E_{2}(x)=2x^2+x-6.
 

Es decir que E_{1}(x)=(x+1)(2x^2+x-6).

 

Por lo que a su vez tenemos que: E(x)=(x-1)(x+1)(2x^2+x-6).

 

III - Factorizamos la ecuación de segundo grado

 

Este paso es bastante simple ya que solo tenemos que encontrar las raíces del polinomio de grado  2 E_{2}(x)=2x^2+x-6.
 

Podemoss calcular con facilidad estas raices sando la formula general para ecuaciones de segundo grado:

 

x=\cfrac{-(1)\pm \sqrt{(1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)}=\cfrac{-1\pm \sqrt{49}}{4}=\cfrac{-1\pm 7}{4}

 

Entonces las raíces de E_{2}(x) son:
 

x_{1}=-2
 

x_{2}=\displaystyle \frac{3}{2} .

 

Esto implica que E_{2}(x)=(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2}).

 

Por lo que llegamos a la conclusión de que:
 

E(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2}).
 

Soluciones

 

x=1,\ x=-1,\ x=-2,\ x=\frac{3}{2}

 

Factorización

 

(x-1)(x+1)(x-\frac{3}{2})(x+2)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗