Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales y escoge la opción correcta:

1La ecuación \cfrac{4x-10}{1-x^2}=\cfrac{4x-6}{1-x} tiene ...

1 Descomponemos los denominadores en factores

 

1-x^2=(1-x)(1+x)

1-x=1-x

 

2 Calculamos el mcm de los denominadores

 

mcm(1-x^2, 1-x)=1-x^2

 

3 Hacemos que ambas fracciones tengan el mismo denominador

 

\cfrac{4x-10}{1-x^2}=\cfrac{(4x-6)(1+x)}{1-x^2}

 

4 Igualamos los numeradores y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}4x-10&=&(4x-6)(1+x)\\ 4x-10&=&-6-2x+4x^2\\ 0&=&4x^2-6x+4\end{array}

 

5 Empleamos la fórmula para encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl}x&=&\cfrac{6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 4\cdot 4}}{2\cdot 4}\\\\ &=&\cfrac{6\pm \sqrt{36-64}}{8}\\\\ &=&\cfrac{6\pm\sqrt{-28}}{8}\notin\mathbb{R}\end{array}

 

6 Como en los reales no existe la raíz cuadrada de un número negativo, entonces decimos que la ecuación no tiene soluciones reales.

 

2La ecuación \cfrac{5}{x}+\cfrac{3}{2x^2-3x}=\cfrac{1}{2x-3} tiene ...

1 Descomponemos los denominadores en factores

 

x=x

2x^2-3x=x(2x-3)

2x-3=2x-3

 

2 Calculamos el mcm de los denominadores

 

mcm(x, 2x^2-3x, 2x-3)=2x^2-3x

 

3 Hacemos que ambos lados tengan el mismo denominador y realizamos las operaciones

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{5(2x-3)}{2x^2-3x}+\cfrac{3}{2x^2-3x}&=&\cfrac{x}{2x^2-3x}\\\\ \cfrac{10x-12}{2x^2-3x}&=&\cfrac{x}{2x^2-3x}\end{array}

 

4 Igualamos los numeradores y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}10x-12&=&x\\ 9x&=&12\\ x&=&\cfrac{4}{3}\end{array}

 

5 Comprobamos que es una solución

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{5}{\cfrac{4}{3}}+\cfrac{3}{2\cdot\left(\cfrac{4}{3}\right)^2-3\cdot\cfrac{4}{3}}&=&\cfrac{1}{2\cdot\cfrac{4}{3}-3}\\\\ \cfrac{15}{4}-\cfrac{27}{4}&=&-3\\\\ -3&=&-3\end{array}

 

6 Como x=\frac{4}{3} cumple la igualdad, entonces decimos que es solución.

 

3La ecuación \cfrac{x-1}{x}-2=\cfrac{-x-1}{x^2-2x} tiene ...

1 Descomponemos los denominadores en factores

 

x=x

1=1

x^2-2x=x(x-2)

 

2 Calculamos el mcm de los denominadores

 

mcm(x, 1, x^2-2x)=x^2-2x

 

3 Hacemos que ambos lados tengan el mismo denominador y realizamos las operaciones

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{(x-1)(x-2)}{x}-\cfrac{2(x^2-2x)}{x^2-2x}&=&\cfrac{-x-1}{x^2-2x}\\\\ \cfrac{x^2-3x+2-2x^2+4x}{x^2-2x}&=&\cfrac{-x-1}{x^2-2x}\\\\ \cfrac{-x^2+x+2}{x^2-2x}&=&\cfrac{-x-1}{x^2-2x}\end{array}

 

4 Igualamos los numeradores y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}-x^2+x+2&=&-x-1\\ -x^2+2x+3&=&0\end{array}

 

5 Empleamos la fórmula para encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl}x&=&\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot 3}}{2\cdot (-1)}\\\\ &=&\cfrac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}\\\\ &=&\cfrac{-2\pm 4}{-2}\end{array}

 

Y obtenemos x_1=3 y x_2=-1

 

6 Comprobamos que son solución

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{3-1}{3}-2&=&\cfrac{-3-1}{3^2-2\cdot 3}\\\\ \cfrac{2}{3}-2&=&\cfrac{-4}{9-6}\\\\ -\cfrac{4}{3}&=&-\cfrac{4}{3}\end{array}

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-1-1}{-1}-2&=&\cfrac{1-1}{(-1)^2-2\cdot (-1)}\\\\ 2-2&=&\cfrac{0}{3}\\\\ 0&=&0\end{array}

 

7 Como x_1=3 y x_2=-1 cumplen la igualdad, entonces decimos que son solución.

 

4La ecuación \cfrac{x+4}{2x}-\cfrac{15x+3}{x^3}=\cfrac{2x-6}{2x^3} tiene ...

1 Descomponemos los denominadores en factores

 

2x=2x

x^3=x^3

2x^3=2x^3

 

2 Calculamos el mcm de los denominadores

 

mcm(2x, x^3, 2x^3)=2x^3

 

3 Hacemos que ambos lados tengan el mismo denominador y realizamos las operaciones

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{(x+4)\cdot x^2}{2x^3}-\cfrac{2(15x+3)}{2x^3}&=&\cfrac{2x-6}{2x^3}\\\\ \cfrac{x^3+4x^2-30x-6}{2x^3}&=&\cfrac{2x-6}{2x^3}\end{array}

 

4 Igualamos los numeradores y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}x^3+4x^2-30x-6&=&2x-6\\ x^3+4x^2-32x&=&0\\ x(x^2+4x-32)&=&0\end{array}

 

5 Notamos que x=0 satisface la igualdad de los numeradores. Empleamos la fórmula para encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl}x&=&\cfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-32)}}{2\cdot 1}\\\\ &=&\cfrac{-4\pm \sqrt{16+128}}{2}\\\\ &=&\cfrac{-4\pm 12}{2}\end{array}

 

Y obtenemos x_1=-8 y x_2=4

 

6 Comprobamos que son solución

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-8+4}{2(-8)}-\cfrac{15(-8)+3}{(-8)^3}&=&\cfrac{2(-8)-6}{2(-8)^3}\\\\ \cfrac{1}{4}-\cfrac{117}{512}&=&\cfrac{22}{1024}\\\\ \cfrac{11}{512}&=&\cfrac{11}{512}\end{array}

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{4+4}{2(4)}-\cfrac{15\cdot 4+3}{4^3}&=&\cfrac{2\cdot 4-6}{2\cdot 4^3}\\\\ 1-\cfrac{60+3}{64}&=&\cfrac{2}{128}\\\\ \cfrac{1}{64}&=&\cfrac{1}{64}\end{array}

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{0+4}{2\cdot 0}-\cfrac{15\cdot 0+3}{0^3}&=&\cfrac{2\cdot 0-6}{2\cdot 0^3}\end{array}

 

7 Como x_1=-8 y x_2=4 cumplen la igualdad, entonces decimos que son solución. Notamos que para x=0 los denominadores se anulan, por lo que x=0 no es solución.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗