Ejercicios propuestos

 

1 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

1 Tomamos los divisores del término independiente: \left \{ \pm 1,\pm 2,\pm 3 \right \}.

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

P(1)=2\cdot 1^{4}+1^{3}-8\cdot 1^{2}-1+6=2+1-8+6=0

 

3 Dividimos por Ruffini (División sintética).

 

\begin{matrix} & 2 & & 1 & & -8 & & -1 & & 6 & \\ 1 & & & 2 & & 3 & & -5 & & -6 & \\ \hline & 2 & & 3 & & -5 & & -6 & & 0 & \end{matrix}

 

4 Por ser la división exacta, D=d\cdot c.

 

(x-1)\cdot (2x^{3}+3x^{2}-5x-6)=0

 

Una raíz es x = 1

 

5 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

6 Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}+3\cdot 1^{2}-5x-6\neq 0

 

7 Probamos con x=-1.

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{3}+3\cdot (-1)^{2}-5\cdot (-1)-6=-2+3+5-6=0

 

\begin{matrix} & & 2 & & 3 & & -5 & & -6\\ -1 & & & & -2 & & -1 & & 6\\ \hline & & 2 & & 1 & & -6 & & 0 \end{matrix}

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (2x^{2}+x-6)=0

 

Otra raíz es x=-1

 

8 Como el tercer polinomio ya es de segundo grado, podemos factorizarlo:

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (2x-3)=0

 

Las soluciones son: x=1,x=-1,x=-2 y x=\cfrac{3}{2}

2 x^{4}+12x^{3}-64x^{2}=0

 

x^{4}+12x^{3}-64x^{2}=0

 

1 Sacamos factor común x^{2}

 

x^{2}(x^{2}+12x-64)=0

 

2 Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero

 

x^{2}=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x_{1}=0

 

3 Factorizamos el segundo polinomio, que es de segundo grado

 

x^{2}(x-4)(x+16)=0

 

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=4\; \; \; \; \; x_{3}=-16

3 2x^{3}-7x^{2}+8x-3=0

 

2x^{3}-7x^{2}+8x-3=0

 

1 Tomamos los divisores del término independiente: \left \{ \pm 1,\pm 3 \right \}.

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}-7\cdot 1^{2}+8\cdot 1-3=0

 

3 Dividimos por Ruffini

 

\begin{matrix} & & 2 & & -7 & & 8 & & -3\\ 1 & & & & 2 & & -5 & & 3\\ \hline & & 2 & & -5 & & 3 & & 0 \end{matrix}

 

4 Por ser la división exacta, D=d\cdot c

 

(x-1)\cdot (2x^{2}-5x+3)=0

 

5 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

 

P(1)=2\cdot 1^{2}-5\cdot 1+3=0

 

\begin{matrix} & & 2 & & -5 & & 3\\ 1 & & & & 2 & & -3\\ \hline & & 2 & & -3 & & 0 \end{matrix}

 

(x-1)^{2}\cdot (2x-3)=0

 

Las raíces son: x_{1}=\cfrac{3}{2} y x=1

4 x^{3}-x^{2}-4=0

 

x^{3}-x^{2}-4=0

 

1 Tomamos los divisores del término independiente: \left \{ \pm 1,\pm 2,\pm 4 \right \}

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

 

P(1)=1^{3}-1^{2}-4\neq 0

 

P(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}-4\neq 0

 

P(2)=2^{3}-2^{2}-4=8-4-4=0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

\begin{matrix} & & 1 & & -1 & & 0 & & -4\\ 2 & & & & 2 & & 2 & & 4\\ \hline & & 1 & & 1 & & 2 & & 0 \end{matrix}

 

4 Por ser la división exacta, D=d\cdot c

 

(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)=0

 

5 Descomponemos el segundo factor resolviendo la ecuación de segundo grado

 

x^{2}+x+2=0

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 2}}{2}=\cfrac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2}=\cfrac{-1\pm \sqrt{7}}{2}\; \not{\epsilon }\; \mathbb{R}

 

(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)=0

 

Como la ecuación no tiene solución solo hay una raíz: x=2.

 

5 6x^{3}+7x^{2}-9x+2=0

 

6x^{3}+7x^{2}-9x+2=0

 

1 Tomamos los divisores del término independiente: \left \{ \pm 1,\pm 2 \right \}

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

 

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0P(1)=6\cdot 1^{3}+7\cdot 1^{2}-9\cdot 1+2\neq 0

 

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0P(-1)=6\cdot (-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}-9\cdot (-1)+2\neq 0

 

P(2)=6\cdot 2^{3}+7\cdot 2^{2}-9\cdot 2+2\neq 0

 

P(-2)=6\cdot (-2)^{3}+7\cdot (-2)^{2}-9\cdot (-2)+2=-48+28+18+2=0

 

3 Dividimos por Ruffini

 

\begin{matrix} & & 6 & & 7 & & -9 & & 2\\ -2 & & & & -12 & & 10 & & -2\\ \hline & & 6 & & -5 & & 1 & & 0 \end{matrix}

 

4 Por ser la división exacta, D=d\cdot c

 

(x+2)\cdot (6x^{2}-5x+1)=0

 

5 Descomponemos el segundo factor resolviendo la ecuación de segundo grado

 

6x^{2}-5x+1=0

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{12}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{12}=\cfrac{5\pm 1}{12}

 

x_{1}=\cfrac{6}{12}=\cfrac{1}{2}                         x_{2}=\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}

 

(x+2)\cdot (2x-1)\cdot (3x-1)=0

 

Raíces: x_{1}=-2, x_{2}=\cfrac{1}{2} y x_{}=\cfrac{1}{3}

 

6 x^{3}+3x^{2}-4x-12=0

 

x^{3}+3x^{2}-4x-12=0

 

1 Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

 

P(1)=1^{3}+3\cdot 1^{2}-4\cdot 1-12\neq 0

 

P(-1)=(-1)^{3}+3\cdot (-1)^{2}-4\cdot (-1)-12\neq 0

 

P(2)=2^{3}+3\cdot 2^{2}-4\cdot 2-12=8+12-8-12=0

 

3 Dividimos por Ruffini.

4 Por ser la división exacta, D=d\cdot c.

 

(x-2)(x^{2}+5x+6)=0

 

5 Descomponemos el segundo factor resolviendo la ecuación de segundo grado

 

x^{2}+5x+6=0

 

x=\cfrac{-5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{2}=\cfrac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\cfrac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\cfrac{-5\pm 1}{2}

 

x_{1}=-\cfrac{4}{2}=-2                        x_{2}=-\cfrac{6}{2}=-3

 

(x-2)\cdot (x+2)\cdot (x+3)=0

 

Las soluciones son: x_{1}=2, x_{2}=-2 y x_{3}=-3.

 

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Marta

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Arguetq
Arguetq
Invité
18 Nov.

Hola, me gustaria saber como resolver algo como esto:

x^7 – x^2 – 28x – 64 = 0

¿Me pueden ayudar con ese problema? Lo agradecería infinitamente.

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
12 Jun.

Hola,
 
Desafortunadamente tu ecuación no se puede resolver por el método de división sintética, ya que los divisores del término independiente no satisfacen el teorema del resto; sin embargo, la ecuación x7 – x3 – 28x -64 = 0 si se puede resolver con los métodos trabajados en este artículo
 
Un saludo