Resuelve los siguientes ejercicios de ecuaciones irracionales:

1\sqrt{3x + 7} - x = 1

1 Aislamos el radical

 

\sqrt{3x + 7} = x + 1

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y obtenemos una ecuación de grado dos

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{3x + 7} \right)^2 & = & \left( x + 1 \right)^2 \\\\ 3x + 7 & = & x^2 + 2x + 1 \\\\ -x^2 + x + 6 & = & 0 \\\\ x^2 - x - 6 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación empleando factorizaciones

 

\begin{array}{rcl} x^2 - x - 6 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 2) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = -2 y x = 3

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = -2 se tiene

 

\sqrt{3(-2) + 7} - (-2) = 1 + 2 = 3 \neq 1, no cumple

 

Para x = 3 se tiene

 

\sqrt{3(3) + 7} - (3) = 4 - 3 = 1, si cumple

 

luego la solución de la ecuación irracional es x = 3

 

 

2\sqrt{6x + 1} - 2x = 1

1 Aislamos el radical

 

\sqrt{6x + 1} = 2x + 1

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y obtenemos una ecuación de grado dos

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{6x + 1} \right)^2 & = & \left( 2x + 1 \right)^2 \\\\ 6x + 1 & = & 4x^2 + 4x + 1 \\\\ -4x^2 + 2x & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación empleando factorizaciones

 

\begin{array}{rcl} -4x^2 + 2x & = & 0 \\\\ -2x(2x - 1) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = 0 y x = \cfrac{1}{2}

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = 0 se tiene

 

\sqrt{6(0) + 1} - 2(0) = 1, si cumple.

 

Para x = \cfrac{1}{2} se tiene

 

\sqrt{6 \left( \cfrac{1}{2} \right) + 1} - 2 \left( \cfrac{1}{2} \right) = 1, si cumple

 

luego las soluciones de la ecuación irracional son x = 0 y x = \cfrac{1}{2}

 

 

3\sqrt[3]{x^2 - x + 21} - 3 = 0

1 Aislamos el radical

 

\sqrt[3]{x^2 - x + 21} = 3

 

2 Elevamos al cubo los dos miembros y obtenemos una ecuación de grado dos

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt[3]{x^2 - x + 21} \right)^3 & = & \left( 3 \right)^3 \\\\ x^2 - x + 21 & = & 27 \\\\ x^2 - x - 6 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación empleando factorizaciones

 

\begin{array}{rcl} x^2 - x - 6 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 2) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = -2 y x = 3

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = -2 se tiene

 

\sqrt[3]{(-2)^2 - (-2) + 21} - 3 = 3 - 3 = 0, si cumple.

 

Para x = 3 se tiene

 

\sqrt[3]{3^2 - 3 + 21} - 3 = 3 - 3 = 0, si cumple

 

luego las soluciones de la ecuación irracional son x = -2 y x = 3

 

 

4\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 - 5x - 9} + 1 = x

1 Aislamos el radical

 

\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 - 5x - 9} + 1 = x

 

2 Elevamos al cubo los dos miembros y obtenemos una ecuación de grado uno

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 - 5x - 9} \right)^3 & = & \left( x - 1 \right)^3 \\\\ x^3 - 3x^2 - 5x - 9 & = & x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \\\\ -8x - 8 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{rcl} -8x -8 & = & 0 \\\\ x & = & -1 \end{array}

 

luego la raíz es x = -1

 

4 Comprobamos si la raíz obtenida satisface la ecuación irracional inicial

 

\sqrt[3]{(-1)^3 - 3(-1)^2 - 5(-1) - 9} + 1 = -2 + 1 = -1, si cumple.

 

luego la solución de la ecuación irracional es x = -1

 

 

5\sqrt{3x - 1} + \sqrt{3x + 1} = 2

1 Aislamos un radical

 

\sqrt{3x - 1} = 2 - \sqrt{3x + 1}

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y simplificamos los términos semejantes

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{3x - 1} \right)^2 & = & \left( 2 - \sqrt{3x + 1} \right)^2 \\\\ 3x - 1 & = & 4 - 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 1 \\\\ 4\sqrt{3x + 1} & = & 6 \end{array}

 

3 Nos queda nuevamente un radical el cual aislamos, elevamos al cuadrado los dos miembros y obtenemos la raiz

 

\begin{array}{rcl} \left( 4\sqrt{3x + 1} \right)^2 & = & (6)^2 \\\\ 16(3x + 1) & = & 36 \\\\ 48x + 16 & = & 36 \\\\ 48x & = & 20 \\\\ x & = & \cfrac{5}{12} \end{array}

 

luego la raiz es x = \cfrac{5}{12}

 

4 Comprobamos si la raiz obtenida satisface la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = \cfrac{5}{12} se tiene

 

\sqrt{3 \left( \cfrac{5}{12} \right) - 1} + \sqrt{3 \left( \cfrac{5}{12} \right) + 1} = \cfrac{1}{2} + \cfrac{3}{2} = 2, si cumple

 

luego la solución de la ecuación irracional es x = \cfrac{5}{12}

 

 

6\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{2}

1 Aislamos un radical

 

\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2} - \sqrt{x^2 + 1}

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y simplificamos los términos semejantes

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{x^2 - 1} \right)^2 & = & \left( \sqrt{2} - \sqrt{x^2 + 1} \right)^2 \\\\ x^2 - 1 & = & 2 - 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 + 1} + x^2 + 1 \\\\ 2 \sqrt{2}\sqrt{x^2 + 1} & = & 4 \end{array}

 

3 Nos queda nuevamente un radical el cual aislamos, elevamos al cuadrado los dos miembros y obtenemos la raiz

 

\begin{array}{rcl} \left( 2 \sqrt{2}\sqrt{x^2 + 1} \right)^2 & = & (4)^2 \\\\ 8(x^2 + 1) & = & 16 \\\\ 8x^2 + 8 & = & 16 \\\\ 8x^2 & = & 8 \\\\ 8(x^2 - 1) & = & 0 \\\\ 8(x - 1)(x + 1) & = & 0 \end{array}

 

luego las raices son x = \pm 1

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = 1 se tiene

 

\sqrt{ \left( 1 \right)^2 - 1} + \sqrt{\left( 1 \right)^2 + 1} = \sqrt{2}, si cumple

 

Para x = -1 se tiene

 

\sqrt{ \left( -1 \right)^2 - 1} + \sqrt{\left( -1 \right)^2 + 1} = \sqrt{2}, si cumple

 

luego las soluciones de la ecuación irracional son x = \pm 1

 

 

7\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = 2

1 Aislamos un radical

 

\sqrt{2x + 5} = 2 + \sqrt{x - 1}

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y simplificamos los términos semejantes

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{2x + 5} \right)^2 & = & \left( 2 + \sqrt{x - 1} \right)^2 \\\\ 2x + 5 & = & 4 + 4\sqrt{x - 1} + x - 1 \\\\ x + 2 & = & 4\sqrt{x - 1} \end{array}

 

3 Nos queda nuevamente un radical el cual aislamos, elevamos al cuadrado los dos miembros y obtenemos la raiz

 

\begin{array}{rcl} \left( x + 2\right)^2 & = & \left(4\sqrt{x - 1} \right)^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 & = & 16x - 16 \\\\ x^2 - 12x + 20 & = & 0 \\\\ (x - 2)(x - 10) & = & 0 \end{array}

 

luego las raices son x = 2 y x = 10

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial, aquellas que satisfacen serán soluciones mientras que aquellas que no satisfacen no serán soluciones

 

Para x = 2 se tiene

 

\sqrt{2(2) + 5} - \sqrt{(2) - 1} = 3 - 1 = 2, si cumple

 

Para x = 10 se tiene

 

\sqrt{2(10) + 5} - \sqrt{10 - 1} = 5 - 3 = 2, si cumple

 

luego las soluciones de la ecuación irracional son x = 2 y x = 10

 

 

8\sqrt{x + \sqrt{x}} = \sqrt{2x}

1 Elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{x + \sqrt{x}} \right)^2 & = & \left( \sqrt{2x} \right)^2 \\\\ x + \sqrt{x} & = & 2x \end{array}

 

2 Aislamos la raiz y elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl}\sqrt{x} & = & x \\\\ \left( \sqrt{x} \right)^2 & = & (x)^2 \\\\ x & = & x^2 \\\\ x - x^2 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{rcl} x -x^2 & = & 0 \\\\ x(1 - x) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = 0 y x = 1

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial

 

Para x = 0

 

\sqrt{0 + \sqrt{0}} = \sqrt{2(0)}, si cumple.

 

Para x = 1

 

\sqrt{1 + \sqrt{1}} = \sqrt{2} = \sqrt{2(1)}, si cumple.

 

luego las soluciones de la ecuación irracional son x = 0 y x = 1

 

 

9\sqrt{x + \sqrt{2x + 5}} = \sqrt{3x - 1}

1 Elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{x + \sqrt{2x + 5}} \right)^2 & = & \left( \sqrt{3x - 1} \right)^2 \\\\ x + \sqrt{2x + 5} & = & 3x - 1 \end{array}

 

2 Aislamos la raiz y elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl}\sqrt{2x + 5} & = & 2x - 1 \\\\ \left( \sqrt{2x + 5} \right)^2 & = & (2x - 1)^2 \\\\ 2x + 5 & = & 4x^2 - 4x + 1 \\\\ -4x^2 + 6x + 4 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{rcl} -4x^2 + 6x + 4 & = & 0 \\\\ -2(2x^2 - 3x - 2) & = & 0 \\\\ -2(2x + 1)(x - 2) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = 2 y x = -\cfrac{1}{2}

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial

 

Para x = 2

 

\sqrt{2 + \sqrt{2(2) + 5}} = \sqrt{5} = \sqrt{3(2) - 1}, si cumple.

 

Para x = -\cfrac{1}{2}

 

\sqrt{-\cfrac{1}{2} + \sqrt{2\left(-\cfrac{1}{2} \right) + 5}} = \sqrt{-\cfrac{3}{2}} \neq \sqrt{-\cfrac{5}{2}}, no cumple.

 

luego la solución de la ecuación irracional es x = 2

 

 

10\sqrt{x + \sqrt{x^2 - 4}} = \sqrt{x}

1 Elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 4}} \right)^2 & = & \left( \sqrt{x} \right)^2 \\\\ x + \sqrt{x^2 - 4} & = & x \\\\ \sqrt{x^2 - 4} & = & 0 \end{array}

 

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros

 

\begin{array}{rcl}\sqrt{x^2 - 4} & = & 0 \\\\ \left( \sqrt{x^2 - 4} \right)^2 & = & (0)^2 \\\\ x^2 - 4 & = & 0 \end{array}

 

3 Resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{rcl} x^2 - 4 & = & 0 \\\\ (x - 2)(x + 2) & = & 0 \end{array}

 

luego las raíces son x = 2 y x = -2

 

4 Comprobamos si las raíces obtenidas satisfacen la ecuación irracional inicial

 

Para x = 2

 

\sqrt{2 + \sqrt{(2)^2 - 4}} = \sqrt{2}, si cumple.

 

Para x = -2 no se tiene solución ya que \sqrt{-2} no existe en los números reales

 

luego la solución de la ecuación irracional es x = 2

 

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Gaspar

Comparto aquí mi gusto e interés por las matemáticas.