Resuelve los siguientes problemas:

1 Un reloj marca las 7 en punto. ¿A qué hora entre las 7 y las 8 se superpondrán las agujas?

 h  min s

Sea x el arco que describe la aguja horaria. Entonces, 35 + x es el arco que describe el minutero.

 

Representación de movimiento del reloj

 

Así, como el arco descrito por el minutero es siempre 12 veces mayor que el que describe la aguja horaria, tendremos que :

     \[ 35 + x = 12x \]

De donde se sigue que

     \[ 11x = 35 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{11}{35} \]

entonces

     \[ 12x = 38.18 \dots \]

es decir,

    \[ 38.18 = 38 min + 0.18 \cdot 60s = 38 min + 11s \]

Entonces, el minutero describe un arco de 38 min 11 s. Por tanto, la hora a la que se superpondrán las dos agujas son las 7 h 38 min 11 s.

2Un reloj marca las 9 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo de 180^{\circ}?

 h  min s

Representacion de manecilla de horaria y de minutero
 

Las agujas del reloj formarán un ángulo de 180^{\circ} un poco pasadas las 9h 15 min, por lo que la aguja horaria pasará un poco de las 9h y el minutero pasará "ese mismo poco" de las 3h.

Sea x el arco que describe la aguja horaria. Entonces, 15 + x es el arco que describe el minutero.

Así, puesto que el arco descrito por el minutero es siempre 12 veces mayor que el que describe la aguja horaria, tendremos que:

     \[ 15 + x = 12x \]

De donde se sigue que

     \[ 11x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15}{11}\]

por tanto

     \[ 12x = 12\frac{15}{11} = 16. 36 \dots \]

convirtiendo, tendremos que

     \[ 16.36 = 16 min + 0.36 \cdot 60s = 16 min + 22 s \]

Entonces, el minutero describe un arco de 16 min 22 s. Por tanto, la hora a la que las agujas forman 180^{\circ} son las 9 h 16 min 22 s

3 Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?

 h  min s

Representación del problema
 

Puesto que queremos que las agujas formen un ángulo recto, debemos tener una diferencia de 15 minutos entre las agujas.

Ahora bien, la aguja horaria se encuentra en el 2, entonces para que la diferencia entre las agujas sea de 15 minutos se debe tener que el minutero este pasando el 5 (ya que la aguja horaria tambien se moverá), es decir, las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, a ese poco más lo llamaremos x.

Sea x el arco que describe la aguja horaria y sea 25 + x el arco que describe el minutero, entonces de la regla tendremos que

    \begin{align*} 25 + x &= 12x \\ 11x &= 25 \\ x &= \frac{25}{11} = 2.27 min \end{align*}

Tenemos que x equivale a dos minutos completos y fracción, los 0.27min restantes los convertimos a segundos multiplicado por 60 y obtenemos 16 segundos.

Por lo tanto, las agujas se superpondrán 2 minutos y 21 segundo después de la 2 h 25 min: 2h 27 min 16 s

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗