Capítulos
- Encuentra la ecuación cuadrática
- Factorización
- Encontrar el valor de k
- Encuentra los valores que se te piden
- Ejercicio para calcular edades
- Cálculo de un terreno
- Triángulos proporcionales
- Calcula el área del jardín
- Criterio de semejanza en rectángulos
- Calcula el número que se te indica
- Estructura la ecuación cuadrática y calcula
- Calcular tiempo de llenado de una piscina
- Encuentra los valores que se te indican
- Cálculo de un volumen
- Llenando un depósito
Bienvenidos a nuestra sección dedicada a la resolución de Problemas de Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas representan un componente esencial de las matemáticas, y su comprensión y manejo son cruciales para abordar desafíos matemáticos complejos. En esta guía, le proporcionaremos una orientación paso a paso sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.
El proceso de resolver una ecuación cuadrática comienza al igualar una expresión polinómica de segundo órden a cero, seguido de la aplicación de métodos rigurosos como la factorización, la fórmula cuadrática o el método de completar el cuadrado para determinar las soluciones. A medida que avanzamos en este proceso, desvelamos las soluciones matemáticas inherentes a situaciones complejas.
Encuentra la ecuación cuadrática
Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
1Como conocemos las raíces de la ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo 
la suma de las raíces y 
el producto de las raíces
2Calculamos y
3La ecuación de segundo grado buscada es
Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 
y 
1Ahora, ambas raíces son positivas, por lo que consideramos la ecuación:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Calculamos 
y 
3La ecuación de segundo grado buscada es
Factorización
Factorizar 
1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
Las raíces son
2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:
3Así, la factorización buscada es
Factorizar 
1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:
3Así, la factorización buscada es
Encontrar el valor de k
Determinar 
de modo que en la ecuación 
las raíces sean iguales.
1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante 
tiene que ser igual a cero.Calculamos el discriminante
2Igualamos el resultado a cero
3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de 
que hacen que las raíces sean guales
Determinar de modo que en la ecuación 
las raíces sean iguales.
1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante 
tiene que ser igual a cero. Calculamos el discriminante
2Igualamos el resultado a cero
3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de que hacen que las raíces sean guales
Encuentra los valores que se te piden
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Sabemos que 
y 
, por lo que obtenemos
3Resolvemos la ecuación de segundo grado 
Las raíces son
Así, los números buscados son 
y 
La suma de dos números es -4 y su producto es -21. Halla dichos números.
1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Sabemos que 
y 
, por lo que obtenemos
3Resolvemos la ecuación de segundo grado 
Las raíces son
Así, los números buscados son y 
Ejercicio para calcular edades
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
1Designamos las variables para el ejercicio:
Edad actual 
Edad hace 13 años 
Edad dentro de 11 años 
2Escribimos la ecuación correspondiente:
3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación
4Resolvemos la ecuación
Las raíces son
no es una solución válida porque entonces ¿qué edad tendría hace 13 años?
Así, la edad actual es 
años
Dentro de 9 años, la edad de Ana será igual a un cuarto del cuadrado de la edad que tenía hace 15 años. ¿Cuál es la edad actual de Ana?
1Designamos las variables para el ejercicio:
Edad actual 
Edad hace 15 años 
Edad dentro de 9 años 
2Escribimos la ecuación correspondiente:
3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación
4Resolvemos la ecuación
Las raíces son
La edad 
en este contexto no tiene sentido, ya que estamos hablando de una persona que existió al menos 15 años. Entonces, Ana tiene 27 años.
Cálculo de un terreno
Para vallar una finca rectangular de 
se han utilizado 
de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
1Representamos el terreno
donde
Semiperímetro 
Base
Altura 
2El área es igual a base por altura
3Quitamos paréntesis y hallamos las raíces
y 
Así, las dimensiones de la finca son:
base 
y altura 
base y altura
Para vallar una finca rectangular de 
, se han utilizado 
de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
1Representamos el terreno
Semiperímetro 
Base
Altura 
2El área es igual a base por altura
3Desarrollamos el producto y obtenemos la ecuación
Entonces, usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces:
Entonces, las raíces son
Así, las dimensiones de la finca son:
base 
y altura 
, o, de manera equivalente,
base 
y altura
Triángulos proporcionales
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 
y 
. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 
.
1Representamos los datos proporcionados
Primer lado 
(base)
Segundo lado 
(altura)
Tercer lado 
2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo
3Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación
no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa. Así las soluciones son:
Primer lado 
Segundo lado 
Tercer lado 
Dos lados de un triángulo isósceles son proporcionales a 10, y el lado restante a 12. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 
1Representamos los datos proporcionados
Lados iguales: 
Lado distinto: 
(base)
Para obtener una fórmula con respecto a del área del triángulo, primero debemos encontrar la altura 
. Por el Teorema de Pitágoras,
Entonces, 
.
2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo
3Despejamos para :
Como no podemos tener lados de longitud negativa, la respuesta correcta es 
. Es decir, nuestro triángulo tiene base 
y lados 
.
Calcula el área del jardín
Un jardín rectangular de 
de largo por 
de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 
.
1Representamos los datos proporcionados
Llamaremos a la anchura del camino
2
será igual al área total del conjunto menos el área del jardín
3Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los dos miembros
Así, la anchura del camino es 
.
no es una solución porque las distancias han de ser positivas.
Una zanja tiene de 
de ancho y 
de largo. Si queremos agregar césped alrededor de la zanja, y que tenga un área total de de 
, ¿cuán ancho debe ser este márgen de césped?
1Representamos los datos proporcionados
Sea la anchura del márgen de pasto.
2
será igual al área total del conjunto sin la zanja:
3Expandimos el producto de polinomios y simplificamos la expresión:
Las raíces son entonces
y 
. Como estamos tratando con distancias (parámetro positivo), solamente la primera solución tiene sentido. Entonces, necesitamos un márgen de de pasto.Criterio de semejanza en rectángulos
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 
, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 
y 
respectivamente.
1Los lados tienen en común el 12, por lo que empleando la semejanza se tiene
Base 
Altura 
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
3Resolvemos la última ecuación y obtenemos 
. Así, las dimensiones del rectángulo solicitado son:
Base 
Altura 
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 
, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 
y 
respectivamente.
1Los lados tienen en común el 5, por lo que empleando la semejanza se tiene
Base 
Altura 
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
Es decir, la base mide 
y la altura 
Calcula el número que se te indica
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 
.
1Consideramos
Número:
Inverso del número: 
2Realizamos la suma indicada
3Resolvemos la ecuación racional
Las soluciones de la ecuación son 
y 
El número pedido es , pues 
no es solución porque no es un número entero.
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .
1Consideramos
Número:
Inverso del número: 
2Realizamos la suma indicada
3Resolvemos la ecuación racional
Las soluciones de la ecuación son 
y 
. Sin embargo, sustituir en la expresión inicial no expresa lo que necesitamos. Por lo tanto, la respuesta es .
Estructura la ecuación cuadrática y calcula
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
1Consideramos
Primer número
Segundo número 
Expresamos la suma de los cuadrados
2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2
3Las soluciones de la ecuación son 
y 
Primer número
segundo número
no es solución a nuestro problema porque no es un número natural
Dos números naturales se diferencian en cinco unidades y la suma de sus cuadrados es 277. ¿Cuáles son esos números?
1Sea el primer número y 
el segundo. Expresamos su suma de cuadrados como
2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación:
3Las soluciones de la ecuación son 
y 
. Como -14 no es un número natural, tomamos . Entonces, 9 y 14 son los números requeridos.
Calcular tiempo de llenado de una piscina
Dos caños 
y 
llenan juntos una piscina en dos horas, lo hace por sí solo en tres horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?
1Consideramos
Tiempo de 
Tiempo de 
2En una hora ocurre lo siguiente:
También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina
3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son
y , pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.4Comprobamos que es una solución:
Al cabo de una hora, ocurre que:
Al cabo de 2 horas:
Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado
La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas. Así, el tiempo solicitado es:
Tiempo de 
Tiempo de 
Dos caños y llenan juntos una piscina en seis horas, lo hace por sí solo en cinco horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?
1Sea 
el tiempo (en horas) que tarda en llenar la piscina. Entonces, tarda 
en llenar la piscina. En otras palabras, el grifo vierte 
de la capacidad total de la piscina por hora. Similarmnte, el grifo vierte 
de la capacidad total de la piscina por hora. También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan un quinto de la piscina:
Tenemos una ecuación racional; por lo que la simplificamos para deshacernos de los denominadores:
Así, las posibles soluciones son
y 
, pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.4Comprobamos que es una solución al problema. Es decir, debe ocurrir que en 6 horas, los grifos llenan la piscina:
Encuentra los valores que se te indican
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
1Representamos los datos proporcionados
Primer cateto 
Segundo cateto 
Hipotenusa 
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4
4Las soluciones de la ecuación son 
y 
. Así, las medidas solicitadas corresponden a
Primer cateto 
Segundo cateto 
Hipotenusa 
No consideramos 
porque las distancias son positivas
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros de tres números múltiplos de 5, consecutivos (por ejemplo, 
). Halla los valores de dichos lados.
1Representamos los datos proporcionados
Recordemos que un múltiplo de 5 puede ser escrito como 
, donde representa un número entero. Entonces, nuestro triángulo tiene las siguientes medidas:
Primer cateto
Segundo cateto 
Hipotenusa 
2Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo todo por 25
4Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas corresponden a
Primer cateto 
Segundo cateto 
Hipotenusa 
No consideramos porque las distancias son positivas
Cálculo de un volumen
Una pieza rectangular es 
más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 
cortando un cuadrado de 
de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
1Representamos los datos proporcionados
Ancho:
Largo: 
Alto:
2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es: 
(x − 12) · (x −8) = 140
3Resolvemos la ecuación anterior
Las soluciones de la ecuación son
y 
. Así, las medidas solicitadas sonAncho: 
Largo: 
La solución la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa
Una pieza rectangular es 
más corta que ancha. Con ella se construye una caja de 
cortando un cuadrado de 
de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
1Representamos los datos proporcionados
Ancho:
Largo: 
Alto:
2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es:
3Resolvemos la ecuación anterior
Las soluciones de la ecuación son
y 
. Así, las medidas solicitadas sonAncho: 
Largo:
La solución 
la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa
Llenando un depósito
Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
1Consideramos
Tiempo del primero:
Tiempo del segundo: 
2En una hora ocurre lo siguiente:
También sabemos que en una hora y 20 minutos, esto es en 
de hora los 2 caños juntos llenan un depósito
3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son
y 
, pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.4Así, los tiempos empleados son:
Tiempo del primero 
Tiempo del segundo 
Un caño tarda cinco horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 3 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
1Sea el tiempo que tarda el primer caño en llenar el depósito. Entonces, el segundo tarda 
. En una hora, el primer caño llena 
de la cantidad máxima del depósito, mientras que el segundo llena 
.
También sabemos que en tres hora y 20 minutos, ese decir,
de hora, los 2 caños juntos llenan el depósito por completo. 3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver, primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son
y 
, pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.4Así, los tiempos empleados son:
Tiempo del primero 
Tiempo del segundo 
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
2x+y-z=-1
X-2y+z=5
3x-y-2z=0
Me encuentro realizando los ejercicios de la pagina con mi hija a la cual le estoy explicando los metodos de resolucion geometricos y me encuentro con que dos de los ejercicios se los han calificado mal, las respuestas que tenemos son las misma ella y yo pues siguio los metodos paso a paso, pero nos encontramos con que el primer ejercicio califica la respuesta al reves y el segundo se la califica mal por no redondear el decimal… el segundo punto podria ser mas comprensible, pero el primero trajo a mi niña trantando de entender por que estaba mal durante 15 minutos hasta que vio que se le evaluava con los resultados cambiados, si el orden de los resultados importa para calificarlos, sean mas claros con donde los quieres pues el problema dice que el largo de un area es el triple del ancho del otro lado, en el largo pusimos la respuesta que es 3X = 131.25 y en ancho pusimos x que es 43.75, pues la pagina lo reviso como erroneo punoniendo que las cajas o las etiquetas del archivo html estan mal asignadas
Una disculpa ya se corrigió.
Y con a>1?
Hola podrías hacernos el favor de dar mas información como el número de ejercicio para poder resolver tu duda.
2x+y-z=-1
X-2y+z=5
3x-y-2z=0
Ecuaciones metodo Guss jordan
no entiendo deberían explicar un poco mas detallado
Hola, entendemos tu punto, pero para lograrlo podrías mencionar mas específicamente donde no entendiste y con gusto te ayudamos.