Dada una ecuación de segundo grado completa:

 

ax^2 + bx + c = 0

 

Se puede descomponer en factores como sigue:

 

a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0

 

Ejemplo: Descomponer en factores la ecuación x^2 - 5x + 6 = 0

 

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 1}{2} \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{5 + 1}{2} = 3

 

x_2 = \cfrac{5 - 1}{2} = 2

 

2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

 

a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (x - 3)(x - 2) = 0

 

3Así, la factorización buscada es

 

x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) = 0

 

Ejemplo: Descomponer en factores la ecuación x^2 + 4x + 4 = 0

 

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm 0}{2} \end{array}

 

Las raíces son

 

x_1 = \cfrac{-4 + 0}{2} = -2

 

x_2 = \cfrac{-4 - 0}{2} = -2

 

Observamos que tenemos una raíz doble

 

2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

 

a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (x + 2)(x + 2) = 0

 

3Así, la factorización buscada es

 

x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0

 

Ejemplo: Descomponer en factores la ecuación x^2 + x + 1 = 0

 

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \end{array}

 

Como \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}, concluimos que este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗