Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss:

1 \left \{ \begin{array}{rcr} x + y - z & = & 1, \\ 2x + z & = & 3, \\ y - z  & = & 5, \end{array} \right.

 

x = ; y = ; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2}} por {f_{2} - 2f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 1  \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_3} por {2f_{3} +  f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 1  \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 1  \\ 0 & 0 & 1 & 11 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y - z = 1 \\ -2y + 3z = 1 \\ z = 11 \end{array} \right.

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -2y + 3z & = & 1 \\ -2y + 33 & = & 1 \\ -2y & = & -32 \\ y & = & 16 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ x + 16 - 11 & = & 1 \\ x & = & -4 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = -4, \ \ y = 16, \ \ z = 11

2 \left \{ \begin{array}{rcr} 3x - y & = & -1, \\ 5x - 3z & = & 0, \\ y - z & = & 1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2}} por {3f_{2} - 5f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & -1 \\ 5 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & -9 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {\cfrac{1}{4}(5f_{3} - f_2) }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & -9 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & -9 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 3x - y = -1 \\ 5y - 9z = 5 \\ z = 0 \end{array} \right.

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 5y - 9z & = & 5 \\ 5y - 0 & = & 5 \\ 5y & = & 5 \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 3x - y & = & -1 \\ 3x - 1 & = & -1 \\ 3x & = & 0 \\ x & = & 0 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 0, \ \ y = 1, \ \ z = 0

3 \left \{ \begin{array}{rcr} 2x - 3y + z & = & 0, \\ x + y - z & = & 0, \\ x - y + z & = & 1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {2f_{2} - f_1} y {2f_{3} - f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {5f_{3} - f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 10 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 2x - 3y + z = 0 \\ 5y - 3z = 0 \\  8z = 10 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 8z & = & 10 \\ z & = & \cfrac{5}{4} \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 5y - 3z & = & 0 \\ 5y - \cfrac{15}{4} & = & 0 \\ 5y & = & \cfrac{15}{4} \\ y & = & \cfrac{3}{4} \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 2x - 3y + z & = & 0 \\ 2x - 1 & = & 0 \\ 2x & = & 1 \\ x & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = \cfrac{1}{2}, \ \ y = \cfrac{3}{4}, \ \ z = \cfrac{5}{4}

4 \left \{ \begin{array}{rcr} 2x - 3y - z & = & 0, \\ x - y - z & = & 0, \\ x + y + z & = & 1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {2f_{2} - f_1} y {2f_{3} - f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {f_{3} - 5f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 2 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 2x - 3y - z = 0 \\ y - z = 0 \\  8z = 2 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 8z & = & 2 \\ z & = & \cfrac{1}{4} \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} y - z & = & 0 \\ y - \cfrac{1}{4} & = & 0 \\ y & = & \cfrac{1}{4} \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 2x - 3y - z & = & 0 \\ 2x - 1 & = & 0 \\ 2x & = & 1 \\ x & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = \cfrac{1}{2}, \ \ y = \cfrac{1}{4}, \ \ z = \cfrac{1}{4}

5 \left \{ \begin{array}{rcr} -5x - y - 2z & = & 3, \\ 2x + 5y + 3z & = & -4, \\ 3x + z & = & -1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {5f_{2} + 2f_1} y {5f_{3} + 3f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 & -4 \\ 3 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} -5 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 23 & 11 & -14 \\ 0 & -3 & -1 & 4 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {23f_{3} + 3f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} -5 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 23 & 11 & -14 \\ 0 & -3 & -1 & 4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} -5 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 23 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 10 & 50 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} -5x - y - 2z = 3 \\ 23y + 11z = -14 \\  10z = 50 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 10z & = & 50 \\ z & = & 5 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 23y + 11z & = & -14 \\ 23y + 55 & = & -14 \\ 23y & = & -69  \\ y & = & -3 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -5x - y - 2z & = & 3 \\ -5x - 7 & = & 3 \\ -5x & = & 10 \\ x & = & -2 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = -2, \ \ y = -3, \ \ z = 5

6 \left \{ \begin{array}{rcr} 7x - 2y + 5z & = & -18, \\ 3x + y + 2z & = & 11, \\ 2y + 10z & = & 10, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2}} por {7f_{2} - 3f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 7 & -2 & 5 & -18 \\ 3 & 1 & 2 & 11 \\ 0 & 2 & 10 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 7 & -2 & 5 & -18 \\ 0 & 13 & -1 & 131 \\ 0 & 2 & 10 & 10 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {13f_{3} - 2f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 7 & -2 & 5 & -18 \\ 0 & 13 & -1 & 131 \\ 0 & 2 & 10 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 7 & -2 & 5 & -18 \\ 0 & 13 & -1 & 131 \\ 0 & 0 & 132 & -132 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 7x - 2y + 5z = -18 \\ 13y - z = 131 \\  132z = -132 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 132z & = & -132 \\ z & = & -1 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 13y - z & = & 131 \\ 13y + 1 & = & 131 \\ 13y & = & 130  \\ y & = & 10 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 7x - 2y + 5z & = & -18 \\ 7x - 25 & = & -18 \\ 7x & = & 7 \\ x & = & 1 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 1, \ \ y = 10, \ \ z = -1

7 \left \{ \begin{array}{rcr} \cfrac{3x}{10} - 5y + \cfrac{2z}{25} & = & 1, \\\\ x + y & = & 2, \\\\ y + z & = & 5, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_1} por {50f_{1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{3}{10} & -5 & \cfrac{2}{25} & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 15 & -250 & 4 & 50 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_2} por {15f_{2} - f_1 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 15 & -250 & 4 & 50 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 15 & -250 & 4 & 50 \\ 0 & 265 & -4 & -20 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {265f_{3} - f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 15 & -250 & 4 & 50 \\ 0 & 265 & -4 & -20 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 15 & -250 & 4 & 50 \\ 0 & 265 & -4 & -20 \\ 0 & 0 & 269 & 1345 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 15x - 250y + 4z = 50 \\ 265y - 4z = -20 \\  269z = 1345 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 269z & = & 1345 \\ z & = & 5 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 265y - 4z & = & -20 \\ 265y - 20 & = & -20 \\ 265y & = & 0  \\ y & = & 0 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 15x - 250y + 4z & = & 50 \\ 15x + 20 & = & 50 \\ 15x & = & 30 \\ x & = & 2 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 2, \ \ y = 0, \ \ z = 5

8 \left \{ \begin{array}{rcr} \cfrac{x}{2} + \cfrac{2y}{3} + \cfrac{z}{6} & = & 1, \\\\ \cfrac{2x}{3} - \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{6} & = & 0, \\\\ 2x - 3z & = & 5, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas f_1, f_2 por 6f_{1}, 6f_2 respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{1}{2} & \cfrac{2}{3} & \cfrac{1}{6} & 1 \\ \cfrac{2}{3} & -\cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{6} & 0 \\ 2 & 0 & -3 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -3 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas f_2, f_3 por {3f_{2} - 4f_1, 3f_3 - 2f_1 } respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -3 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 6 \\ 0 & -25 & -1 & -24 \\ 0 & -8 & -11 & 3 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {25f_{3} - 8f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 6 \\ 0 & -25 & -1 & -24 \\ 0 & -8 & -11 & 3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 6 \\ 0 & -25 & -1 & -24 \\ 0 & 0 & -267 & 267 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 3x + 4y + z = 6 \\ -25y - z = -24 \\  -267z = 267 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} -267z & = & 267 \\ z & = & -1 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -25y - z & = & -24 \\ -25y + 1 & = & -24 \\ -25y & = & -25  \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 3x + 4y + z & = & 6 \\ 3x + 3 & = & 6 \\ 3x & = & 3 \\ x & = & 1 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 1, \ \ y = 1, \ \ z = -1

9 \left \{ \begin{array}{rcr} \cfrac{3x}{2} - \cfrac{2y}{3} & = & \cfrac{5}{6}, \\\\ x - \cfrac{2z}{3} & = & 1, \\\\ y + \cfrac{3z}{2} & = & 1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas f_1, f_2, f_3 por 6f_{1}, 3f_2, 2f_3 respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{3}{2} & -\cfrac{2}{3} & 0 & \cfrac{5}{6} \\ 1 & 0 & -\cfrac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \cfrac{3}{2} & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 9 & -4 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila f_2 por {3f_{2} - f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 9 & -4 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 9 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & -6 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {2f_{3} - f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 9 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & -6 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 9 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & 12 & 0 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 9x - 4y = 5 \\ 4y - 6z = 4 \\  12z = 0 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} 12z & = & 0 \\ z & = & 0 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 4y - 6z & = & 4 \\ 4y & = & 4 \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 9x - 4y & = & 5 \\ 9x - 4 & = & 5 \\ 9x & = & 9 \\ x & = & 1 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 1, \ \ y = 1, \ \ z = 0

10 \left \{ \begin{array}{rcr} \cfrac{2x}{3} - \cfrac{y}{6} - \cfrac{z}{6} & = & 0, \\\\ \cfrac{3x}{2} + \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{2} & = & 0, \\\\ \cfrac{5x}{6} + \cfrac{5y}{6} - \cfrac{z}{6} & = & 1, \end{array} \right.

 

x =; y =; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas f_1, f_2, f_3 por 6f_{1}, 2f_2, 6f_3 respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{2}{3} & -\cfrac{1}{6} & -\cfrac{1}{6} & 0 \\ \cfrac{3}{2} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{2} & 0 \\ \cfrac{5}{6} & \cfrac{5}{6} & -\cfrac{1}{6} & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 5 & -1 & 6 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas f_2, f_3 por {4f_{2} - 3f_1, 4f_3 - 5f_1} respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 5 & -1 & 6 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 7 & 0 \\ 0 & 25 & 1 & 24 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por {7f_{3} - 25f_2 }

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 7 & 0 \\ 0 & 25 & 1 & 24 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -168 & 168 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} 4x - y - z = 0 \\ 7y + 7z = 0 \\  -168z = 168 \end{array} \right.

 

luego

 

\begin{array}{rcl} -168z & = & 168 \\ z & = & -1 \end{array}

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 7y + 7z & = & 0 \\ 7y - 7 & = & 0 \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} 4x - y - z & = & 0 \\ 4x & = & 0 \\ x & = & 0 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 0, \ \ y = 1, \ \ z = -1

11 \left \{ \begin{array}{rcr} x + y + z & = & 1, \\ x - y + z & = & -3, \\ x + y + 2z  & = & 0, \end{array} \right.

 

x = ; y = ; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {f_{2} - f_1}, f_3 - f_1 respectivamente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -9 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ -2y = -10 \\ z = -1 \end{array} \right.

 

3De la segunda ecuación se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -2y & = & -10 \\ y & = & 5 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x + 4 & = & 1 \\ x & = & -3 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = -3, \ \ y = 5, \ \ z = -1

12 \left \{ \begin{array}{rcr} x + y + z & = & 0, \\ x - y + z & = & 0, \\ y - z  & = & 5, \end{array} \right.

 

x = ; y = ; z =

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2} por {f_{2} - f_1}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_{3} por {2f_{3} + f_2}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 10 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ -2y = 0 \\ -2z = 10 \end{array} \right.

 

3De la tercera ecuación se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -2z & = & 10 \\ z & = & -5 \end{array}

 

De la segunda ecuación se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -2y & = & 0 \\ y & = & 0 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 0 \\ x - 5 & = & 0 \\ x & = & 5 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 5, \ \ y = 0, \ \ z = -5

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗