Problemas de móviles

 

Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:

 

espacio = velocidad × tiempo

 

{e=v \cdot t}

 

Podemos encontrarnos con tres casos de problemas de móviles:

 

Ejercicio de moviles que van en sentido contrario

 

{e_{AC} + e_{CB} = e_{AB}}

 

El espacio recorrido por el primero hasta el punto de encuentro más el espacio que ha recorrido el segundo es igual a la distancia que los separa

 

Ejemplo:

 

Dos ciudades {A} y {B} distan {300 \, km} entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad {A} un coche hacia la ciudad {B} con una velocidad de {90 \, km/h}, y de la ciudad {B} parte otro hacia la ciudad {A} con una velocidad de {60 \, km/h}. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse; la hora del encuentro; la distancia recorrida por cada uno.

 

El tiempo que tardarán en encontrarse

 

1 Conocemos para cada coche la velocidad. Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

 

{e_{AC}= 90 t,}

 

{e_{CB}=60 t}

 

2 Sabemos que el espacio recorrido por el primer coche más el espacio recorrido por el segundo es igual a {300 \, km}

 

{\begin{array}{rcl}  e_{AC} + e_{CB} & = & 300 \\ && \\  90t + 60t & = & 300  \end{array}}

 

3 Resolvemos la ecuación anterior

 

{  \begin{array}{rcl}  90t + 60t & = & 300 \\ & & \\  150t & = & 300 \\  & \\  t & = & \displaystyle\frac{300}{150} \\ & & \\  t & = & 2  \end{array}}

 

Los autos tardarán 2 horas en encontrarse.

 

La hora del encuentro

 

Se encontrarán a las 11 de la mañana porque parten a las 9 de la mañana y transcurren dos horas hasta el encuentro.

 

La distancia recorrida por cada coche

 

Para encontrar la distancia recorrida por cada coche, sustituimos el tiempo {t=2 \, h} en la fórmula de espacio recorrido

 

{e_{AB} = (90)(2)}= 180

 

{e_{BC} = (60)(2)}= 120

 

De esta forma tenemos que el primer coche recorre {180 \, km} y el segundo coche recorre {120 \, km.}

 

2. Los móviles van en el mismo sentido

 

Ejercicio de moviles que van en la misma direccion

 

El espacio recorrido por el primer vehículo menos el espacio recorrido por el 2º vehículo es igual a la distancia que los separa

 

{e_{AC}-e_{BC} = e_{AB}}

 

Ejemplo:

 

Dos ciudades {A} y {B} distan {180\, km} entre sí. A las 9 de la mañana sale un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de {A} circula a {90 \, km/h}, y el que sale de {B} va a {60 \, km/h}. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse; la hora del encuentro; la distancia recorrida por cada uno.

 

El tiempo que tardarán en encontrarse

 

1 Conocemos para cada coche la velocidad. Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

 

{e_{AC}= 90 t,}

 

{e_{CB}=60 t}

 

2 Sabemos que el espacio recorrido por el primer coche menos el espacio recorrido por el segundo es igual a {180 \, km}

 

{\begin{array}{rcl}  e_{AC} - e_{CB} & = & 180 \\ && \\  90t - 60t & = & 180  \end{array}}

 

3 Resolvemos la ecuación anterior

 

{  \begin{array}{rcl}  90t - 60t & = & 180 \\ & & \\  30t & = & 180 \\  & \\  t & = & \displaystyle\frac{180}{30} \\ & & \\  t & = & 6  \end{array}}

 

Los autos tardarán 6 horas en encontrarse.

 

La hora del encuentro

 

Se encontraran a las 3 de la tarde porque parten a las 9 de la mañana y transcurren seis horas hasta el encuentro.

 

La distancia recorrida por cada coche

 

Para encontrar la distancia recorrida por cada coche, sustituimos el tiempo {t=6 \, h} en la fórmula de espacio recorrido: {e_{AB} = (90)(6)}= 540, {e_{BC} = (60)(6)}= 360. De esta forma tenemos que el primer coche recorre {540 \, km} y el segundo coche recorre {360 \, km.}

 

3. Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido

 

{e_{1}=e_{2}} 

 

El espacio recorrido por el primer vehículo es igual al espacio recorrido por el segundo.

 

Ejemplo:

 

Un coche sale de la ciudad {A} con velocidad de {90, km/h}. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de {120 \, km/h}. Hallar el tiempo que tardará el segundo coche en alcanzar al primero; la distancia a la que se produce el encuentro.

 

El tiempo que tardará el segundo coche en alcanzar al primero.

 

1 Si el tiempo empleado por el primer coche es {t}, el del segundo que sale tres horas más tarde será {t-3}.

Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

 

{e_{1}= 90 t,}

 

{e_{2}=120(t-3)}

 

2 Sabemos que el espacio recorrido por ambos coches es el mismo

 

{\begin{array}{rcl}  e_{1}  & = & e_{2} \\ && \\  90t & = & 120(t-3)  \end{array}}

 

3 Resolvemos la ecuación anterior

 

{  \begin{array}{rcl}  90t  & = & 120(t-3) \\ & & \\  -30t & = & -360 \\  & \\  t & = & \displaystyle\frac{-360}{-30} \\ & & \\  t & = & 12  \end{array}}

 

El primer coche tarda {12 \, h}.

 

El segundo coche tarda {(12-3) = 9 \, h}.

 

La distancia a la que se produce el encuentro.

 

Calculamos el espacio recorrido por uno de los dos coches

 

{e_{1} = 90 \cdot 12 = 1080 \, km.}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗