Ejercicios

 

1\displaystyle \frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0

 

1 Calcular el m.c.m. de los denominadores

Reducimos a común denominador, para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores

x^2-x=x(x-1)

\text{mcm}(x^2-x,x-1)=x(x-1)

2 Obtener expresión no racional equivalente

Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente y de ese procedimiento obtenemos la siguiente expresión:

1-x=0 \hspace{.5cm}\Rghtarrow\hspace{.5cm} x=1

3 Comprobación de la solución

Sustituimos la solución obtenida para verificar que la ecuación se cumpla

\displaystyle \frac{1}{1-1}-\frac{1}{1-1}=0 \hspace{1cm} \frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

 

2 \displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x^2-4}

 

1 Calcular el m.c.m. de los denominadores

Reducimos a común denominador, para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores

x^2-4=(x-2)\cdot(x+2)

\text{mcm}(x-2,x+2,x^2-4)=(x-2)\cdot(x+2)

2 Obtener expresión no racional equivalente

Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

\displaystyle x+2+x-2=1 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} 2x=1 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} x=\frac{1}{2}

3 Comprobación de la solución

\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2}-2}+\frac{1}{\frac{1}{2}+2}=\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right )^2-4}

\displaystyle \frac{1}{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{\frac{-15}{4}}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} -\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=-\frac{4}{15}\hspace{.5cm}\Rightarrow\hspace{.5cm}-\frac{4}{15}=-\frac{4}{15}

 

La solución es: x=\frac{1}{2}

 

3 \displaystyle \frac{3}{x}=1+\frac{x-13}{6}

 

1 Calcular el m.c.m. de los denominadores

Reducimos a común denominador, para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores

\text{mcm}(x,6)=6x

2 Obtener expresión no racional equivalente

Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

18=6x+x(x-13)

18=6x+x^2-13x

x^2-7x-18=0

Recurrimos a la fórmula general para obtener las soluciones de esta cuadrática

\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{49+72}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{7\pm 11}{2}

\displaystyle x_1=\frac{18}{2}=9

\displaystyle x_2=\frac{-4}{2}=-2

3 Comprobación de la solución

\displaystyle \frac{3}{9}=1+\frac{9-13}{6} \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{3}{9}=\frac{6-4}{6}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{3}{9}=\frac{2}{6} \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}

\displaystyle \frac{3}{-2}=1+\frac{-2-13}{6} \hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm} \frac{3}{-2}=\frac{6-15}{6}\hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm}\frac{3}{-2}=\frac{-9}{6} \hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm}-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}

 

Superprof

Problemas

4 Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es \displaystyle \frac{26}{5}

 

1 Formulación de la ecuación

Número: x

Inverso del número: \displaystyle \frac{1}{x}

Suma de un número y su inverso: \displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5}

2 Eliminar denominadores

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

\displaystyle \text{mcm}(5,x)=5x

5x^2+5=26x \hspace{1cm}5x^2-26x+5=0

3 Resuelve

\displaystyle x=\frac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}=\frac{26\pm\sqrt{576}}{10}=\frac{26\pm 24}{10}

x_1=5

\displaystyle x_2=\frac{1}{5}\not \in \mathbb{Z}

4 Comprobación

El número pedido es 5, pero como es una ecuación racional vamos a comprobarlo:

\displaystyle 5+\frac{1}{5}=\frac{26}{5}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{25+1}{5} =\frac{26}{5}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{26}{5}=\frac{26}{5}

\displaystyle \frac{1}{5} no es solución porque no es un número entero

 

5 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

 

1 Formulación de la ecuación

Tiempo que tarda A \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} x

Tiempo que tarda B \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} x+3

Tiempo que tarda A y B juntos \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 2

Velocidad en la que llena A \displaystyle \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{x}

Velocidad en la que llena B \displaystyle \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{x+3}

Velocidad en la que llena A y B \displaystyle \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{2}

Como el caño A y el caño B llenan la piscina juntos en dos horas, la velocidad de llenado de cada uno se suma y obtenemos:

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}

2 Eliminar denominadores

Tenemos una ecuación racional, tenemos que quitar denominadores

\text{mcm}(2,x,x+3)=2x(x+3)

2x+6+2x=x^2+3x \hspace{1cm} x^2-x-6=0

3 Resuelve

x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}

x_1=3

x_2=-2\not \in \mathbb{N}

4 Comprobación

Comprobamos que 3 es una solución:

\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{3+3}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{2+1}{6}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

 

6 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

 

1 Formulación de la ecuación

Pasamos el tiempo a una fracción de hora

1 hora y 20 minutos = 4/3 horas

 

Tiempo del 1º x

Tiempo del 2º x − 2

Tiempo de ambos \displaystyle \frac{4}{3}

 

Velocidad del 1º \displaystyle \frac{1}{x}

Velocidad del 2º \displaystyle \frac{1}{x-2}

Velocidad de ambos \displaystyle \frac{1}{\frac{4}{3}}

Como los caños llenan la piscina juntos en \displaystyle \frac{4}{3}hr., la velocidad de llenado de cada uno se suma y obtenemos:

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{\frac{4}{3}}

Hacemos el inverso en el segundo miembro

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{3}

2 Eliminamos denominadores

Quitamos denominadores, el m.c.m. es: 4x(x − 2)

3x^2-14x+8=0

3 Resuelve

\displaystyle x=\frac{14\pm\sqrt{196-96}}{6}=\frac{14\pm 10}{6}

x_1=4

\displaystyle x_2=\frac{2}{3}

 

Tiempo del primer: 4 horas

Tiempo de segundo 2 horas

 

Notamos que \displaystyle \frac{2}{3} no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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de la rosa
de la rosa
Invité
28 Nov.

Increible pagina muchisimas gracias

yuyi
yuyi
Invité
28 May.

muy buena pero me gustaria mas resueltos 🙂 es solo un decir

jloka
jloka
Invité
28 May.

si seria bueno

de la rosa
de la rosa
Invité
28 May.

holaaa