Seleccione la opción correcta en cada pregunta y resolver las ecuaciones bicuadradas correspondientes

1 Una ecuación bicuadrada...

2Una ecuación del tipo ax^{10} - bx^{5} + c = 0 se resuelve...

3La ecuación x^4 - 6x^2 + 8 = 0 \ tiene...

    \[ x_2 = 2, \ x_2 = -2, \ x_3 = \sqrt{2}, \ x_4= -\sqrt{2}\]

Tenemos que x^4 - 6x^2 + 8 = 0 \ , tomando el cambio de variable

    \[ x^2 = t \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{t} \]

entonces

    \[ x^{4}=t^{2}\]

y

    \[ t^{2}-6 t+8=0 \]

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la formula general

    \begin{align*} t &= \frac{+6 \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{+6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \\ &= \frac{+6 \pm \sqrt{4}}{2} \\ &= \frac{+6 \pm 2}{2} \end{align*}

de donde se obtiene

    \[ t_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]

    \[ t_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

Y a partir de las soluciones de t obtenemos las soluciones de x:

    \[ t_1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2, \ x_2= -2 \]

    \[ t_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt{2}, \ x_4= -\sqrt{2} \]

4La ecuación x^4 - 4x^2 + 5 = 0 \ tiene...

    \[ x_{1}=-\sqrt{\frac{6-\sqrt{-4}}{2}}, \ x_{2}=\sqrt{\frac{6-\sqrt{-4}}{2}}, \ x_{3}=-\sqrt{\frac{6+\sqrt{-4}}{2}}, \ x_{4}=\sqrt{\frac{6+\sqrt{-4}}{2}}\]

Tenemos que x^4 - 4x^2 + 5 = 0 \ , tomando el cambio de variable

    \[ x^2 = t \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{t} \]

entonces

    \[ x^{4}=t^{2}\]

y

    \[ t^{2}-4 t+5=0 \]

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la formula general

    \begin{align*} t &=\frac{+4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\\ &=\frac{+6 \pm \sqrt{16-20}}{2} \\ &=\frac{+6 \pm \sqrt{-4}}{2} \notin \mathbb{R} \end{align*}

Por tanto, no tiene soluciones reales.

5La ecuación -x^4 - 3x^2 + 18 = 0 \ tiene...

    \[x_{1}=\sqrt{3}, \ x_{2}=-\sqrt{3}, \ x_{3}=\sqrt{-6}, \ x_{4}=-\sqrt{-6} \]

Tenemos que -x^4 - 3x^2 + 18 = 0 \ , multiplicamos por -1 y hacemos combio de variable obteniendo

    \[ t^{2}+3 t-18=0 \]

Resolvemos la ecuación cuadrática

    \begin{align*} t &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \end{align*}

de donde se obtiene que

    \[ t_1 = \frac{-3 + 9}{2} = 3\]

    \[ t_2 = \frac{-3 - 9}{2} = -6 \]

Y a partir de las soluciones de t obtenemos las soluciones de x:

    \[ t_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \sqrt{3}, \ x_2= -\sqrt{3} \]

    \[ t_2 = -6 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{-6} \notin \mathbb{R} \]

6La ecuación x^8- 7x^4 + 12 = 0 tiene...

    \[ x_{1}=\sqrt{2}, \ x_{2}=-\sqrt{2}, \ x_{3}=\sqrt[4]{3}, \ x_{4}=-\sqrt[4]{3} \]

Tenemos que x^8- 7x^4 + 12 = 0 , tomando el cambio de variable

    \[ x^4 = t \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt[4]{t} \]

entonces

    \[ x^{8}=t^{2}\]

y

    \[ t^{2}-7 t+12=0 \]

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la formula general

    \begin{align*} t &= \frac{+7 \pm \sqrt{(-7)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \\ &=\frac{+7 \pm \sqrt{49-48}}{2} \\ &=\frac{+7 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &=\frac{+7 \pm 1}{2} \end{align*}

de donde se obtiene que

    \[ t_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

    \[ t_2 = \frac{7 -1}{2} = 3 \]

Y a partir de las soluciones de t obtenemos las soluciones de x:

    \[ t_1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt[4]{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \sqrt{2}, \ x_2= -\sqrt{2} \]

    \[ t_2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt[4]{3} \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt[4]{3}, \ x_4= -\sqrt[4]{3} \]

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗