Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

     \[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Si ninguno de los coeficientes a,b y c es cero diremos que la ecuación es completa, y si alguno es cero diremos que es incompleta.

La ecuación de segundo grado se resuelve aplicando la siguiente fórmula

 

    \[{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}\]

llamada fórmula general. Dada una ecuación de segundo grado completa, llamaremos discriminante al radicando de la ecuación anterior, es decir

    \[ \textrm{Discriminante}: b^2 - 4ac . \]

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones, y podemos distinguir tres casos: cuando el discriminante es mayor que cero, igual a cero y menor que cero.

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Discriminante mayor a cero

Cuando b^2 -4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Supongamos que x_1 y x_2 son las dos soluciones reales distintas, entonces la factorización en este caso es

    \[ ax^2 + bx+c = a(x-x_1)(x - x_2) \]

Ejemplo

Sea  x^2 - 5x +6 = 0 . Notemos que a=1, b=-5, c=6 y

     \[ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0 \]

por lo tanto, debe tener dos soluciones reales distintas. Calculemos con la fórmula general las soluciones

     \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

entonces

     \begin{align*} x_1 &= \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_2 &= \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2. \end{align*}

Por lo que la factorización sería

    \[ x^2 - 5x +6 = (x-3)(x-2) . \]

Discriminante igual a cero

Cuando b^2 -4ac = 0, la ecuación tiene una solución doble, es decir una solución con multiplicidad 2.

Supongamos que x_1 es la solución doble de la ecuación, entonces la factorización sería

    \[ ax^2 + bx+c = a(x-x_1)^2 \]

Ejemplo

Sea  x^2 - 2x + 1 = 0 . En este caso a=1, b=-2, c=1 y

     \[ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \]

por lo que tiene una solución doble. Usando la fórmula general calculemos la solución

     \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

Y la factorización queda

     \[ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \]

Discriminante menor a cero

Cuando b^2 -4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. En este caso al no tener soluciones reales, no se puede factorizar en los reales.

Ejemplo

Sea  x^2 + x + 1 = 0 . En este caso a=1, b=1, c=1 y

     \[ b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \]

Con la formula general notemos que

     \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R} \]

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (6 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗