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Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

    \[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Si ninguno de los coeficientes a,b y c es cero diremos que la ecuación es completa, y si alguno es cero diremos que es incompleta.

La ecuación de segundo grado se resuelve aplicando la siguiente fórmula

 

    \[{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}\]

llamada fórmula general. Dada una ecuación de segundo grado completa, llamaremos discriminante al radicando de la ecuación anterior, es decir

    \[ \textrm{Discriminante}: b^2 - 4ac . \]

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones, y podemos distinguir tres casos: cuando el discriminante es mayor que cero, igual a cero y menor que cero.

 

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Discriminante mayor a cero

Cuando b^2 -4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Supongamos que x_1 y x_2 son las dos soluciones reales distintas, entonces la factorización en este caso es

    \[ ax^2 + bx+c = a(x-x_1)(x - x_2) \]

Ejemplo

Sea x^2 - 5x +6 = 0 . Notemos que a=1, b=-5, c=6 y

    \[ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0 \]

por lo tanto, debe tener dos soluciones reales distintas. Calculemos con la fórmula general las soluciones

    \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

entonces

    \begin{align*} x_1 &= \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_2 &= \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2. \end{align*}

Por lo que la factorización sería

    \[ x^2 - 5x +6 = (x-3)(x-2) . \]

Discriminante igual a cero

Cuando b^2 -4ac = 0, la ecuación tiene una solución doble, es decir una solución con multiplicidad 2.

Supongamos que x_1 es la solución doble de la ecuación, entonces la factorización sería

    \[ ax^2 + bx+c = a(x-x_1)^2 \]

Ejemplo

Sea x^2 - 2x + 1 = 0 . En este caso a=1, b=-2, c=1 y

    \[ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \]

por lo que tiene una solución doble. Usando la fórmula general calculemos la solución

    \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

Y la factorización queda

    \[ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \]

Discriminante menor a cero

Cuando b^2 -4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. En este caso al no tener soluciones reales, no se puede factorizar en los reales.

Ejemplo

Sea x^2 + x + 1 = 0 . En este caso a=1, b=1, c=1 y

    \[ b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \]

Con la formula general notemos que

    \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R} \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗