Name: Ejercicios y problemas de ecuaciones de primer grado
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Ejercicios de ecuaciones
Problemas de aplicación

Ejercicios de ecuaciones

1Resuelve la siguiente ecuación:

$4(x - 10) = -6(2 - x) - 6x$

1Realizamos las multiplicaciones en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 4(x - 10) & = & -6(2 - x) - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \end{array}$

2Sumamos y restamos términos semejantes en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 \end{array}$

3Para despejar $x$ , primero sumamos $40$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 \\\\ 4x - 40 + 40 & = & -12 + 40 \\\\ 4x & = & 28 \end{array}$

4Para obtener $x$ , ahora multiplicamos por $\cfrac{1}{4}$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} 4x & = & 28 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 28 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 7 \end{array}$

Así, $x = 7$ es la solución de la ecuación

2Resuelve la siguiente ecuación:

$2(x + 1) - 3(x - 2) = x + 6$

1Realizamos las multiplicaciones

$\begin{array}{rcl} 2(x + 1) - 3(x - 2) & = & x + 6 \\\\ 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \end{array}$

2Sumamos y restamos términos semejantes en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 & = & x + 6 \end{array}$

3Para despejar $x$ , primero restamos $x$ y $8$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} -x + 8 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 - x - 8 & = & x + 6 - x - 8 \\\\ -2x & = & -2 \end{array}$

4Para obtener $x$ , ahora multiplicamos por $-\cfrac{1}{2}$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} -2x & = & -2 \\\\ -2x \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) & = & -2 \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) \\\\ x & = & 1 \end{array}$

Así, $x = 1$ es la solución de la ecuación

3Resuelve la siguiente ecuación:

$\cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} = \cfrac{x + 5}{9}$

1Calculamos el $m.c.m.(4, 36, 9)$

$\begin{array}{rcl} m.c.m.(4, 36, 9) & = & m.c.m.(2^2, 2^2 \cdot 3^2, 3^2) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3^2 \\\\ & = & 36 \end{array}$

2Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el $m.c.m.(4, 36, 9)$

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} \right)(36) & = & \left( \cfrac{x + 5}{9} \right) (36) \\\\ 9(x - 1) - (x - 5) & = & 4(x + 5) \\\\ 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \end{array}$

3Sumamos y restamos términos semejantes en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 & = & 4x + 20 \end{array}$

4Para despejar $x$ , primero restamos $4x$ y sumamos $4$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} 8x - 4 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 - 4x + 4 & = & 4x + 20 - 4x + 4 \\\\ 4x & = & 24 \end{array}$

5Para obtener $x$ , ahora multiplicamos por $\cfrac{1}{4}$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} 4x & = & 24 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 24 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 6 \end{array}$

Así, $x = 6$ es la solución de la ecuación

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4Resuelve la siguiente ecuación:

$6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) = 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2)$

1Realizamos las multiplicaciones y simplificamos las fracciones

$\begin{array}{rcl} 6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) & = & 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{6}{8}(x + 1) - \cfrac{6}{16}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \end{array}$

2Calculamos el $m.c.m.(4, 8)$ de los denominadores

$\begin{array}{rcl} m.c.m.(4, 8) & = & m.c.m.(2^2, 2^3) \\\\ & = & 2^3 \\\\ & = & 8 \end{array}$

3Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el $m.c.m.(4, 8)$

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) \right)(8) & = & \left( \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \right) (8) \\\\ 6(x + 1) - 3(2x - 3) & = & 2(9x) - 2(3) - 3(3x - 2) \\\\ 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \end{array}$

4Sumamos y restamos términos semejantes en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \\\\ 15 & = & 9x \end{array}$

5Para despejar $x$ , multiplicamos por $\cfrac{1}{9}$ en ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} 15 & = & 9x \\\\ 15 \left ( \cfrac{1}{9} \right ) & = & 9x \left ( \cfrac{1}{9} \right ) \\\\ \cfrac{5}{3} & = & x \end{array}$

Así, $x = \cfrac{5}{3}$ es la solución de la ecuación

5Resuelve la siguiente ecuación:

$\cfrac{4}{x - 3} = \cfrac{5}{x - 2}$

1Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $x - 3$ y $x - 2$ y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \cfrac{4}{x - 3} (x - 3) (x - 2) & = & \cfrac{5}{x - 2} (x - 3) (x - 2) \\\\ 4(x - 2) & = & 5 (x - 3) \end{array}$

2Realizamos las multiplicaciones

$\begin{array}{rcl} 4(x - 2) & = & 5 (x - 3) \\\\ 4x - 8 & = & 5x - 15 \end{array}$

3Restamos $4x$ y sumamos $15$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 4x - 8 & = & 5x - 15 \\\\ 4x - 8 - 4x + 15 & = & 5x - 15 - 4x + 15 \\\\ 7 & = & x \end{array}$

Así, $x = 7$ es la solución de la ecuación

6Resuelve la siguiente ecuación:

$2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] = \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x$

1Quitamos los corchetes

$\begin{array}{rcl} 2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \\\\ 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \end{array}$

2Calculamos el $m.c.m.(2, 3 , 12)$ de los denominadores

$\begin{array}{rcl} m.c.m.(2, 3 , 12) & = & m.c.m.(2, 3 , 2^2 \cdot 3) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3 \\\\ & = & 12 \end{array}$

3Multiplicamos por el $m.c.m.(2, 3, 12)$ ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} \left( 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} \right) (12) & = & \left( \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \right) (12) \\\\ 24 + 24(x + 1) + 6(x - 3) & = & 8x - (5x - 3) + 36x \\\\ 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \end{array}$

4Sumamos y restamos términos semejantes

$\begin{array}{rcl} 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \\\\ 30x + 30 & = & 39x + 3 \end{array}$

5Restamos $30x$ y $3$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 30x + 30 & = & 39x + 3 \\\\ 30x + 30 - 30x - 3 & = & 39x + 3 - 30x - 3 \\\\ 27 & = & 9x \end{array}$

6Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $\cfrac{1}{9}$

$\begin{array}{rcl} 27 \left( \cfrac{1}{9} \right) & = & 9x \left( \cfrac{1}{9} \right) \\\\ 3 & = & x \end{array}$

Así, $x = 3$ es la solución de la ecuación

7Resuelve la siguiente ecuación:

$7x^2 +21x - 28 = 0$

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(21) \pm \sqrt{(21)^2 - 4(7)(-28)}}{2(7)} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm \sqrt{1225}}{14} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm 35}{14} \end{array}$

Las raíces son

$x_1 = \cfrac{-21 + 35}{14} = 1$

$x_2 = \cfrac{-21 - 35}{14} = -4$

2Las raíces de la ecuación son las soluciones de la misma. Así, las soluciones buscadas son $x = 1$ y $x = -4$

8Resuelve la siguiente ecuación:

$-x^2 + 4x - 7 = 0$

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 - 4(-1)(-7)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{-12}}{14} \end{array}$

Como en los reales no existen raíces de números negativos, concluimos que la ecuación no tiene soluciones reales.

9Resuelve la siguiente ecuación:

$12x^2 - 3x = 0$

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(12)(0)}}{2(12)} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm \sqrt{9}}{24} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm 3}{24} \end{array}$

Las raíces son

$x_1 = \cfrac{3 + 3}{24} = \cfrac{1}{4}$

$x_2 = \cfrac{3 - 3}{24} = 0$

2Las raíces de la ecuación son las soluciones de la misma. Así, las soluciones buscadas son $x = 0$ y $x = \cfrac{1}{4}$

10Resuelve la siguiente ecuación:

$4x^2 - 16 = 0$

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 - 4(4)(-16)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{0 \pm \sqrt{256}}{8} \\\\ & = & \cfrac{\pm 16}{8} \end{array}$

Las raíces son

$x_1 = \cfrac{0 + 16}{8} = 2$

$x_2 = \cfrac{0 - 16}{8} = -2$

2Las raíces de la ecuación son las soluciones de la misma. Así, las soluciones buscadas son $x = -2$ y $x = 2$

Problemas de aplicación

11Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

1La edad actual del padre es 35 y la del hijo es 5, mientras que $x$ son los años que tienen que pasar para que se cumpla la condición dada

2Escribimos la condición dada en forma de ecuación

$\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \end{array}$

3Realizamos la multiplicación

$\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \\\\ 35 + x & = & 15 + 3x \end{array}$

4Restamos $3x$ y $35$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 35 + x - 3x - 35 & = & 15 + 3x - 3x - 35 \\\\ -2x & = & -20 \end{array}$

5Para despejar $x$ , multiplicamos por $-\cfrac{1}{2}$ ambos lados de la ecuación y simplificamos

$\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -20 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 10 \end{array}$

6Dentro de $10$ años, la edad del padre será tres veces mayor que la de su hijo.

12Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

1Como no conocemos el número solicitado, lo representamos por $x$

2Escribimos la condición dada en forma de ecuación

$\begin{array}{rcl} 2x - \cfrac{x}{2} & = & 54 \end{array}$

3Multiplicamos por 2 ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} \left( 2x - \cfrac{x}{2} \right) (2) & = & 54 (2) \\\\ 4x - x & = & 108 \\\\ 3x & = & 108 \end{array}$

4Multiplicamos por $\cfrac{1}{3}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 3x \left( \cfrac{1}{3} \right) & = & 108 \left( \cfrac{1}{3} \right) \\\\ x & = & 36 \end{array}$

5El número buscado es $x = 36$

13La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

1Representamos la altura por $x$ , por lo que su base es $2x$

2Escribimos la condición del perímetro en forma de ecuación

$\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \end{array}$

3Realizamos las multiplicaciones y sumamos términos semejantes

$\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \\\\ 2x + 4x & = & 30 \\\\ 6x & = & 30 \end{array}$

4Multiplicamos por $\cfrac{1}{6}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 6x \left( \cfrac{1}{6} \right) & = & 30 \left( \cfrac{1}{6} \right) \\\\ x & = & 5 \end{array}$

5La altura es $x = 5 \, cm$ y su base es $2x = 10 \, cm$

14En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

1Representamos el número de hombres por $x$ , por lo que el número de mujeres es $2x$ y el número de niños es $3(x + 2x)$

2Escribimos la condición dada en forma de ecuación

$\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \end{array}$

3Realizamos las multiplicaciones y sumamos términos semejantes

$\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \\\\ x + 2x + 3x + 6x & = & 96 \\\\ 12x & = & 96 \end{array}$

4Multiplicamos por $\cfrac{1}{12}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 12x \left( \cfrac{1}{12} \right) & = & 96 \left( \cfrac{1}{12} \right) \\\\ x & = & 8 \end{array}$

5El número de hombres es $x = 8$ , el de mujeres es $2x = 16$ y el de niños es $3(x + 2x) = 72$

15Se han consumido $\cfrac{7}{8}$ de un bidón de aceite. Reponemos $38 \, l$ y el bidón ha quedado lleno hasta sus $\cfrac{3}{5}$ partes. Calcula la capacidad del bidón.

1Llamamos $x$ a la capacidad del bidón y como hemos consumido $\cfrac{7}{8}$ de su capacidad quedará

$\begin{array}{rcl} x - \cfrac{7x}{8} & = & \cfrac{x}{8} \end{array}$

2Reponiendo $38 \, l$ se escribe la segunda condición dada en forma de ecuación

$\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{8} + 38 & = & \cfrac{3x}{5} \end{array}$

3Multiplicamos por el $m.c.m.(8, 5) = 40$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{8} + 38 \right) (40) & = & \cfrac{3x}{5} (40) \\\\ 5x + 1520 & = & 24x \end{array}$

4Restamos $24x$ y $1520$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 5x + 1520 - 24x - 1520 & = & 24x - 24x - 1520 \\\\ -19x & = & -1520 \end{array}$

5Multiplicamos por $-\cfrac{1}{19}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} -19x \left( -\cfrac{1}{19} \right) & = & -1520 \left( -\cfrac{1}{19} \right) \\\\ x & = & 80 \end{array}$

5La capacidad de bidón es $x = 80 \, l$

16Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

1Llamamos $x$ a la cantidad de cabezas de cerdos y como en total hay 35 cabezas, entonces $35 - x$ es el número de cabezas de pavos

2Escribimos la condición de las patas, para lo cual los cerdos cuentan con 4 patas y los pavos con 2

$\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \end{array}$

3Multiplicamos y luego sumamos términos semejantes

$\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \\\\ 4x + 70 - 2x & = & 116 \\\\ 2x + 70 & = & 116 \end{array}$

4Restamos $70$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 2x + 70 & = & 116 \\\\ 2x + 70 - 70 & = & 116 - 70 \\\\ 2x & = & 46 \end{array}$

5Multiplicamos por $\cfrac{1}{2}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 2x \left( \cfrac{1}{2} \right) & = & 46 \left( \cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 23 \end{array}$

5Hay $x = 23$ cerdos y $35 - 23 = 12$ pavos.

17Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió $20 \, l$ de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió $\cfrac{2}{3}$ de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide la cantidad de litros de gasolina que se tenía en el depósito y los litros consumidos en cada etapa.

1Llamamos $x$ a los litros de gasolina que tenía el depósito

2Escribimos la condición de la primera etapa

$\cfrac{2x}{3}$

3Escribimos la condición de la segunda etapa

$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} \left( x - \cfrac{2x}{3} \right) & = & \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{x}{3} \right) \\\\ & = & \cfrac{x}{6} \end{array}$

4Para encontrar la cantidad de gasolina que tenía el depósito, sumamos lo consumido en ambas etapas, lo cual es igual a $20 \, l$

$\begin{array}{rcl} \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} & = & 20 \end{array}$

5Multiplicamos por $6$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} \right)(6) & = & 20 (6) \\\\ 4x + x & = & 120 \\\\ 5x & = & 120 \end{array}$

6Multiplicamos por $\cfrac{1}{5}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 5x \left( \cfrac{1}{5} \right) & = & 120 \left( \cfrac{1}{5} \right) \\\\ x & = & 24 \end{array}$

Así, el depósito tenía $24 \, l$

En la primera etapa se consumió $\cfrac{2x}{3} = \cfrac{2(24)}{3} = 16 \, l$ , mientras que en la segunda etapa se consumió $\cfrac{x}{6} = \cfrac{24}{6} = 4 \, l$

18En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

1Llamamos $x$ al total de dinero

2Escribimos la condición del libro

$\cfrac{x}{3}$

3Escribimos la condición para el cómic

$\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} \left( x - \cfrac{x}{3} \right) & = & \cfrac{2}{3} \left( \cfrac{2x}{3} \right) \\\\ & = & \cfrac{4x}{9} \end{array}$

4Para encontrar la cantidad de dinero que tenía, sumamos los gastos del libro y el cómic junto con el dinero sobrante

$\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 & = & x \end{array}$

5Multiplicamos por $9$ en ambos lados de la ecuación y sumamos términos semejantes

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 \right)(9) & = & x (9) \\\\ 3x + 4x + 108 & = & 9x \\\\ 7x + 108 & = & 9x \end{array}$

6Restamos $108$ y $9x$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 7x + 108 - 9x - 108 & = & 9x - 9x - 108 \\\\ -2x & = & -108 \end{array}$

7Multiplicamos por $-\cfrac{1}{2}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -108 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 54 \end{array}$

Así, Ana tenía $54$ €

19Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Encuentra el tiempo que tardará en alcanzarle.

1Llamamos $t$ al tiempo empleado por el camión, luego el tiempo empleado por el coche es $t - 1$

2Ambos vehículos recorren la misma distancia, por lo que

$40 t = 60 (t - 1)$

3Realizamos la multiplicación

$\begin{array}{rcl} 40 t & = & 60(t - 1) \\\\ 40 t& = & 60 t - 60 \end{array}$

4Restamos $60t$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 40 t - 60 t& = & 60 t - 60 - 60t \\\\ -20 t & = & -60 \end{array}$

5Multiplicamos por $-\cfrac{1}{20}$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} -20t \left( -\cfrac{1}{20} \right) & = & -60 \left( -\cfrac{1}{20} \right) \\\\ t & = & 3 \end{array}$

Así, para que los vehículos se alcancen, el camión emplea $3 \, h$ mientras que el coche emplea $2 \, h$

20Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?

1Llamamos $x$ a la cifra de la unidad, luego al ser consecutivas, la cifra de las decenas es $x + 1$

2Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo $65$ podemos descomponerlo, de este modo:

$65 = 60 \cdot 10 + 5$

3Nuestro número de dos cifras es $(x + 1) \cdot 10 + x$ , con la condición se obtiene

$\begin{array}{rcl} (x + 1) \cdot 10 + x & = & 6(x + 1 + x) \\\\ 11x + 10 & = & 12x + 6 \end{array}$

4Restamos $12 x$ y $10$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{array}{rcl} 11x + 10 - 12x - 10 & = & 12x + 6 - 12x - 10 \\\\ -x & = & -4 \end{array}$

5Multiplicamos por $-1$ en ambos lados de la ecuación y se obtiene $x = 4$

Así, el número buscado es

$\begin{array}{rcl}(x + 1) \cdot 10 + x & = & (4 + 1) \cdot 10 + 4 \\\\ & = & 54 \end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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ilias

Marzo 2022

hola quiero obtener la explicación del ejercicio 4, quiero saber por que en la primera parte se divide por el denominador y en la otra parte se multipica por el numerador directamento y se deja el denominador igual

espero alguna respuesta

Antonio Tapia

Abril 2022

Tomemos el caso de multiplicar 6 por un octavo (1/8) quedaría: $6\cdot (\frac{1}{8})=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}$ como puedes ver multiplicar por 6 significa sumar 6 veces un octavo y te da seis octavos, entonces lo hacemos mas directamente y multiplicamos el entero por el numerador.

Ale

Marzo 2022

x+2=12
x=12-2
x=10