Recordemos que las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de la forma:

 

ax^4 + bx^2 + c = 0

 

con a\neq 0.

 

Estas ecuaciones se resuelven utilizando el cambio de variable t = x^2, el cual transforma la ecuación a una cuadrática.

 

Ecuaciones bicuadradas

 

1

 

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

 

Tenemos la ecuación:

 

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

 

En primer lugar, realizamos el cambio de variable

 

x^2 = t, \qquad x^4 = t^2

t^2 - 10t + 9 = 0

 

Ahora, resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido, utilizando la fórmula general

 

\displaystyle t = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4\cdot 9} }{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36} }{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64} }{2} = \frac{10 \pm 8}{2}

 

Es decir,

 

\displaystyle t_1 = \frac{18}{2} = 9 \qquad t_2 = \frac{2}{2} = 1

 

Luego, deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada:

 

\displaystyle x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3

\displaystyle x^2 = 1 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{1} = \pm 1

 

Por lo tanto, esta ecuación bicuadrada tiene las siguiente cuatro soluciones reales:

 

x_1 = 3, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = -1

 

2

 

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

 

Tenemos ahora la ecuación:

 

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

 

Primero realizamos el cambio de variable:

 

x^2 = t

t^2 - 13t + 36 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido:

 

\displaystyle \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144} }{2} = \frac{13 \pm 5}{2}

 

Esto es,

 

\displaystyle t_1 = \frac{18}{2} = 9 \qquad t_2 = \frac{8}{2} = 4

 

Ahora, deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada:

 

x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3

x^2 = 4 \qquad \to \qquad x = \pm 2

 

De este modo, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales:

 

x_1 = 3, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = -2

3

 

x^4 - 61x^2 +900 = 0

 

En este caso, nuestra ecuación es:

 

x^4 - 61x^2 +900 = 0

 

Para empezar, hacemos el cambio de variable:

 

x^2 = t

t^2 - 61t + 900 = 0

 

Después, resolvemos la ecuación de segundo grado que obtuvimos:

 

\displaystyle t = \frac{61 \pm \sqrt{3721 - 3600}}{2} = \frac{61 \pm 11}{2}

 

De manera que:

 

\displaystyle t_1 = \frac{72}{2} = 36 \qquad t_2 = \frac{50}{2} = 25

 

De nuevo, deshacemos el cambio de variable:

 

x^2 = 36 \qquad \to \qquad x = \pm 6

x^2 = 25 \qquad \to \qquad x = \pm 5

 

Así, esta ecuación bicuadrada tiene las siguientes cuatro soluciones reales

 

x_1 = 6, \quad x_2 = -6, \quad x_3 = 5, \quad x_4 = -5

4

 

x^4 - 25x^2 + 144 = 0

 

En este caso, nuestra ecuación es:

 

x^4 - 25x^2 + 144 = 0

 

Realizamos el cambio de variable:

 

x^2 = t

t^2 - 25t + 144 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido:

 

\displaystyle t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576} }{2} = \frac{25 \pm 7}{2}

 

Por lo que

 

\displaystyle t_1 = \frac{32}{2} = 16 \qquad t_2 = \frac{18}{2} = 9

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

x^2 = 16 \qquad \to \qquad x = \pm 4

x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm 3

 

Esta ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales:

 

x_1 = 4, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = 3, \quad x_4 = -3

5

 

x^4 - 16x^2 -255 = 0

 

Nuestra ecuación ahora es:

 

x^4 - 16x^2 -255 = 0

 

De nuevo, realizamos el cambio de variable:

 

x^2 = t

t^2 - 16t -225 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido:

 

\displaystyle \frac{16 \pm \sqrt{256 +900} }{2} = \frac{16 \pm 34}{2}

 

Por lo tanto,

 

\displaystyle t_1 = \frac{50}{2} = 25 \qquad t_2 = \frac{-18}{2} = -9

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

x^2 = 25 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{25} = \pm 5

x^2 = -9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{-9} \notin \mathbb{R}

 

En este caso, nuestra ecuación bicuadrada tiene únicamente dos soluciones reales:

 

x_1 = 5, \quad x_2 = -5, \quad x_3, x_4 \notin \mathbb{R}

 

Ecuaciones tricuadradas

 

Al igual que las ecuaciones bicuadradas, una ecuación de la forma

 

ax^6 + bx^3 + c = 0

 

con a \neq 0 se conoce como una ecuación tricuadrada. Este tipo de ecuación se resuelve utilizando el cambio de variable t = x^3.

 

6

 

x^6 - 7x^3 + 6 = 0

 

Nuestra ecuación está dada por:

 

x^6 - 7x^3 + 6 = 0

 

Realizamos el cambio de variable:

 

x^3 = t

t^2 - 7t + 6 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido:

 

\displaystyle t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24} }{2} = \frac{7 \pm 5}{2}

 

Es decir,

 

\displaystyle t_1 = \frac{12}{2} = 6 \qquad t_2 = \frac{2}{2} = 1

 

Deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación:

 

x^3 = 6 \qquad \to \qquad x_1 = \sqrt[3]{6}, \quad x_2, x_3 \notin \mathbb{R}

x^3 = 1 \qquad \to \qquad x_4 = \sqrt[3]{1} = 1, \quad x_5, x_6 \notin \mathbb{R}

 

En este caso, nuestra solución tricuadrada tiene únicamente dos soluciones reales:

 

x_1 = \sqrt[3]{6}, \quad x_4 = 1, \quad x_2, x_3, x_5, x_6 \notin \mathbb{R}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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