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Método de sustitución para sistema de ecuaciones
El método de sustitución, como su nombre lo dice consiste en despejar el valor de una variable obtenido en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación.
NOTA
Cuando un sistema tiene mas incógnitas (variables) que numero de ecuaciones, entonces el sistema tiene soluciones infinitas, es decir, cada variable puede tomar diferentes valores, tal que cumplan siempre con la ecuación, la cantidad de valores que puede tomar cada variable es infinita.
Ejemplo: Dada la ecuación: 
Observamos que se trata de una ecuación con dos una ecuación con dos variables. Rápidamente podemos darnos cuenta de algunos de los valores que son solución:
Notemos, que existe una cantidad infinita de valores que podemos asignar a 
y 
para que sean solución.
Por otra parte, cuando el sistema tiene la misma cantidad de ecuaciones y de incógnitas, entonces generalmente el sistema tiene una única solución.
Ejemplo del método con sistema de 2x2
A 
la llamaremos "Ecuación I"
y 
es la "Ecuación II"
Despejamos cualquiera de las 2 variables en una de las 2 ecuaciones, (siempre debemos buscar la que requiera menos trabajo algebraico para nuestra comodidad), en este caso, despejaremos en la Ecuación I
A esto se le llama "Valor de respecto a "
Sustituimos el valor despejado en la otra ecuación, en este caso, sustituimos el valor de en la Ecuación II
Como podemos notar, ahora en la ecuación solo esta la variable . Esta ecuación se puede simplificar y despejar para obtener el valor de .
Una vez que tengamos el valor de una de las variables, en este caso el de , podemos sustituirlo en cualquiera de las 2 ecuaciones para encontrar el valor de la otra variable, en este caso .
También podemos usar la ecuación que habíamos despejado, que es la que más nos conviene ya que nos da directamente el valor de x
Y así obtenemos el valor de nuestras variables en un sistema de ecuaciones y notamos que la solución es ÚNICA.
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3
1 Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones.
Generalmente se elige la variable con el coeficiente menor, y de la ecuación más sencilla, para que el despeje no requiera tanto trabajo algebraico.
2 Sustituir en las otras dos ecuaciones.
Usar este despeje para sustituir esta variable en las otras dos ecuaciones. Las dos nuevas ecuaciones que resulten de este paso formarán un sistema de ecuaciones de 2x2.
3 Resuelvo el sistema de 2x2.
Para esto repito el proceso:
- Elijo una de las 2 variables y la despejo en una de las ecuaciones.
- Utilizo este despeje para sustituir la variable en la otra ecuación (la que no despejé en el sistema de 2x2).
- Del anterior paso me resultará una ecuación lineal de una variable, que al despejarla, obtendré su valor.
- El valor que obtuve lo sustituyo en el despeje que hice en este sistema de 2x2, y así calcularé el valor de otra variable.
4 Obtengo el valor de la variable que me falta
Como con el paso 3 obtuve el valor de dos de las tres variables, para obtener la que me falta utilizo el despeje que hice en el paso uno y sustituyo con las incógnitas que ya resolví.
Ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 3 variables
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la tercera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable 
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
Al sustituir en la segunda ecuación se obtiene
De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la primera con la variable 
.
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación
Como ya tenemos que z=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar y
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la primera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
Al sustituir en la tercera ecuación se obtiene
Sustituyendo en esta última ecuación el valor z=-1, se tiene
Con este despeje sustituyo en la primera ecuación que despejamos
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la tercera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
Al sustituir en la segunda ecuación se obtiene
De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la primera con la variable .
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación
Como ya tenemos que z=5, utilizo el último despeje que usé para encontrar y
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la tercera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
Al sustituir en la segunda ecuación se obtiene
Como ya tenemos que y=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar z
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la segunda ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
Sustituimos en la siguiente ecuación
De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la segunda con la variable .
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación. Para deshacernos del denominador, será necesario multiplicar toda la ecuación por 5
Como ya tenemos que , utilizo el último despeje que usé para encontrar y
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la primera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la primera con la variable 
.
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación
Como ya tenemos que , utilizo el último despeje que usé para encontrar
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 
€ por 
de leche, 
de jamón serrano y 
de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 
de aceite cuesta el triple que de leche y que 
de jamón cuesta igual que 
de aceite más de leche.
Declaramos las variables
Leche:
Jamón:
Aceite:
Cada oración nos da una ecuación con lo que se forma el siguiente sistema de ecuaciones lineales
En este caso, dos de nuestras ecuaciones tienen variables ya despejadas (Ecuación 2 y 3). Sustituimos el valor de de la segunda ecuación en la tercera.
Sustituimos el valor de y de en la primera ecuación
Utilizo mis ecuaciones despejadas de y de para obtener su valor
Finalmente
Esto quiere decir que los precios son
Leche 1 €
Jamón 16 €
Aceite 3 €
Pedro compra 2 libretas, una lapicera y una carpeta por 
€. Si una libreta y una lapicera juntas cuestan 
€ más que la carpeta, y se sabe que una libreta cuesta la mitad del valor de una carpeta. Encuentra el precio de cada artículo.
Declaramos las variables
Libreta:
Lapicera:
Carpeta:
Cada oración nos da una ecuación con lo que se forma el siguiente sistema de ecuaciones lineales
En este caso, una de nuestras ecuaciones tiene variable ya despejada (Ecuación 3). Sustituimos el valor de de la tercera ecuación en la segunda.
Sustituimos el valor de y de en la primera ecuación
Utilizo mis ecuaciones despejadas de y de para obtener su valor
Finalmente
Esto quiere decir que los precios son
Libreta 10 €
Lapicera 15 €
Carpeta 20 €
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: Infantiles, Oeste Americano y Terror. Se sabe que:
El 
de las películas infantiles más el 
de las del oeste representan el 
del total de las películas.
El 
de las infantiles más el de las del oeste más del de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Si hay 
películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.
A cada elemento del ejercicio se le asigna una variable.
Infantiles:
Oeste Americano:
Terror:
De la redacción del problema obtengo el sistema de ecuaciones lineales de 3x3
Reescribimos y simplificamos primer ecuación
Multiplicamos toda la ecuación por 100 para deshacernos del único denominador y simplificamos la expresión obtenienda:
Dividimos por 
y obtenemos:
Tomamos la segunda ecuación y seguimos los mismos pasos:
Para tener el mismo denominador común, multiplicamos las fracciones del lado derecho por 
y obtenemos:
Nos deshacemos del denominador y simplificamos:
Dividimos la ecuación por y obtenemos:
Usando las versiones simplificadas de la primera y la segunda ecuación, formamos el siguientes sistema:
Como ya tenemos una variable despejada en una de las ecuaciones, la usamos para sustituir el valor de en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última obtenida por 3.
De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la segunda con la variable .
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación
Como ya tenemos que 
, utilizo el último despeje que usé para encontrar
Ahora tomo el primer despeje que hice, el de la variable que me falta, en este caso
Finalmente concluímos que hay
Infantiles 500 películas
Oeste 600 películas
Terror 900 películas
Los lados de un triángulo miden 
, 
y 
. Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.
De hacer un bosquejo de la figura, y usar una variable para cada radio de las 3 circunferencias, tenemos el sistema
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Despejaré en este caso la variable de la primera ecuación
Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones
En este caso la ecuación no tiene variable x, entonces la dejamos tal cual.
De esto tengo un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2
Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. Una de las más sencilla en este caso es la segunda con la variable .
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación
Como ya tenemos que 
, utilizo el último despeje que usé para encontrar
Ahora tomo el primer despeje que hice, el de la variable que me falta, en este caso
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SRS. SUPERPROF.- CIENCIAS MATEMÁTICAS, REQUIERE DIFERENTES METODOLOGÍAS EN BIEN DE LOS EDUCANDOS. EL ESFUERZOS QUE VOSOTRO BRINDAN OBVIAMENTE ES EN BIEN DE NUESTRAS FUTURAS GENERACIONES. INFINITAS GRACIAS POR VUESTRAS HONORABLES DEDICACIONES. EN VERDAD, INFINITAS GRACIAS. DIOS LES ILUMINE POR SIEMPRE. BENDICIONES. AMEN.
2x+y-z=-1
X-2y+z=5
3x-y-2z=0
Me encuentro realizando los ejercicios de la pagina con mi hija a la cual le estoy explicando los metodos de resolucion geometricos y me encuentro con que dos de los ejercicios se los han calificado mal, las respuestas que tenemos son las misma ella y yo pues siguio los metodos paso a paso, pero nos encontramos con que el primer ejercicio califica la respuesta al reves y el segundo se la califica mal por no redondear el decimal… el segundo punto podria ser mas comprensible, pero el primero trajo a mi niña trantando de entender por que estaba mal durante 15 minutos hasta que vio que se le evaluava con los resultados cambiados, si el orden de los resultados importa para calificarlos, sean mas claros con donde los quieres pues el problema dice que el largo de un area es el triple del ancho del otro lado, en el largo pusimos la respuesta que es 3X = 131.25 y en ancho pusimos x que es 43.75, pues la pagina lo reviso como erroneo punoniendo que las cajas o las etiquetas del archivo html estan mal asignadas
Una disculpa ya se corrigió.
Y con a>1?
Hola podrías hacernos el favor de dar mas información como el número de ejercicio para poder resolver tu duda.
2x+y-z=-1
X-2y+z=5
3x-y-2z=0
Ecuaciones metodo Guss jordan
no entiendo deberían explicar un poco mas detallado
Hola, entendemos tu punto, pero para lograrlo podrías mencionar mas específicamente donde no entendiste y con gusto te ayudamos.