Método de sustitución para sistema de ecuaciones

 

El método de sustitución, como su nombre lo dice consiste en despejar el valor de una variable obtenido en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación.

NOTA

Cuando un sistema tiene mas incógnitas (variables) que numero de ecuaciones, entonces el sistema tiene soluciones infinitas,  es decir, cada variable puede tomar diferentes valores, tal que cumplan siempre con la ecuación, la cantidad de valores que puede tomar cada  variable es infinita. Ejemplo:

Dada la ecuación:    x+y=4   Observamos que se trata de una ecuación con dos una ecuación con dos variables. Rápidamente podemos darnos cuenta de algunos de  los valores que son solución:

x=1 \hspace{.3cm} y=3 ; \hspace{1cm} x=0 \hspace{.3cm}y=4 ; \hspace{1cm} x=-10 \hspace{.3cm} y=14 ;

x=2 \hspace{.3cm}y=2 ; \hspace{1cm}x=3\hspace{.3cm} y=1 ;

Notemos, que existe una cantidad infinita de valores que podemos asignar a x y y para que sean solución.

Por otra parte, cuando el sistema tiene la misma cantidad de ecuaciones y de incógnitas, entonces generalmente el sistema tiene una única solución.

Ejemplo del método con sistema de 2x2

\begin{cases}x+y=4 \\ x+2y=6 \end{cases}

 

A  x+y=4 la llamaremos "Ecuación I"
y x+2y=6 es la "Ecuación II"

Despejamos cualquiera de las 2 variables en una de las 2 ecuaciones, (siempre debemos buscar la que requiera menos trabajo algebraico para  nuestra comodidad), en este caso, despejaremos x en la Ecuación I

 x+y=4  \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=4-y

A esto se le llama "Valor de x respecto a y"

Sustituimos el valor despejado en la otra ecuación, en este caso, sustituimos el valor de x en la Ecuación II

x+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  (4-y)+2y=6

Como podemos notar, ahora en la ecuación solo esta la variable y . Esta ecuación se puede simplificar y despejar para obtener el valor de y.

(4-y)+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \   4+y=6 \rightarrow y=6-4 \rightarrow y=2

Una vez que tengamos el valor de una de las variables, en este caso el de y, podemos sustituirlo en cualquiera de las 2 ecuaciones para encontrar el valor  de la otra variable, en este caso x.

x+(2)=4 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=2

x+2(2)=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x+4=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=6-4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

También podemos usar la ecuación que habíamos despejado, que es la que más nos conviene ya que nos da directamente el valor de x

x=4-y \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

Y así obtenemos el valor de nuestras variables en un sistema de ecuaciones y notamos que la solución es ÚNICA.

 

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3

 

1 Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones.
Generalmente se elige la variable con el coeficiente menor, y de la ecuación más sencilla, para que el despeje no requiera tanto trabajo algebraico.

2 Sustituir en las otras dos ecuaciones.
Usar este despeje para sustituir esta variable en las otras dos ecuaciones. Las dos nuevas ecuaciones que resulten de este paso formarán un sistema de ecuaciones de 2x2.

3 Resuelvo el sistema de 2x2.
Para esto repito el proceso:

  • Elijo una de las 2 variables y la despejo en una de las ecuaciones.
  • Utilizo este despeje para sustituir la variable en la otra ecuación (la que no despejé en el sistema de 2x2).
  • Del anterior paso me resultará una ecuación lineal de una variable, que al despejarla, obtendré su valor.
  • El valor que obtuve lo sustituyo en el despeje que hice en este sistema de 2x2, y así calcularé el valor de otra variable.

4 Obtengo el valor de la variable que me falta
Como con el paso 3 obtuve el valor de dos de las tres variables, para obtener la que me falta utilizo el despeje que hice en el paso uno y sustituyo con las incógnitas que ya resolví.

 

Ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 3 variables

 

 

1\begin{cases}3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{cases}

 

\begin{cases}3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{cases}

Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la tercera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable x

x+y-z=1 \hspace{2cm} x=1-y+z

Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones

  • 3x+2y+z=1

3(1-y+z)+2y+z=1

3-3y+3z+2y+z=1

-y+4z=-2

  • 5x+3y+4z=2

5(1-y+z)+3y+4z=2

5-5y+5z+3y+4z=2

-2y+9z=-3

De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2

\begin{cases}-y+4z=-2 \\ -2y+9z=-3 \end{cases}

Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la primera con la variable y.

-y+4z=-2 \hspace{2cm} y=4z+2

Con este despeje sustituyo en la otra ecuación

-2y+9z=-3

 -2(4z+2)+9z=-3

 -8z-4+9z=-3

 z=1

Como ya tenemos que z=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar y

y=4z+2 \hspace{1cm} y= 4\cdot 1+ 2 \hspace{1cm} y=4+2 \hspace{1cm} y=6

Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso x

x=1-y+z \hspace{1cm} x=1-6+1 \hspace{1cm} x=-4

 

 

2\begin{cases}5x-3y-z=1 \\ x+4y-6z=-1 \\ 2x+3y+4z=9 \end{cases}

 

\begin{cases}5x-3y-z=1 \\ x+4y-6z=-1 \\ 2x+3y+4z=9 \end{cases}

Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la segunda ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable x

x+4y-6z=-1 \hspace{2cm} x=-1+6z-4y

Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones

  • 5x-3y-z=1

5(-1+6z-4y)-3y-z=1

-5+30z-20y-3y-z=1

-23y+29z=6

  • 2x+3y+4z=9

 2(-1+6z-4y)+3y+4z=9

-2+12z-8y+3y+4z=9

-5y+16z=11

De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2

\begin{cases}-23y+29z=6 \\ -5y+16z=11 \end{cases}

Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la segunda con la variable y.

-5y+16z=11 \hspace{1cm} 16z-11=5y \hspace{1cm} y=(16z-11)/5

Con este despeje sustituyo en la otra ecuación. Para deshacernos del denominador, será necesario multiplicar toda la ecuación por 5

-23[(16z-11)/5]+29z=6

 -23(16z-11)+145z=30

-368z+253+145z=30

 -223z=-223

 z=1

Como ya tenemos que z=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar y

y=(16z-11)/5 \hspace{1cm} y=(16\cdot 1-11)/5 \hspace{1cm} y=(16-11)/5 \hspace{1cm} y=1

Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso x

x=-1+6z-4y \hspace{1cm} x=-1+6\cdot 1-4\cdot 1 \hspace{1cm} x=-1+6-4 \hspace{1cm} x=1

 

 

3 \begin{cases} 2x-y+2z=6 \\ 3x+2y-z=4 \\ 4x+3y-3z=1 \end{cases}

 

\begin{cases} 2x-y+2z=6 \\ 3x+2y-z=4 \\ 4x+3y-3z=1 \end{cases}

Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Como me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la primera ecuación, que es la que tiene el coeficiente más pequeño en la variable y

2x-y+2z=6 \hspace{2cm} y=2x+2z-6

Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones

  • 3x+2y-z=4

3x+2(2x+2z-6)-z=4

3x+4x+4z-12-z=4

7x+3z=16

  • 4x+3y-3z=1

4x+3(2x+2z-6)-3z=1

4x+6x+6z-18-3z=1

10x+3z=19

De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2

\begin{cases}7x+3z=16 \\ 10x+3z=19 \end{cases}

Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la primera con la variable z.

7x+3z=16 \hspace{2cm} z=(16-7x)/3

Con este despeje sustituyo en la otra ecuación

10x+3z=19

 10x+3[(16-7x)/3]=19

 10x+(16-7x)=19

 10x+16-7x=19

 10x-7x=19-16

 3x=3

 x=1

Como ya tenemos que  x=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar  z

z=(16-7x)/3 \hspace{1cm} z=(16-7\cdot 1)/3 \hspace{1cm} z=9/3 \hspace{1cm} z=3

Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso y

y=2x+2z-6 \hspace{1cm} y=2\cdot 1+2\cdot 3-6 \hspace{1cm} y=2

 

Problemas comunes resueltos con sistemas de ecuaciones

 

1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156€ por 24\ l de leche, 6\ kg de jamón serrano y 12\ l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1\ l de aceite cuesta el triple que 1\ l de leche
y que 1\ kg de jamón cuesta igual que 4\ l de aceite más 4\ l de leche.

 

Declaramos las variables

Leche:  x

Jamón:  y

Aceite:  z

Cada oración nos da una ecuación con lo que se forma el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases}24x+6y+12z=156  \\ z=3x \\ y=4z+4x \end{cases}

En este caso, dos de nuestras ecuaciones tienen variables ya despejadas (Ecuación 2 y 3). Sustituimos el valor de z de la segunda ecuación en la tercera.

y=4z+4x \hspace{2cm} y=4\cdot 3x +4x \hspace{2cm} y=16x

Sustituimos el valor de y y de z en la primera ecuación

24x+6y+12z=156

24x+6\cdot 16x+12\cdot 3x =156

24x+96x+36x =156

156x =156

x =1

Utilizo mis ecuaciones despejadas de y y de z para obtener su valor

z=3x \hspace{2cm} z=3\cdot 1 \hspace{2cm} z=3

y=16x \hspace{2cm} y=16\cdot 1 \hspace{2cm} y=16

Finalmente

x=1 \hspace{2cm} y=16 \hspace{2cm} x=3

Esto quiere decir que los precios son

Leche 1 €

Jamón 16 €

Aceite 3 €

 

 

2 Un videoclub está especializado en películas de tres tipos:

  • Infantiles
  • Oeste americano
  • Terror

Se sabe que:

El 60\% de las películas infantiles más el 50\% de las del oeste representan
el 30\% del total de las películas.

El 20\% de las infantiles más el 60\% de las del oeste más del 60\% de las de
terror al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

 

A cada elemento del ejercicio se le asigna una variable.

Infantiles:  x

Oeste Americano:  y

Terror:   z

De la redacción del problema obtengo el sistema de ecuaciones lineales de 3x3

\displaystyle \begin{cases}\frac{60}{100}x+\frac{50}{100}y=\frac{30}{100}(x+y+z)  \\ \frac{20}{100}x+\frac{60}{100}y+\frac{60}{100}z=\frac{1}{2}(x+y+z) \\ y=x+100 \end{cases}

Reescribimos y simplificamos primer ecuación

\displaystyle \frac{60x}{100} + \frac{50y}{100} -\frac{30x}{100} - \frac{30y}{100}-\frac{30z}{100} = 0

Multiplicamos toda la ecuación por 100 para deshacernos del único denominador y simplificamos la expresión obtenienda:

60x+ 50y-30x - 30y - 30z = 0

60x - 30x + 50y - 30y - 30z = 0

30x + 20y - 30z = 0

Dividimos por 10 y obtenemos:

3x + 2y - 3z = 0

Tomamos la segunda ecuación y seguimos los mismos pasos:

\displaystyle \frac{20x}{100} + \frac{60y}{100} + \frac{60z}{100}=\frac{x}{2} + \frac{y}{2}+\frac{z}{2}

Para tener el mismo denominador común, multiplicamos las fracciones del lado derecho por \displaystyle \frac{50}{50} y obtenemos:

\displaystyle \frac{20x}{100} + \frac{60y}{100} + \frac{60z}{100}=\frac{50x}{100} + \frac{50y}{100}+\frac{50z}{100}

Nos deshacemos del denominador y simplificamos:

\displaystyle 20x + 60y + 60z  - 50x - 50y - 50z=0

\displaystyle -30x + 10y + 10z  =0

Dividimos la ecuación por 10 y obtenemos:

\displaystyle -3x + y + z  =0

Usando las versiones simplificadas de la primera y la segunda ecuación, formamos el siguientes sistema:

\displaystyle \begin{cases}3x + 2y - 3z = 0 \\ -3x + y + z  =0 \\ y=x+100 \end{cases}

Como ya tenemos una variable despejada en una de las ecuaciones, la usamos para sustituir  el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última obtenida por 3.

  • 3x + 2y - 3z = 0

3x + 2(x+100) - 3z = 0

3x + 2x+ 200 - 3z = 0

5x-3z=-200

  • -3x + y + z  =0

-3x + (x+100) + z  =0

-3x + x+100 + z  =0

-2x+z=-100

De lo que resulta un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2

\begin{cases}5x-3z=-200 \\ -2x+z=-100 \end{cases}

Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. La más sencilla en este caso es la segunda con la variable z.

-2x+z=-100 \hspace{2cm} z=2x-100

Con este despeje sustituyo en la otra ecuación

5x-3z=-200

 5x-3(2x-100)=-200

 5x-6x+300=-200

 200+300=-5x+6x

 500=x

Como ya tenemos que  x=500, utilizo el último despeje que usé para encontrar  z

z=2x-100 \hspace{1cm} z=2\cdot 500-100 \hspace{1cm} z=1000-100 \hspace{1cm} z=900

Ahora tomo el primer despeje que hice, el de la variable que me falta, en este caso y

y=x+100 \hspace{1cm} y=500+100 \hspace{1cm} y=600

Finalmente concluímos que hay

Infantiles 500 películas

Oeste 600 películas

Terror 900 películas

 

 

3 Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 \text{cm}.

Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos.
Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

 

grafica problema geometrico de ecuaciones lineales

De hacer un bosquejo de la figura, y usar una variable para cada radio de las 3 circunferencias, tenemos el sistema

\begin{cases}x+y=26  \\ x+z=34 \\ y+z=28 \end{cases}

Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar. Despejaré en este caso la variable x de la primera ecuación

x+y=26 \hspace{2cm} x=26-y

Utilizo este despeje para sustituir en las otras 2 ecuaciones

  •  x+z=34

 (26-y)+z=34

-y+z=34-26

-y+z=8

  • y+z=28

En este caso la ecuación no tiene variable x, entonces la dejamos tal cual.

De esto tengo un nuevo sistema de ecuaciones de 2x2

\begin{cases}-y+z=8 \\ y+z=28 \end{cases}

Aquí tenemos que aplicar nuevamente el método de sustitución, es decir, elegir una ecuación y una variable para despejar. Una de las más sencilla en este caso es la segunda con la variable z.

y+z=28 \hspace{2cm} z=28-y

Con este despeje sustituyo en la otra ecuación

-y+z=8

 -y+(28-y)=8

 -y+28-y=8

 28-8=2y

 20=2y

 10=y

Como ya tenemos que  y=10, utilizo el último despeje que usé para encontrar  z

z=28-y \hspace{1cm} z=28-10 \hspace{1cm} z=18

Ahora tomo el primer despeje que hice, el de la variable que me falta, en este caso x

x=26-y \hspace{1cm} x=26-10 \hspace{1cm} x=16

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗