Método de sustitución para sistema de ecuaciones

 

El método de sustitución, como su nombre lo dice consiste en sustituir el valor de
una variable obtenido en una  de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación.

 

Los sistemas de ecuaciones tienen una característica o regla muy importante:

Cuando un sistema de ecuaciones tiene mas incógnitas(variables) que numero
de
ecuaciones, entonces el sistema tiene soluciones infinitas,  es decir, cada
variable puede tomar diferentes valores, tal que cumplan siempre con la ecuación,
la cantidad de valores que puede tomar cada  variable es infinita.

 

Ejemplo:

 

Dada la ecuación :    x+y= 4   Observamos que se trata de una ecuación con dos
variables.

Rápidamente podemos darnos cuenta de algunos de  los valores que son solución:

x=1 y=3 ;  x=0 y=4 ; x=2 y=2 ; x=3 y=1 ; x=-10 y=14 ;

 

Notemos, que existe una cantidad infinita de valores que podemos asignar a x y y para
que sean solución.

 

Por otra parte, cuando el sistema tiene mas ecuaciones que incógnitas, entonces
el sistema tiene una única solución.  Ejemplo:

 

\left\lbrace x+y=4 \atop x+2y=6 \right.

 

A x+y=4 la llamaremos "Ecuacion I"
y x+2y=6 es la "Ecuacion II"

 

Despejamos cualquiera de las 2 variables en una de las 2 ecuaciones, (Siempre
debemos buscar la que requiera menos trabajo algebraico para  nuestra comodidad),
en este caso, despejaremos x en la Ecuación I

 

x+y=4  \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=4-y

A eso se le llama "Valor de x respecto a y "

 

Sustituimos el valor despejado en la otra ecuación, en este caso, sustituimos el valor de
x en la Ecuación II

 

x+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  (4-y)+2y=6

 

Como podemos notar, ahora en la ecuación solo esta la variable y . Esta ecuación se
puede simplificar y despejar para obtener el valor de y.

 

(4-y)+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \   4+y=6 \rightarrow y=6-4 \rightarrow y=2

 

Una vez que tengamos el valor de una de las variables, en este caso el de y, podemos
sustituirlo en cualquiera de las 2 ecuaciones para encontrar el valor  de la otra variable,
en este caso x.

 

x+(2)=4 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=2
x+2(2)=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x+4=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=6-4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

 

Y así obtenemos el valor de nuestras variables en un sistema de ecuaciones y notamos que
la solución es ÚNICA.

 

Ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 3 variables

 

 

1

 

Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas

 

Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas

Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en más bajo,
en este caso sería la x de tercera ecuación.

 

Ordenando el sistema de ecuaciones

 

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el
término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda
ecuación el resultado de la operación:

 

E'2 = E2 − 3E1

Método de eliminación

 

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar
el término en x.

 

E'3 = E3 − 5E1

Método de eliminación. 2

 

Nuevo sistema de ecuaciones

 

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción
y eliminar el término en y.

 

E''3 = E'3 − 2E'2

Método de eliminación 3

 

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

 

Sistema Escalonado

 

Encontrar las soluciones.

 

z = 1

− y + 4 ·1 = −2        y = 6

x + 6 −1 = 1          x = −4

 

 

2

 

 Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas. 2

 

 Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas. 2

Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente más bajo,
en este caso sería la x de la segunda ecuación.

 

Ordenando el sistema de ecuaciones 2

 

 

Método de eliminación 4

 

Operación elemental de filas

 

Método de eliminación 5

 

Nuevo sistema de ecuaciones 2

 

 

Valor de la variable z

 

Nuevo sistema de ecuaciones 3

 

Valor de la variable y

 

Valor de la variable x

 

 

3

 

Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas. 3

 

Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas. 3

Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en más bajo,
en este caso sería la z de la segunda ecuación.

 

Ordenando el sistema de ecuaciones. 3

 

Operación elemental de filas

 

Operación elemental de filas

 

Nuevo sistema de ecuaciones 4

 

 Valor de la variable x. 3

 

Nuevo sistema de ecuaciones 5

 

Valor de la variable y. 3

 

Valor de la variable z. 3

 

Problemas comunes resueltos con sistemas de ecuaciones

 

1

 

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de
leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio
de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche
y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

 

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de
leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio
de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche
y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

Leche:   x

Jamón:  y

Aceite:   z

 

Sistema de enguachines de 3 cauciones con 3 incógnitas. 4

 

Sustituimos el valor de z en la tercera ecuación

Sustitución de una variable en el sistema de ecuaciones

 

Sustituimos el valor de y y de z en la primera ecuación

Sustitución de 2 variables en una ecuación del sistema

Resultado: Valor de x,y,z

 

Leche 1 €

Jamón 16 €

Aceite 3 €

 

 

2

 

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos:
-Infantiles
-Oeste americano
-Terror.

Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan
el 30% del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de
terror al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

 

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos:

-Infantiles
-Oeste americano
-Terror.

Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan
el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de
terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
 
Halla el número de películas de cada tipo.
 
A cada elemento del ejercicio se le asigna una variable.

Infantiles:  x

Oeste Americano:  y

Terror:   z

 

Sistema de ecuaciones que representan el problema propuesto

 

Simplificación del sistema de ecuaciones

 

 

Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última obtenida por 3.

 

Valor de la variable x. 5

 

Resultado: Valor de x,y,z

 

Infantiles 500 películas

Oeste 600 películas

Terror 900 películas

 

 

3

 

Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm.

Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos.
Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

 

Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm.

Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos.

Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

 

Circunferencias que representan el problema propuesto

 

 

Sistema de ecuaciones para resolver el problema de la circunferencia

 

Operaciones elementales de filas

 

Valor de la variable z. 6

 

Valor de la variable y. 6

 

Valor de la variable x. 6

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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