Resuelve las siguientes cuestiones:

1 Sabiendo que la ecuación x^2 - 8x + a =0 tiene dos soluciones y que una de ellas es igual a 3, determina el parámetro a.

a =

Sabemos que una solución de la ecuación es x=3, por lo cual sustituyendo en la ecuación planteada tenemos lo siguiente:

    \begin{align*} x^2 - 8x + a =0 &\Rightarrow 3^2-8\cdot3+a=0 \\ &\Rightarrow 9-24+a=0 \\ &\Rightarrow a=15 \end{align*}

 

2Sabiendo que la ecuación x^2 - 4x + m = 0 tiene dos soluciones y que una de ellas es x_1 = -2, encuentra la otra solución sin calcular el parámetro m.

x_2= 

Llamemos a la otra solución x_2:

La suma S de las soluciones de la ecuación de segundo grado es   S = x_ 1 + x_2 = \frac{-b}{a} , por lo tanto tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*} -2 + x_2 = \frac{-(-4)}{1}\Rightarrow x_2=6\end{equation*}

 

3 Dada la ecuación x^2 -bx + c = 0. Determinar los valores de los coeficientes b y c, sabiendo que sus soluciones son x_1 = 0 y x_2 = 2.

b = c =

De la propiedad de la suma tenemos que

     \[ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-b}{1} = -b \]

Sabemos que x_1 = 0 y x_2 = 2, entonces

     \[ 0 + 2 = - b \quad \Rightarrow \quad b = -2 \]

Por otro lado, de la propiedad del producto

     \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{1} = c \]

entonces

     \[ 0 \cdot 2 = c \quad \Righarrow \quad c = 0 \]

 

4 Encontrar las raíces de la ecuación  x^2 - (a+b)x + ab = 0.

x_1 = x_2 =

Calculamos las soluciones mediante la fórmula:

    \[ \begin{aligned} &x=\frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^{2}-4 a b}}{2}= \\ &=\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a b-4 a b}}{2}= \\ &=\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-2 a b}}{2}= \\ &=\frac{(a+b) \pm \sqrt{(a-b)^{2}}}{2}= \\ &=\frac{(a+b) \pm(a-b)}{2} \end{aligned}\]

Por tanto, una solución es

     \[ x=\frac{a+b+a-b}{2}=\frac{2 a}{2}=a \]

Y la otra es

     \[ x=\frac{a+b-a+b}{2}=\frac{2 b}{2}=b \]

 

5 Encontrar los coeficientes de la ecuación de segundo grado que tenga por raíces x_1 = 3 y  x_2 = 4 .

a = b = c =

Tenemos que si conocemos las raíces x_1, x_2 de una ecuación de segundo grado entonces podemos escribir esta como

     \[ x^2 - Sx + P = 0 \]

donde

     \[ \begin{align*} S &= x_1 + x_2 \\ P &= x_1 \cdot x_2 \end{align*} \]

En este caso tenemos x_1 = 3 y  x_2 = 4 , entonces

    \[ x^2 - (3 + 4)x + (3 \cdot 4) = x^2 -7x + 12 \]

 

6 Encontrar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones suman 5 y cuyo producto es -24.

a = b = c =

Si aplicamos lo obtenido en el ejercicio 4, tendremos que directamente que la ecuación es

     \[ x^2 - 5x - 24 = 0 \]

 

7 Sea x^2 + bx + 10 =0 ecuacion de segundo grado con solucion x_1 = 5. Encontrar el valor de  b .

b =

Sabemos que una solución de la ecuación es x=5, por lo cual sustituyendo en la ecuación planteada tenemos lo siguiente:

    \begin{align*} x^2 + bx + 10 =0 &\Rightarrow 5^2+5b + 10 =0 \\ &\Rightarrow 35+5b=0 \\ &\Rightarrow b=-7 \end{align*}

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗