Marta

20 diciembre 2019

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Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales

 

1\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 & = 25\\ x + y & = 7\;\; \end{matrix} \right.

Tenemos el siguiente sistema no lineal:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 & = 25\\ x + y & = 7\;\; \end{matrix} \right.

 

Resolveremos el sistema por sustitución. Primero, despejamos una incógnita de alguna de las ecuaciones, preferentemente de la de primer grado.

 

\displaystyle y = 7 - x

 

Después, sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:

 

\displaystyle x^2 + (7 - x)^2 = 25

 

Ahora, resolvemos la ecuación resultante:

 

\displaystyle x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \qquad \to \qquad 2x^2 - 14x + 24 = 0

 

Luego, al dividir por 2, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática,

 

\displaystyle x^2 - 7x + 12 = 0

 

La solución de esta ecuación se obtiene mediante la fórmula general,

 

\displaystyle x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48} }{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

 

Por lo que las soluciones a la ecuación cuadrática son:

 

\displaystyle x_1 = 4, \quad x_2 = 3

 

Cada uno de los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación. De este modo, se obtienen los valores correspondientes de la otra incógnita.

 

    \begin{align*} x_1 = 4 \qquad \to & \qquad y_1 = 7 - 4 = 3\\ x_2 = 3 \qquad \to & \qquad y_2 = 7 - 3 = 4 \end{align*}

 

Por tanto, las soluciones al sistema son

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 4\\ y_1 = 3 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 3\\ y_2 = 4 \end{matrix} \right.

 

 

2\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + y & = 7\;\;\\ x \cdot y & = 12 \end{matrix} \right.

Nuestro sistema de ecuaciones ahora es

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + y & = 7\;\;\\ x \cdot y & = 12 \end{matrix} \right.

 

De nuevo, vamos a resolver el sistema por sustitución. Primero, despejamos la y de la primera ecuación:

 

y = 7 - x

 

Después, sustituimos el valor de y en la segunda ecuación:

 

x\cdot (7 - x) = 12 \qquad \to \qquad 7x - x^2 = 12

 

Es decir,

 

x^2 - 7x + 12 = 0

 

Ahora, resolvemos la ecuación resultante utilizando la fórmula general

 

\displaystyle x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48} }{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

 

Así, las soluciones de la ecuación cuadrática son:

 

\displaystyle x_1 = 4, \quad x_2 = 3

 

Por último, sustituimos en la otra ecuación cada uno de los valores que acabamos de obtener. Así, obtendremos los valores correspondientes de la otra incógnita:

 

    \begin{align*} x_1 = 4 \qquad \to & \qquad y_1 = 7 - 4 = 3\\ x_2 = 3 \qquad \to & \qquad y_2 = 7 - 3 = 4 \end{align*}

 

De esta manera, las soluciones al sistema no lineal son:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 4\\ y_1 = 3 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 3\\ y_2 = 4 \end{matrix} \right.

 

3\displaystyle \left\{ \begin{matrix}x^2 + y^2 & = 169\\ x + y & = 17\;\; \end{matrix} \right.

En este caso, nuestro sistema está dado por:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 & = 169\\ x + y & = 17\;\; \end{matrix} \right.

 

De nuevo, el sistema lo resolveremos utilizando sustitución. Primero, despejamos la x de la segunda ecuación:

 

x = 17 - y

 

Sustituimos el valor de x en la primera ecuación

 

(17 - y)^2 + y^2 = 169 \qquad \to \qquad 289 - 34y + y^2 + y^2 = 169

 

Agrupamos términos semejantes y, después, dividimos por 2:

 

2y^2 - 34y + 120 = 0 \qquad \to \qquad y^2 - 17y + 60 = 0

 

Resolvemos la ecuación resultante,

 

\displaystyle y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240} }{2} = \frac{17 \pm 7}{2}

 

Por lo que la ecuación cuadrática tiene soluciones

 

\displaystyle y_1 = 12, \quad y_2 = 5

 

Sustituimos en la otra ecuación cada uno de los valores obtenidos. De esta manera, obtenemos los valores de la otra incógnita,

 

    \begin{align*} y_1 = 12 \qquad \to & \qquad x_1 = 17 - 12 = 5\\ y_2 = 5 \qquad \to & \qquad x_2 = 17 - 5 = 12 \end{align*}

 

Por tanto, las soluciones son:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 5\\ y_1 = 12 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 12\\ y_2 = 5 \end{matrix} \right.

 

 

4\displaystyle \left\{ \begin{matrix}y^2 - 2y + 1 & = x\\ \sqrt{x} + y & = 5 \end{matrix} \right.

Tenemos ahora el sistema,

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} y^2 - 2y + 1 & = x\\ \sqrt{x} + y & = 5 \end{matrix} \right.

 

Resolvemos el sistema, de nuevo, por sustitución. Ya tenemos despejada la x en la primera ecuación, de manera que sustituimos el valor de x en la segunda ecuación.

 

\displaystyle \sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5 \qquad \to \qquad \sqrt{y^2 - 2y + 1} = 5 - y

 

Como es una ecuación radical elevamos al cuadrado en ambos lados de la ecuación (observa que primero dejamos la raíz sola del lado izquierdo de la ecuación):

 

\displaystyle \left(\sqrt{y^2 - 2y + 1}\right)^2 = \left(5 - y\right)^2

 

Luego,

 

\displaystyle y^2 - 2y + 1 = 25 - 10y + y^2 \qquad \to \qquad 8y = 24

 

Por lo que y igual a 3. Comprobamos la solución de la ecuación radical

 

\displaystyle \sqrt{9 - 6 + 1} + 3 = 5 \qquad \to \qquad \sqrt{4} + 3 = 5

 

Es decir, 5=5, por lo que y igual a 3 sí es solución de la ecuación radical. Sustituimos, en la otra ecuación, el valor obtenido. Así, obtenemos el valor de la otra incógnita:

 

\displaystyle x = 3^2 - 2\cdot 3 + 1 = 4

 

Así, nuestra solución es:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 3 \end{matrix} \right.

 

5\displaystyle \left\{ \begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} & = 13\\ & \\ \displaystyle\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & = 1\;\; \end{matrix} \right.

Nuestro sistema ahora está dado por:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} & = 13\\ & \\ \displaystyle\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & = 1\;\; \end{matrix} \right.

 

Para resolver el sistema en primer lugar vamos a realizar dos cambios de variable:

 

\displaystyle \frac{1}{x} = u, \qquad \frac{1}{y} = v

 

Sustituimos los cambios de variable en el sistema,

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} u^2 + v^2 & = 13\\ u - v & = 1\;\; \end{matrix} \right.

 

Ya tenemos un sistema que es más fácil de resolver. De nuevo resolveremos este sistema por sustitución. Despejamos u de la segunda ecuación, lo que nos da u = 1 + v. Si sustituimos en la primera ecuación, tenemos

 

\displaystyle (1 + v)^2 + v^2 = 13 \qquad \to \qquad 1 + 2v + v^2 + v^2 = 13

 

Que, al igualar a cero y dividir por 2, obtenemos,

 

\displaystyle v^2 + v - 6 = 0

 

Resolvemos la ecuación resultante por medio de la fórmula general,

 

\displaystyle v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24} }{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

 

Por lo que tenemos

 

\displaystyle v_1 = 2 \qquad \to \qquad u_1 = 3

\displaystyle v_2 = -3 \qquad \to \qquad u_2 = -2

 

Deshacemos el cambio y cada uno de los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita

 

\displaystyle \frac{1}{x_1} = 3 \quad \to \quad x_1 = \frac{1}{3}; \qquad \frac{1}{x_2} = -2 \quad \to \quad x_2 = -\frac{1}{2}

\displaystyle \frac{1}{y_1} = 2 \quad \to \quad y_1 = \frac{1}{2}; \qquad \frac{1}{y_2} = -3 \quad \to \quad y_2 = -\frac{1}{3}

 

Así, las soluciones son:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 1/3\\ y_1 = 1/2 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = -1/2\\ y_2 = -1/3 \end{matrix} \right.

Problemas que utilizan sistemas de ecuaciones no lineales

 

6 El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

 

Para resolver este problema, primero debemos expresarlo de manera algebraica. Observemos primero que "el producto de dos números es 4" se puede expresar algebraicamente como x\cdot y = 4. Similarmente, "la suma de sus cuadrados (de estos dos números) es 17" se expresa algebraicamente como x^2 + y^2 = 17. Por lo tanto, obtenemos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x \cdot y & = 4\;\;\\ x^2 + y^2 & = 17 \end{matrix} \right.

 

Resolveremos por sustitución. Primero, despejamos x de la primera ecuación,

 

\displaystyle x = \frac{4}{y}

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

 

\displaystyle \left( \frac{4}{y} \right)^2 + y^2 = 17 \qquad \to \qquad \frac{16}{y^2} + y^2 = 17

 

Es decir,

 

\displaystyle 16 + y^4 = 17y^2 \qquad \to \qquad y^4 - 17y^2 + 16 = 0

 

Por lo que obtenemos una ecuación bicuadrada, la cual debemos resolver. Para resolverla, utilizamos el cambio de variable t = y^2. Al sustituir este cambio de variable obtenemos,

 

t^2 - 17t + 16 = 0

 

El cual resolvemos utilizando la fórmula general,

 

\displaystyle t = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 64} }{2} = \frac{17 \pm \sqrt{225} }{2} = \frac{17 \pm 15}{2}

 

De modo que las soluciones de la ecuación bicuadrada son

 

\displaystyle t_1 = 16, \quad t_2 = 1

 

Esto implica que

 

\displaystyle t_1 = y^2 = 16 \qquad \to \qquad y = \pm 4

\displaystyle t_2 = y^2 = 1 \qquad \to \qquad y = \pm 1

Es decir, tenemos 4 posibles valores para y. Por lo tanto, al sustituir estos valores en la primera ecuación, tenemos,

 

    \begin{align*} y_1 = 4 \qquad \to & \qquad x_1 = 1\\ y_2 = -4 \qquad \to & \qquad x_2 = -1\\ y_3 = 1 \qquad \to & \qquad x_3 = 4\\ y_4 = -1 \qquad \to & \qquad x_4 = -4 \end{align*}

 

Así, las 4 soluciones del problema son:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 1\\ y_1 = 4 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = -1\\ y_2 = -4 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_3 = 4\\ y_3 = 1 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_4 = -4\\ y_4 = -1 \end{matrix} \right.

 

7 Halla una fracción equivalente a cinco séptimos cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184

Halla una fracción equivalente a cinco séptimos cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.

 

Para expresar algebraicamente este problema, la fracción equivalente tendrá como numerador x y como denominador y. De este modo, el problema se resuelve utilizando el siguiente sistema no lineal:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{x}{y} & =\displaystyle \frac{5}{7}\quad\\ & \\ x^2 + y^2 & = 1184 \end{matrix} \right.

 

Resolvemos el sistema por sustitución. Despejamos primero la x de la primera ecuación:

 

\displaystyle x = \tfrac{5}{7}y

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

 

\displaystyle \left( \tfrac{5}{7}y \right)^2 + y^2 = 1184 \qquad \to \qquad \tfrac{25}{49}y^2 + y^2 = 1184

 

Así

 

\displaystyle 25y^2 + 49y^2 = 58016 \qquad \to \qquad 74y^2 =58016

 

Es decir,

 

\displaystyle y^2 = \frac{58016}{74} = 784

 

Resolvemos esta ecuación de segundo grado,

 

\displaystyle y^2 = 784 \qquad \to \qquad y = \pm 28

 

Luego, sustituimos en la otra ecuación cada uno de los valores obtenidos:

 

    \begin{align*} y_1 = 28 \qquad \to & \qquad x_1 = 20\\ y_2 = -28 \qquad \to & \qquad x_2 = -20 \end{align*}

 

Por lo tanto, las fracciones equivalentes a cinco séptimos son

 

\displaystyle \frac{20}{28} \qquad \text{y} \qquad \frac{-20}{-28}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗