Definición de la ecuación de primer grado

 

Una ecuación de primer grado (también conocida como ecuación lineal, ya que si se elabora la gráfica de la ecuación, se obtendría una linea recta) es una igualdad de dos expresiones algebraicas, donde están presentes una o mas incógnitas (todas ellas con exponente 1), cuyos valores pueden ser relacionados a través de operaciones aritméticas.

 

 

Ejercicios de ecuaciones lineales

1 2x=6

 

2x=6

Despejamos la incógnita, dividiendo en los dos miembros por 2. También, de manera práctica, podemos decir que el 2 que está multiplicando en el primer miembro pasa dividiendo en el segundo.

 

\displaystyle x=\frac{6}{2}\hspace{2cm} x=3

 

2 2x-3=6+x

 

2x-3=6+x

Agrupamos los términos semejantes, tenemos que sumar en los dos miembros −x y 3, de modo que obtenemos una ecuación equivalente.

 

2x-x-3+3=6+x-x+3

 

En la práctica, se suele decir que si un término está sumando (3) en un miembro pasa al otro miembro restando (−3) y si estaba restando (−x) pasa al otro miembro sumando (x).   Sumamos:

 

2x-x=6+3

x=9

 

3 2(2x-3)=6+x

 

2(2x-3)=6+x

Utilizamos la propiedad distributiva para operar el  paréntesis, es decir, multiplicar por 2 cada termino algebraico que esta dentro del paréntesis, así del lado izquierdo tenemos:  2(2x-3)= 2(2x) +2(-3) = 4x - 6

 

4x-6=6+x

 

Agrupamos términos semejantes, la x que está sumando pasa al otro miembro restando y el 6 que está restando pasa sumando.    Sumamos:

 

4x-x=6+6 \hspace{2cm} 3x=12

 

Despejamos la incógnita, el 3 que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo

 

\displaystyle x=\frac{12}{3} \hspace{2cm} x=4

 

4 \displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

 

\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 2 y 6

 

\text{m.c.m}(6,2)=6

 

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el m.c.m, en este caso 6, y obtenemos:

 

x-1-3(x-3)=-6

 

Multiplicamos usando la propiedad distributiva para resolver el paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

 

x-1-3x+9=-6 \hspace{2cm} x-3x=-6-9+1 \hspace{2cm} -2x=-14

 

Despejamos la incógnita:

 

\displaystyle 2x=14 \hspace{2cm} x=\frac{14}{2} \hspace{2cm} x=7

 

5 \displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+19

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+19

Multiplicamos 3/4 por cada termino dentro del paréntesis (propiedad distributiva) para resolver el paréntesis  y simplificamos:

 

\displaystyle \frac{6}{4}x+\frac{12}{4}=x+19 \hspace{2cm} \frac{3}{2}x+3=x+19

 

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 2 para así eliminar los  denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

 

3x+6=2x+38 \hspace{2cm} 3x-2x=38-6 \hspace{2cm} x=32

 

6 4(x-10)=-6(2-x)-6x

 

4(x-10)=-6(2-x)-6x

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 4 y el segundo por −6.

 

4x-40=-12+6x-6x

 

Agrupamos términos semejantes

 

4x-6x+6x=-12+40

 

Sumamos los términos semejantes y despejamos

 

4x=28 \hspace{2cm} x=7

 

7 2(x+1)-3(x-2)=x+6

 

2(x+1)-3(x-2)=x+6

Usando la propiedad distributiva para resolver los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 2 y el segundo por −3.

 

2x+2-3x+6=x+6

 

Agrupamos términos semejantes

 

2x-3x-x=6-2-6

 

Sumamos los términos semejantes y despejamos

 

-2x=-2 \hspace{2cm} x=1

 

8 \displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 4, 36 y 9

 

4=2^2 \hspace{2cm} 36=2^2\cdot 3^2 \hspace{2cm} 9=3^2

 

\text{m.c.m}(4,36,9)=36

 

Dividimos el común denominador entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

 

9(x-1)-(x-5)=4(x+5)

 

Usando la propiedad distributiva para operar los paréntesis, multiplicamos el 1º por 9, el segundo por −1 y el tercer por 4.

 

9x-9-x+5=4x+20

 

Agrupamos términos semejantes

 

9x-x-4x=20+9-5

 

Sumamos los términos semejantes y despejamos

 

4x=24 \hspace{2cm} x=6

 

9 \displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

 

\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 7,3,14 y 6.

 

14=2\cdo 7 \hspace{2cm} 6=2\cdot 3

 

\text{m.c.m}(7,3,14,6)=42

 

Dividimos el común denominador entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

 

6(3x+1)-14(2-4x)=3(-5x-4)+49x

 

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 6 y el segundo por −14, y el tercer por 3.

 

18x+6-28+56x=-15x-12+49x

 

Agrupamos términos semejantes

 

18x+56x+15x-49x=-12-6+28

 

Sumamos los términos semejantes y despejamos

 

40x=10 \hspace{2cm} 4x=1 \hspace{2cm} x=\frac{1}{4}

 

10 \displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

 

\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

Para que se cumpla la igualdad entre las dos fracciones se tiene que cumplir que el producto de extremos sea igual al producto de medios.

O si se prefiere, también se puede hallar el m.c.m. que es (x-7)\cdot (x-2)  porque los dos binomios son irreducibles. Posteriormente dividimos el  m.c.m. por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

 

5(x-2)=3(x-7)

 

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 5 y el segundo por 3.

 

5x-10=3x-21

 

Sumamos los términos semejantes

 

5x-3x=-21+10

 

Despejamos la incógnita:

 

\displaystyle 2x=-11 \hspace{2cm} x=-\frac{11}{2}

 

11 \displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

 

\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

Para que se cumpla la igualdad entre las dos fracciones se tiene que cumplir que el producto de extremos sea igual al producto de medios.

O si se prefiere, también se puede hallar el m.c.m. que es \displaystyle (x-3)\cdot (x-2) porque los dos binomios son irreducbles. Posteriormente dividimos el m.c.m. por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

 

\displaystyle 4(x-2)=5(x-3)

 

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 4 y el segundo por 5.

 

\displaystyle 4x-8=5x-15

 

Agrupamos términos semejantes

 

\displaystyle -8+15=5x-4x

 

Despejamos la incógnita:

 

\displaystyle x=7

 

12 \displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right) =3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

 

\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right) =3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 6, el segundo por 3 y el tercer por 3/8.

 

Es necesario recordar que cuando multiplicamos un numero entero por una fracción, se resuelve multiplicando el entero por el numerador de la fracción y el denominador queda igual.

 

\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

 

Aplicamos la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis en los numeradores

 

\displaystyle \frac{6x+6}{8}-\frac{12x-18}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

 

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 4, 8 y 16.

 

\displaystyle 4=2^2 \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 16=2^4

\displaystyle \text{m.c.m}(8,16,4)=16

 

Dividimos el común denominador entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

 

\displaystyle 2(6x+6)-(12x-18) =36x-12-18x+12

 

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 2 y el segundo por −1 y simplificamos.

 

\displaystyle 12x+12-12x+18=36x-12-18x+12

 

Agrupamos términos semejantes

 

\displaystyle 12+18=36x-18x

 

Despejamos la incógnita:

 

\displaystyle 18x=30 \hspace{2cm} 3x=5 \hspace{2cm} x=\frac{5}{3}

 

13 \displaystyle 2-\left[-2\cdot (x+1) -\frac{x-3}{2}\right] =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

\displaystyle 2-\left[-2\cdot (x+1) -\frac{x-3}{2}\right] =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

En este caso es conveniente desarrollar primero la operación   -2(x+1). Al resolverla, podemos cambiar el corchete por un paréntesis.

 

\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right) =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Operamos los términos dentro del paréntesis por −1 para poder quitar  el signo negativo y el paréntesis de la ecuación:

 

\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2} =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 12.

 

\displaystyle 12=2^2\cdot 3

\displaystyle  \text{m.c.m}(2, 3, 12) = 12

 

\displaystyle 24+24x+24+6\cdot (x-3)=8x-(5x-3)+36x

 

Usando la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis, multiplicamos el primer paréntesis por 6 y el segundo por −1:

 

\displaystyle 24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36x

 

Agrupamos términos semejantes:

 

\displaystyle 24x+6x-8x+5x-36x=3-24-24+18

 

Sumamos:

 

\displaystyle -9x=-27

Dividimos los dos miembros por: −9

 

\displaystyle \frac{-9x}{-9}=\frac{-27}{-9} \hspace{2cm} x=3

14 \displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right] +1=x

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right] +1=x

Operamos los términos dentro del paréntesis por −1 para poder quitar el signo negativo y el paréntesis de la ecuación, ahora podemos sustituir el corchete por un paréntesis.

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left(x-1+\frac{x-2}{3}\right)+1=x

 

Usamos la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis.

Es necesario recordar que cuando multiplicamos una fracción por otra, se debe multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

 

\displaystyle \frac{2}{3}x -\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1=x

 

Para poder quitar los denominadores, es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 3 y 9.

 

\displaystyle 9=3^2

\displaystyle \text{m.c.m}(3,9)=9

 

\displaystyle 6x-6+2x-4+9=9x

 

Agrupamos términos semejantes:

 

\displaystyle 6x+2x-9x=6+4-9

 

Sumamos y despejamos:

\displaystyle -x=1 \hspace{2cm} x=-1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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