¡Bienvenidos a nuestra página dedicada a problemas y ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado! En esta ocasión, exploraremos el fascinante mundo de las ecuaciones cuadráticas y te proporcionaremos las herramientas necesarias para comprender y resolver estos fundamentales problemas matemáticos.
Las ecuaciones de segundo grado son una parte fundamental de las matemáticas y tienen una amplia aplicación en diversos campos, como la física, la economía y la ingeniería. Estas ecuaciones se caracterizan por tener una incógnita elevada al cuadrado y pueden tener una o dos soluciones reales.
Aquí, exploraremos una amplia variedad de problemas, desde problemas de factorización hasta problemas de aplicación de la fórmula general, y te proporcionaremos explicaciones claras y detalladas para cada paso del proceso de resolución. También, utilizaremos estas técnicas para resolver situaciones del mundo real.
Nuestro objetivo es ayudarte a desarrollar tu comprensión de las ecuaciones de segundo grado, fortalecer tus habilidades de resolución de problemas y fomentar tu confianza en las matemáticas. ¡Así que prepárate para sumergirte en el emocionante mundo de las ecuaciones cuadráticas y descubrir todo lo que pueden ofrecerte!
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 
Puede resolverse utilizando la fórmula general o el método de factorización. Aplicando el método de factorización:
2
Aplicando el método de factorización:
3
Aplicando el método de factorización:
4
Aplicando el método de factorización:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 
Aplicando el método de factorización:
2
Se escribe el segundo miembro con un común denominador y se hace un producto alternado entre cada miembro por los denominadores. Después, se aplica el método de factorización:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
Aplicando el método de factorización, por ejemplo:
2
Aplicando el método de factorización:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
Primero se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve.
2 
Se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve por la fórmula general.
Hallar las raíces de:
1
Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de 
son 
Así:
Entonces, la factorización es 
Por tanto:
2
Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de 
son 
Así:
Entonces, la factorización es 
Al calcular el discriminante del trinomio, se concluye que no tiene raíces pues es negativo el resultado. Entonces sólo tiene una solución.
3
Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de 
son 
Así:
Entonces, la factorización es 
Se resuelve la ecuación cuadrática por la fórmula general:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
Se construye la matriz de coeficientes asociada al sistema y se reducen las columnas y renglones.
Entonces, 
Traduciendo la matriz última al sistema de ecuaciones asociado, se tiene que 
pues:
2
Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.
3
Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.
4
Se sustituye la expresión que representa a 
en la segunda ecuación. Después se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se resuelve.
Determinar el valor de 
para que las soluciones de la ecuación 
sean el mismo valor.
Se calcula el discriminante y se iguala a cero. Así, se obtiene una raíz doble.
Los valores posibles del coeficiente del término lineal son 
Hallar el valor de dos números cuya suma sea cinco y su producto 
Las parejas de números son 
y 
.
Determinar la edad de Pedro sabiendo que dentro de 
años tendra la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 
años.
Si se considera como la edad que tiene actualmente, hace años tenía 
y dentro de años tendrá 
:
Por tanto, Pedro tiene 
años.
Para cercar una finca rectangular de 
se han utilizado 
de malla ciclónica. Calcular las dimensiones de la finca.
Dividiendo entre dos la cantidad de malla utilizada se obtiene el semiperímetro de la finca, 
. Por tanto, el problema puede modelarse con las expresiones de la imagen:
La finca tiene dimensiones de 
y 
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 
Calcular la longitud de cada lado del tríángulo sabiendo que tiene un área de 
Las medidas de los lados del triángulo se obtienen multiplicando por un factor los lados del triángulo rectángulo de la imagen. A partir de la fórmula para calcular el área puede conocerse dicho factor.
Los lados del triángulo son 
y 
Un jardín rectangular de 
de largo por 
de ancho está rodeado por un camino de arena de ancho uniforme. Calcular la anchura de dicho camino si se sabe que tiene un área de 
Al considerar un ancho del camino de arena, se tiene un rectángulo más grande de dimensiones 
por 
, como lo indica la figura. Ahora, se expresa el área del camino de arena.
Por tanto, el camino tiene 
de largo.
Calcular las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 
sabiendo que es semejante a otro rectángulo de 
por 
Como el rectángulo de por 
es semejante al rectángulo de por 
también lo será el rectángulo cuya diagonal mide . Se asume, entonces, que sus lados son proporcionales por un factor , como lo muestra la imagen. Se aplica el teorema de Pitágoras y se halla el valor de la incógnita.
Por tanto, el rectángulo tiene 
de largo por 
de ancho.
Calcular dos números naturales cuya diferencia es dos y la suma de sus cuadrados es 
Dado que la diferencia de estos números es dos, si denota un número, el segundo será 
Los números son 
y 
Dos mangueras A y B llenan juntas una piscina en dos horas. A lo hace por sí sola en tres horas menos que B. Calcular cuántas horas tarda a cada una en llenar la piscina.
Si la manguera A tarda horas en llenar la piscina, la manguera B tardará 
horas en llenarla. Entonces, cada hora, A llevará llenada 
partes de la piscina llenada y B, 
partes. Como al usar ambas mangueras se llena la piscina por completo, se tiene que:
La manguera A tarda 
horas en llenar la piscina y la manguera B, 
horas.
Hallar dos números tales que su producto es cuatro y la suma de sus cuadrados es diecisiete.
Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.
Las parejas de números posibles son 
y 
Hallar una fracción equivalente a 
cuyos términos elevados al cuadrado sumen 
Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.
Las fracción que satisface lo solicitado es 
, pues en 
se cancelan los signos negativos y se obtiene la primera fracción.
El cliente de un supermercado ha pagado un total de 
por 
L de leche, kg de jamón serrano y L de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kilogramo de jamón cuesta lo mismo que comprar 
L de aceite más L de leche.
Se denotan con 
los costos de la leche, el jamón serrano y el aceite de oliva, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelve.
La leche tiene un costo de 
el litro, el jamón serrano de 
el kilogramo y el aceite de oliva, 
el litro.
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 
de las películas infantiles más el 
de las del oeste representan el 
del total de las películas.
El 
de las películas infantiles más el de las del oeste más del de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hallar el número de películas de cada tipo sabiendo que hay 
películas más del oeste que infantiles.
Se denotan con las películas infantiles, las del oeste y las de terror, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelte.
Simplificando el sistema de ecuaciones, se tiene
El videoclub tiene 
películas infantiles, 
del oeste y 
de terror.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Habéis cometido un error en el 2 de irracionales habéis puesto un 6 y es un 5
Una disculpa por que se brinca un paso pues el ejercicio es √x-1=5 y falto que √x=5+1, y aparece de repente √x=6.
Muy buenos ejercicios. Solamente una aclaración: en el problema 9 hay un error en la factorización del trinomio x2 – 28x + 169, los binomios serían: ( x – 21 )( x – 7 ) ; y no ( x – 21) ( x + 7 ). La ecuación tiene dos soluciones positivas, x = 21 y x = 21, pero la que da solución al problema es x = 21 por la condicionante «la edad que tenía hace 13 años»
Hola ya revise el ejercicio y la solución es (x-21)(x-7)=0, entonces los valores son x1=21, x=7, tal como lo indicas y no encontré el error que mencionas.
Factorización de un trinomio 2do grado
SRS. SUPERPROF.- CIENCIAS MATEMÁTICAS, REQUIERE DIFERENTES METODOLOGÍAS EN BIEN DE LOS EDUCANDOS. EL ESFUERZOS QUE VOSOTRO BRINDAN OBVIAMENTE ES EN BIEN DE NUESTRAS FUTURAS GENERACIONES. INFINITAS GRACIAS POR VUESTRAS HONORABLES DEDICACIONES. EN VERDAD, INFINITAS GRACIAS. DIOS LES ILUMINE POR SIEMPRE. BENDICIONES. AMEN.
Hola, con gusto te explicamos, podrías señalar cuales son las ecuaciones que no entiendes como se resolvieron y será un placer ayudarte.