Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

Ejercicio 1

Resuelve las siguientes ecuaciones:

17x² + 21x − 28 = 0

2−x² + 4x − 7 = 0

312x² − 3x = 0

Ejercicio 2

Halla las soluciones de las ecuaciones:

Ejercicio 3

Resuelve:

1x⁴ − 61x² + 900 = 0

2x⁴ − 25x² + 144 = 0

Ejercicio 4

Resuelve:

Ejercicio 5

Hallar las raíces de:

12x³ − 7x² + 8x − 3 = 0

2x³ − x² − 4 = 0

36x³ + 7x² − 9x + 2 = 0

Ejercicio 6

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Ejercicio 7

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

Ejercicio 8

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

Ejercicio 9

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Ejercicio 10

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Ejercicio 11

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

Ejercicio 12

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

Ejercicio 13

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Ejercicio 14

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

Ejercicio 15

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

Ejercicio 16

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Ejercicio 17

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

Ejercicio 18

Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.

Ejercicio 19

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

Ejercicio 20

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.

Ejercicio 1 resuelto

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Soluciones:

17x² + 21x − 28 = 0

x² +3x − 4 = 0

2−x² + 4x − 7 = 0

x² − 4x + 7 = 0

x² − 4x + 4 = 0

312x² − 3x = 0

4x² − x = 0

x · (4x −1) = 0

x = 0

4x − 1 = 0 x = 1/4

Ejercicio 2 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

Ejercicio 3 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

1x⁴ − 61x² + 900 = 0

2x⁴ − 25x² + 144 = 0

Ejercicio 4 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

Ejercicio 5 resuelto

Hallar las raíces de:

Soluciones:

12x³ − 7x² + 8x − 3 = 0

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x² − 5x + 3 ) = 0

P(1) = 2 · 1 ² −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 )² · (2x −3 ) = 0

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x³ − x² − 4 = 0

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 ³ − 1 ² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) ³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2 ³ − 2 ² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 ) = 0

x²+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 ) = 0

Raíz: x = 2.

36x³ + 7x² − 9x + 2 = 0

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 ³ + 7 · 2 ² − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)³ + 7 · (−2)² − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x² −5x +1) = 0

6x² −5x +1 = 0

6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Ejercicio 6 resuelto

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Soluciones:

Ejercicio 7 resuelto

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

b² − 4ac = 0

k² − 4 · 36 = 0 k² = 144

Ejercicio 8 resuelto

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

Ejercicio 9 resuelto

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x −13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

Ejercicio 10 resuelto

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

x · (55 − x) = 750

x² − 55x + 750 = 0

x = 25 x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .

Ejercicio 11 resuelto

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

1^er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3^er lado 5x

1^er lado 6 m

2º lado 8 m

3^er lado 10 m

Ejercicio 12 resuelto

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x² + 168x − 540 = 0 x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

Ejercicio 13 resuelto

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

(4x)² + (3x)² = 75²

25x² = 5625

x² = 225 x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

Ejercicio 14 resuelto

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

Ejercicio 15 resuelto

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1^er número x

2º número x + 2

1^er número 16

2º número 18

Ejercicio 16 resuelto

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Tiempo de A x

El primero llena una piscina en x horas.

Tiempo de B x + 3

El segundo llena una piscina en (x + 3) horas.