1Resuelve las siguientes ecuaciones:

     \begin{align*} 1.\ &7x^2 +21x - 28=0\\ 2. \ &x^2 -4x +4=0\\ 3.\ &12x^2-3x=0\\ 4.\ & 4x^2-16 =0 \end{align*}

1  7x^2 +21x - 28=0

 

Puede resolverse utilizando la fórmula general o el método de factorización. Aplicando el método de factorización:

 

 0=7(x^2+3x-4)=7(x+4)(x-1);

 x_1=-4\qquad x_2=1

 

2 x^2 -4x +4=0

 

Aplicando el método de factorización:

 

 0=x^2-4x+4=(x-2)(x-2)=(x-2)^2;

 x_1=x_2=2

 

3 12x^2-3x=0

 

Aplicando el método de factorización:

 

 0=3x(4x-1)

     \begin{align*} 3x&=0\quad &4x-1=0; \\ x_1 &= 0 &x_2=\dfrac{1}{4} \end{align*}

 

4 4x^2-16 =0

 

Aplicando el método de factorización:

 

 0=4(x^2-4)=4(x-2)(x+2)

 

     \begin{align*} x-2&=0\quad &x+2=0; \\ x_1 &= 2 &x_2=-2 \end{align*}

 

2Resuelve las siguientes ecuaciones:

     \begin{align*} 1.\ &x^4 +12x^3-64x^2=0\\ 2. \ & \dfrac{3}{x}=1+\dfrac{x-13}{6}\\ \end{align*}

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1  x^4 +12x^3-64x^2=0

 

Aplicando el método de factorización:

 

 0=x^2(x^2+12x-64)=x^2(x-4)(x+16);

 x_1=x_2=0 \qquad x_3=4 \qquad x_4=-16

 

2 \dfrac{3}{x}=1+\dfrac{x-13}{6}

 

Se escribe el segundo miembro con un común denominador y se hace un producto alternado entre cada miembro por los denominadores. Después, se aplica el método de factorización:

 

 \frac{3}{x}=\dfrac{x-7}{6} \Longrightarrow 18=x^2-7x

 0=x^2-7x-18=(x-9)(x+2);

 

 x_1=79\qquad x_2=-2

 

3Resuelve las siguientes ecuaciones:

     \begin{align*} 1.\ &x^4-61x^2+900=0\\ 2. \ & x^4-25x^2+144=0 \end{align*}

1 x^4-61x^2+900=0

 

Aplicando el método de factorización, por ejemplo:

 

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-61(x^2)+900=(x^2-36)(x^2-25)\\ &=(x+6)(x-6)(x+5)(x-5); \end{align*}

 

 x_1=6 \quad x_2=-6 \quad x_3=5 \quad x_4=5

 

2 x^4-25x^2+144=0

 

Aplicando el método de factorización:

 

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-25(x^2)+144=(x^2-16)(x^2-9)\\ &=(x-4)(x+4)(x-3)(x+3); \end{align*}

 

 x_1=4 \quad x_2=-4 \quad x_3=3 \quad x_4=-3

4Resuelve las siguientes ecuaciones:

     \begin{align*} 1.\ &\sqrt{5x+4} -1=2x\\ 2. \ & 3\sqrt{x-1}+11=2x\\ \end{align*}

1 \sqrt{5x+4} -1=2x

 

Primero se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve.

 

 \sqrt{5x+4}=2x+1 \Longrightarrow 5x+4=(2x+1)^2

     \begin{align*} 0&=4x^2 +4x+1-5x-4 =4x^2-x-3 \\ &= 4\left(x^2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4} \right)\\ &=4\left(x-1\right)\left( x+\dfrac{3}{4}\right); \end{align*}

 

 x_1=1 \qquad x_2=-\dfrac{3}{4}

 

2  3\sqrt{x-1}+11=2x

 

Se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve por la fórmula general.

 

 3\sqrt{x-1}=2x-11 \Longrightarrow 9(x-1)=(2x-11)^2

 

     \begin{align*} 0&=4x^2 -44x+121 -9x+9 =4x^2-53x+130 \end{align*}

 

     \begin{align*} x_{1,2}&=\dfrac{53\pm \sqrt{(-53)^2-4(4)(130)}}{2(4)}=\dfrac{53\pm \sqrt{2809-2080}}{8}\\ &=\dfrac{53\pm \sqrt{729}}{8} = \dfrac{53\pm 27}{8}; \end{align*}

 

 \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ x_{1}=\dfrac{53+ 27}{8} \qquad &\ \ \ \ \ x_2=\dfrac{53 - 27}{8}\\ x_1=\dfrac{80}{8} \qquad &\ \ x_2=\dfrac{26}{8}\ \ \ \\ x_1=10 \qquad &x_2=\dfrac{13}{4} \end{matrix}

 

5Hallar las raíces de:

     \begin{align*} 1.\ &2x^3-7x^2+8x-3=0\\ 2. \ & x^3-x^2-4=0\\ 3. \ &6x^3+7x^2-9x+2=0 \end{align*}

1 2x^3-7x^2+8x-3=0

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de  -3 son  1, -1, 3, +3. Así:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 2 & -7 & 8 & -3\\ 1 & \ & 2 & -5 & 3\\ \hline \ & 2 & -5 & 3 & 0\\ 1 & \ & 2& -3 &\\ \hline \multicolumn{2}{ r}{2} & -3& 0 \end{tabular}

 

Entonces, la factorización es  (x-1)^2(2x-3)=0 . Por tanto:

 

 x_1=x_2=1 \qquad x_2=\dfrac{3}{2}

 

2 x^3-x^2-4=0

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de  -4 son  1, -1, 2, -2, 4, -4. Así:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 1 & -1 & 0 & -4\\ 2 & \ & 2 & 2 & \\ \hline \multicolumn{2}{ r}{1} & 1 & 2 & 0\\ \end{tabular}

 

Entonces, la factorización es  (x-2)(x^2+x+2)=0 . Al calcular el discriminante del trinomio, se concluye que no tiene raíces pues es negativo el resultado. Entonces sólo tiene una solución.

 

 1^2-4(2)(2)=1-16=-15<0 \quad \Longrightarrow \quad x=2

 

3 6x^3+7x^2-9x+2=0

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de  2 son  1, -1, 2, -2. Así:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 6 & 7 & -9 & 2\\ -2 & \ & -12 & 10 & -2\\ \hline \multicolumn{2}{ r}{6} & -5 & 1 & 0\\ \end{tabular}

 

Entonces, la factorización es  (x+2)(6x^2-5x+1)=0 . Se resuelve la ecuación cuadrática por la fórmula general:

 

     \begin{align*} x_{2, 3}&=\dfrac{5\pm \sqrt{(5)^2-4(6)(1)}}{2(6)}=\dfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}\\ &=\dfrac{5\pm 1}{12} \end{align*}

 

 \begin{matrix} x_1=-2&\ \ \ \ \ \ x_{2}=\dfrac{6}{12} \qquad &\ \ \ x_3=\dfrac{4}{12}\\ &\ \ \ x_2=\dfrac{1}{2} \qquad &x_3=\dfrac{1}{3} \end{matrix}

 

6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

     \begin{align*} 1.& \left\{\begin{matrix} 5x-3y-z=1&\\ x+4y-6z=-1& \\ 2x+3y+4z=9& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 2.& \left\{\begin{matrix} x+y=7& \\ x\times y=12& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 3.& \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169& \\ x+y=17& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 4. & \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x & \\ \sqrt{x}+y=5 & \end{matrix}\right. \end{align*}

1 \left\{\begin{matrix} 5x-3y-z=1&\\ x+4y-6z=-1& \\ 2x+3y+4z=9& \end{matrix}\right.

 

Se construye la matriz de coeficientes asociada al sistema y se reducen las columnas y renglones.

 

 \left ( \begin{array}{ccc|c} 5 & -3 &-1 &1\\ 1 & 4 & -6 &-1\\ 2 & 3 & 4 & 9 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3- 2\textup{F}_2]{\textup{F}_1 - 5\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & -23& 29 &6\\ 1 & 4& -6 &-1\\ 0 & -5 &16 & 11 \end{array} \right )\\ \ \\ \ \\ \begin{array}{c} \xrightarrow[]{23\textup{F}_3 - 5\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & -23& 29 &6\\ 1 & 4& -6 &-1\\ 0 & 0 & 223 & 223 \end{array} \right )

 

Entonces,  z=1. Traduciendo la matriz última al sistema de ecuaciones asociado, se tiene que  x=1, y=1, pues:

 

     \begin{align*} y&=\dfrac{6-29}{-23}=\dfrac{-23}{-23}=1\\ x &= -1+6-4=1 \end{align*}

 

2 \left\{\begin{matrix} x+y=7& \\ x\times y=12& \end{matrix}\right.

 

Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.

 

 y=7-x \quad \Longrightarrow \quad 12=x(7-x)=7x-x^2

 0=x^2-7x+12=(x-4)(x-3);

 

 x_1=4\qquad x_2=3 \Longrightarrow y_1=3 \qquad y_2=4

 

3 \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169& \\ x+y=17& \end{matrix}\right.

 

Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.

 

 y=17-x \quad \Longrightarrow \quad 169=x^2 +(17-x)^2=x^2+x^2 -34x+289

 0=2x^2-34x+120=2(x^2-17+60)=2(x-12)(x-5);

 

 x_1=12\qquad x_2=5 \quad \Longrightarrow\quad y_1=5 \qquad y_2=12

 

4 \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x & \\ \sqrt{x}+y=5 & \end{matrix}\right.

 

Se sustituye la expresión que representa a x en la segunda ecuación. Después se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se resuelve.

 

 \sqrt{y^2-2y+1}+y=5\quad \Longrightarrow\quad \left ( \sqrt{y^2-2y+1} \right )^2=(5-y)^2

 y^2-2y+1=y^2-10y+25\quad \Longrightarrow\quad 8y=24;

 

 y=6 \qquad x=4

 

7Determinar el valor de  k para que las soluciones de la ecuación  x^2-kx+36=0 sean el mismo valor.

Se calcula el discriminante y se iguala a cero. Así, se obtiene una raíz doble.

 (-k)^2-4(1)(36)=0\ \Longrightarrow\ k^2=144

 

Los valores posibles del coeficiente del término lineal son  k_1=12, k_2=-12.

 

8Hallar el valor de dos números cuya suma sea cinco y su producto  -84.

 0=x^2-5x-84=(x-12)(x+7)\ \Longrightarrow\ x_1=12; x_2=-7

 

Las parejas de números son 12 y -7.

9Determinar la edad de Pedro sabiendo que dentro de  11 años tendra la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace  13 años.

Si se considera como  x la edad que tiene actualmente, hace  13 años tenía  x-13 y dentro de  11 años tendrá  x+11 :

 x+11=\dfrac{(x-13)^2}{2} \ \Longrightarrow \ 2x+22=x^2-26x+169

 

 0=x^2-28x+147=(x-21)(x+7)

 

Por tanto, Pedro tiene  21 años.

 

10Para cercar una finca rectangular de  750\ \textup{m}^2 se han utilizado  110\ \textup{m} de malla ciclónica. Calcular las dimensiones de la finca.

Dividiendo entre dos la cantidad de malla utilizada se obtiene el semiperímetro de la finca,  55\ \textup{m} . Por tanto, el problema puede modelarse con las expresiones de la imagen:

 

 750=x(55-x)=-x^2+55x

 \Longrightarrow\ 0=x^2-55x+750=(x-25)(x-30)

 

La finca tiene dimensiones de  30\ \textup{m} y  25\ \textup{m} .

 

11Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números  3, 4,5. Calcular la longitud de cada lado del tríángulo sabiendo que tiene un área de  24\ \textup{m}^2 .

Las medidas de los lados del triángulo se obtienen multiplicando por un factor  x los lados del triángulo rectángulo de la imagen. A partir de la fórmula para calcular el área puede conocerse dicho factor.

 

 24=\dfrac{3x\times 4x}{2}=6x^2\ \Longrightarrow\ x^2=4

 x=\pm 2\ \Longrightarrow \ x=2\ \textup{m}

 

Los lados del triángulo son  6\ \textup{m}, 8\ \textup{m} y  210\ \textup{m} .

 

12Un jardín rectangular de  50\ \textup{m} de largo por  34\ \textup{m} de ancho está rodeado por un camino de arena de ancho uniforme. Calcular la anchura de dicho camino si se sabe que tiene un área de  540\ \textup{m}^2 .

Al considerar un ancho  x del camino de arena, se tiene un rectángulo más grande de dimensiones  50+2x por  34+2x, como lo indica la figura. Ahora, se expresa el área del camino de arena.

 

 (50+2x)(34+2x)-50\times 34=540\Longrightarrow\quad 0=4x^2+168x-540

 0=4(x^2+42x-135)=4(x-3)(x+45)

 

Por tanto, el camino tiene  3\ \textup{m} de largo.

 

13Calcular las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide  75\ \textup{m} sabiendo que es semejante a otro rectángulo de  36\ \textup{m} por  48\ \textup{m} .

Como el rectángulo de  36\ \textup{m} por  48\ \textup{m} es semejante al rectángulo de  3\ \textup{m} por  4\ \textup{m} , también lo será el rectángulo cuya diagonal mide  75\ \textup{m} . Se asume, entonces, que sus lados son proporcionales por un factor x , como lo muestra la imagen. Se aplica el teorema de Pitágoras y se halla el valor de la incógnita.

 

     \begin{align*} (4x)^2+(3x)^2&=75^2\\ 16x^2+9x^2&=5625\\ 25x^2&=5625\\ x^2&=\dfrac{5625}{25}=225\\ x&=\sqrt{225}=15 \end{align*}

 

Por tanto, el rectángulo tiene  60\ \textup{m} de largo por  45\ \textup{m} de ancho.

 

14Hallar un número entero sabiendo que la suma con su inverso es \dfrac{26}{5}.

 \dfrac{26}{5}=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x}\ \Longrightarrow\ 26x=5x^2+5

 0=5x^2-26x+5

 

     \begin{align*} x_{1,2}&=\dfrac{26\pm\sqrt{(-26)^2-4(5)(5)}}{2(5)}\\ &=\dfrac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}\\ &=\dfrac{26\pm\sqrt{576}}{10}\\ &=\dfrac{26\pm24}{10} \end{align*}

 

El número es cinco pues la segunda raíz da como resultado una fracción.

 

15Calcular dos números naturales cuya diferencia es dos y la suma de sus cuadrados es  580.

Dado que la diferencia de estos números es dos, si x denota un número, el segundo será  x+2.

     \begin{align*} x^2+(x+2)^2&=580\\ x^2+x^2+4x+4&=580\\ 2x^2+4x-576&=0\\ 2(x^2+2x-288)&=0\\ 2(x+18)(x-16)&=0 \end{align*}

 

Los números son 16 y 18.

 

16Dos mangueras A y B llenan juntas una piscina en dos horas. A lo hace por sí sola en tres horas menos que B. Calcular cuántas horas tarda a cada una en llenar la piscina.

Si la manguera A tarda x horas en llenar la piscina, la manguera B tardará  x+3 horas en llenarla. Entonces, cada hora, A llevará llenada  \dfrac{1}{x} partes de la piscina llenada y B,  \dfrac{1}{x+3} partes. Como al usar ambas mangueras se llena la piscina por completo, se tiene que:

     \begin{align*} 1&=\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+3}+ \dfrac{1}{x+3}\\ &= \dfrac{2}{x}+ \dfrac{2}{x+3}\\ &= \dfrac{2x+2x+6}{x(x+3)} \end{align*}

 

 x^2+3x=4x+6\ \Longrightarrow\ \ 0=x^2-x-6=(x-3)(x+2)

 

La manguera A tarda 3 horas en llenar la piscina y la manguera B, 6 horas.

 

17Hallar dos números tales que su producto es cuatro y la suma de sus cuadrados es diecisiete.

Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.

 \left\{\begin{matrix} \ x\times y = 4 \\ x^2+y^2 = 17 \end{matrix}\right. \ \Longrightarrow \ y=\dfrac{4}{x}

 

 x^2+\left (\dfrac{4}{x} \right )^2=17\ \Longrightarrow\ x^4+16=17x^2

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-17(x^2)+16\\ &=(x^2-16)(x^2-1) \\ &=(x+4)(x-4)(x+1)(x-1) \end{align*}

 

Las parejas de números posibles son 4, 1 y -4, -1 .

 

18Hallar una fracción equivalente a  \dfrac{5}{7} cuyos términos elevados al cuadrado sumen  1184.

Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.

 \left\{\begin{matrix} \ \ \ \dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{7} \\ x^2+y^2 = 1184 \end{matrix}\right. \ \Longrightarrow \ x=\dfrac{5}{7}y

 

 \left (\dfrac{5}{7}y \right )^2+y^2=1184\ \Longrightarrow\ 25y^2+49y^2=58016

     \begin{align*} 74y^2&=58016\\ &y^2=784 \\ y &=\pm\sqrt{784}=\pm 28 \end{align*}

 

 x=\dfrac{5}{7}(\pm 28)=\pm 20

 

Las fracción que satisface lo solicitado es \dfrac{20}{28} , pues en \dfrac{-20}{-28} se cancelan los signos negativos y se obtiene la primera fracción.

 

19El cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 \ \euro por 24 L de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 L de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kilogramo de jamón cuesta lo mismo que comprar 4 L de aceite más 4 L de leche.

Se denotan con x, y, z los costos de la leche, el jamón serrano y el aceite de oliva, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelve.

 \left\{\begin{matrix} 24x+6y+12z =156 \\ \ \qquad \qquad \quad \ z=3x \\ \qquad\ 4x+4z=y \end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ y=16x

 

 156=24x+6(16x)+12(3x)=156x\Longrightarrow x=1

 y= 16\qquad z=3

 

La leche tiene un costo de 1 \ \euro el litro, el jamón serrano de 16 \ \euro el kilogramo y el aceite de oliva, 3 \ \euro el litro.

 

20Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El 60 \% de las películas infantiles más el 50 \% de las del oeste representan el 30 \% del total de las películas.
El 20 \% de las películas infantiles más el 60 \% de las del oeste más del 60 \% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.

Hallar el número de películas de cada tipo sabiendo que hay 100 películas más del oeste que infantiles.

Se denotan con x, y, z las películas infantiles, las del oeste y las de terror, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelte.

 \left\{\begin{matrix} \qquad\qquad\ \dfrac{60}{100}x + \dfrac{50}{100}y =\dfrac{30}{100}(x+y+z)\\ \dfrac{20}{100}x+ \dfrac{60}{100}y+ \dfrac{60}{100}z= \dfrac{1}{2}(x+y+z) \\ \ \ \ x+100=y \end{matrix} \right.\

 

Simplificando el sistema de ecuaciones, se tiene

 \left\{\begin{matrix} 3x + 2y -3z=0\\ -3x+ y+ z= 0 \\ \ \ \ x+100=y \end{matrix} \right.\ \ \Longrightarrow \ \left\{\begin{matrix} 5x-3z=-200\\ -2x+ z= -100 \end{matrix} \right.\

 

 \begin{matrix} \ \ 5x-3z=-200\\ -6x+ 3z= -300\\ \hline -x\ + \ 0 \ = \ 500\ \end{matrix} \ \Longrightarrow \ x=500

     \begin{align*} y&=500+100=600\\ z&=3(500)-600=900 \end{align*}

 

El videoclub tiene 500 películas infantiles, 600 del oeste y 900 de terror.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗