Sistemas de ecuaciones con solución única
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son 
Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son 
Nosotros utilizamos la intersección con los ejes como los puntos para construirla recta, pero puedes considerar cualesquiera dos valores de 
y obtener valores de 
; después con una regla trazas la recta que pasa por ambos puntos, la recta que obtienes es la misma que presentamos.
2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad no se satisface
pero son bastante aproximadas; esta es la dificultad que presenta el método gráfico.
Para obtener soluciones exactas se emplean los métodos analíticos de igualación, reducción, sustitución, entre otros. Empleando los métodos analíticos el resultado exacto es 
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son 
Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son
2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que en este caso, al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface, por lo que la solución obtenida es exacta
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son 
Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son
2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores 
en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores 
en la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta consieramos los valores 
, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores 
en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, . Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores en ambas rectas. Para la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, 
. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.
Sistemas de ecuaciones sin solución
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores 
para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección entre ellas como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente 
.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores 
para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección entre ellas como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente 
.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección entre ellas como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente .
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores 
en la primera recta tenemos
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente 
.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores 
, los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección entre ellas como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente 
.
Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son 
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.
Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.
1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a para obtener valores de . En esta ocasión vamos a considerar los valores para la primera recta
Para la primera recta, los puntos obtenidos son
Para la segunda recta, considerando los valores , los puntos obtenidos son
2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas
3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.
Resumir con IA:
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Esta bien los ejercicios, pero complican demasiado con estos mismos y más encima, a ustedes le salen resultados distintos al mío o hacen cosas que no se entienden. A esta página le doy un 6 de 10. Por ejemplo, en el ejercicio 13, simplificó por 7 todo la operación y yo no lo simplifique. Entonces, no se si es opcional o no.
Hola agradecemos sus opiniones que nos ayudan a mejorar, en cuanto a tu duda, si factorizar 7 o no hacerlo es gusto de cada quien, como dijiste es opcional.
Habéis cometido un error en el 2 de irracionales habéis puesto un 6 y es un 5
Una disculpa por que se brinca un paso pues el ejercicio es √x-1=5 y falto que √x=5+1, y aparece de repente √x=6.
Buenas tardes. He detectado un posible error en el ejercicio 2 de irracionales: aparece un 6, pero el valor correcto debería ser 5. Gracias por el material y la atención.
Hola te agradecemos tu observación, si parece un posible error, pero no lo es pues √x-1=5 implica que √x=5+1 o √x=6, claro estos pasos no aparecen en el artículo, si tienes alguna duda te escuchamos.
Muy buenos ejercicios. Solamente una aclaración: en el problema 9 hay un error en la factorización del trinomio x2 – 28x + 169, los binomios serían: ( x – 21 )( x – 7 ) ; y no ( x – 21) ( x + 7 ). La ecuación tiene dos soluciones positivas, x = 21 y x = 21, pero la que da solución al problema es x = 21 por la condicionante «la edad que tenía hace 13 años»
Hola ya revise el ejercicio y la solución es (x-21)(x-7)=0, entonces los valores son x1=21, x=7, tal como lo indicas y no encontré el error que mencionas.