Sistemas de ecuaciones con solución única

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.

1{\left \{\begin{array}{rcl} 3x - 5y & = & 2 \\\\ 2x + 7y & = & -1 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3(0) - 5y = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -\displaystyle \frac{2}{5} \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3x - 5(0) = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \displaystyle \frac{2}{3} \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son {\left (0, \displaystyle -\frac{2}{5} \right ), \ \left (\displaystyle \frac{2}{3}, 0 \right )}

 

Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2(0) + 7y = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -\displaystyle \frac{1}{7} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (0, -\frac{1}{7} \right ) \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2x + 7(0) = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -\displaystyle \frac{1}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left ( -\frac{1}{2}, 0 \right ) \end{array}}

Nosotros utilizamos la intersección con los ejes como los puntos para construirla recta, pero puedes considerar cualesquiera dos valores de {x} y obtener valores de {y}; después con una regla trazas la recta que pasa por ambos puntos, la recta que obtienes es la misma que presentamos.

 

2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema de ecuaciones metodo grafico 1

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (0.29, -0.23 \right )}. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad no se satisface

 

{\begin{array}{l} 3(0.29) - 5(-0.23) = 2.02 \neq 2 \\ 2(0.29) + 7(-0.23) = -1.03 \neq -1 \end{array}}

 

pero son bastante aproximadas; esta es la dificultad que presenta el método gráfico.

 

Para obtener soluciones exactas se emplean los métodos analíticos de igualación, reducción, sustitución, entre otros. Empleando los métodos analíticos el resultado exacto es {\left (\displaystyle \frac{9}{31}, \frac{-7}{31} \right )}

2{\left \{\begin{array}{rcl} -x + 2y & = & 3 \\\\ x + y & = & -3 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -(0) + 2y = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \displaystyle \frac{3}{2} \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -x + 2(0) = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -3 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son {\left (0, \displaystyle \frac{3}{2} \right ), \ \left (-3, 0 \right )}

 

Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0) + y = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (0, 3 \right ) \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x + (0) = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left ( 3, 0 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistemas de ecuaciones metodo grafico 2

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (1, 2 \right )}. Observa que en este caso, al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface, por lo que la solución obtenida es exacta

 

{\begin{array}{l} -(1) + 2(2) = 3 \\ (1) + (2) = 3 \end{array}}

3{\left \{\begin{array}{rcl} -x + 4y & = & 4 \\\\  -\displaystyle\frac{3}{2}x + y & = & -\displaystyle \frac{3}{2} \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando la intersección con los ejes. Para la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -(0) + 4y = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1 \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -x + 4(0) = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -4 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos de intersección con los ejes son {\left (0, 1 \right ), \ \left (-4, 0 \right )}

 

Para la segunda recta, los puntos de intersección con los ejes son

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -\displaystyle\frac{3}{2}(0) + y = -\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -\displaystyle \frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (0, -\frac{3}{2} \right ) \\\\ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -\displaystyle\frac{3}{2}x + (0) = -\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (1, 0 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de intersección con los ejes en el plano cartesiano y con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema ecuaciones metodo grafico 3

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (2, \displaystyle\frac{3}{2}\right )}. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface

 

{\begin{array}{l} -(2) +4\left (\displaystyle \frac{3}{2}\right ) = 4  \\ -\displaystyle\frac{3}{2}(2) + \left (\displaystyle\frac{3}{2} \right ) = -\displaystyle\frac{3}{2} \end{array}}

4{\left \{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y & = & 1 \\\\ -\displaystyle\frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y & = & 1 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores {x=\pm 2} en ambas rectas. Para la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{3}{2}(-2) + \frac{2}{3}y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 6 \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{3}{2}(2) + \frac{2}{3}y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -3 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-2, 6 \right ), \ \left (2, -3 \right )}

 

Para la segunda recta, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -\displaystyle\frac{3}{2}(-2) + \frac{2}{3}y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-2, -3 \right ) \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -\displaystyle\frac{3}{2}(2) + \frac{2}{3}y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (2, 6 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistemas de ecuaciones metodo grafico 4

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (0, \displaystyle\frac{3}{2}\right )}. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.

5{\left \{\begin{array}{rcl} y & = & 3x-5 \\\\ y & = & \displaystyle \frac{1}{3}x \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores {x=1, 3} en la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3(1)-5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -2 \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3(3)-5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 4 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (1, -2 \right ), \ \left (3, 4 \right )}

 

Para la segunda recta consieramos los valores {x=0, 3}, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=\displaystyle\frac{1}{3}(0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (0, 0 \right ) \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=\displaystyle\frac{1}{3}(3) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (3, 1 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistemas de ecuaciones metodo grafico 5

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (1.875, 0.625\right )}. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.

6{\left \{\begin{array}{rcl} y & = & x-1 \\\\ y & = & 2x - 1 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores {x = \pm 1} en ambas rectas. Para la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = (-1)-1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -2 \\\\ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = (1)-1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-1, -2 \right ), \ \left (1, 0 \right )}

 

Para la segunda recta, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=2(-1)-1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-1, -3 \right ) \\\\ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=2(1)-1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (1, 1 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema de ecuaciones metodo grafico 6

 

3La solución del sistema de ecuaciones es donde ambas rectas se intersectan, esto es, {\left (0, -1\right )}. Observa que al sustituir nuestra solución en ambas ecuaciones, la igualdad se satisface.

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Sistemas de ecuaciones sin solución

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.

 

7{\left \{\begin{array}{rcl} x - 3y + 6 & = & 0 \\\\ x - 3y - 2 & = & 0 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, considerando los valores {x=-3, 0} en la primera recta tenemos

 

{\begin{array}{l} x = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-3) - 3y + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0) - 3y + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 2 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-3, 1 \right ), \ \left (0, 2 \right )}

 

Para la segunda recta, considerando los valores {x=-1, 2}, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-1) - 3y - 2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-1, -1 \right ) \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (2) - 3y - 2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (2, 0 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema de ecuaciones metodo grafico 7

 

3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente {m = \displaystyle \frac{1}{3}}.

8{\left \{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{5}{6}x + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} & = & 0 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a {x} para obtener valores de {y}. En esta ocasión vamos a considerar los valores {x=-1, 2} para la primera recta

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{3}(-1) + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 4 \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{3}(2) + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -1 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-1, 4 \right ), \ \left (2, -1 \right )}

 

Para la segunda recta, considerando los valores {x=-5, -2}, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{5}{6}(-5) + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-5, 5 \right ) \\\\ x = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{5}{6}(-2) + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-2, 0 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema de ecuaciones metodo grafico 8

 

3No existe solución al sistema de ecuaciones, ya que ambas rectas son paralelas entre si y no hay punto de intersección entre ellas como se puede observar en la gráfica. Desde el punto de vista analítico, ambas rectas tienen la misma pendiente {m = -\displaystyle \frac{5}{3}}.

Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico.

 

9{\left \{\begin{array}{rcl} 5x + 3y + 10 & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{5}{6}x + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} & = & 0 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a {x} para obtener valores de {y}. En esta ocasión vamos a considerar los valores {x=-5, -2} para la primera recta

 

{\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5(-5) + 3y + 10 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 5 \\\\ x = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5(-2) + 3y + 10 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-5, 5 \right ), \ \left (-2, 0 \right )}

 

Para la segunda recta, considerando los valores {x=-5, -2}, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{5}{6}(-5) + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-5, 5 \right ) \\\\ x = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{5}{6}(-2) + \frac{1}{2}y + \frac{5}{3} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-2, 0 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema ecuaciones metodo grafico 9

 

3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.

10{\left \{\begin{array}{rcl} 5x + 3y - 7 & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} & = & 0 \end{array} \right .}

 

Para graficar una recta basta con conocer dos puntos y trazar la línea que los contiene.

 

1Obtenemos dos puntos para cada una de las rectas, podemos hallar las intersecciones con los ejes o dar valores arbitrarios a {x} para obtener valores de {y}. En esta ocasión vamos a considerar los valores {x=-1, 2} para la primera recta

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5(-1) + 3y - 7 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 4 \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5(2) + 3y - 7 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -1 \end{array}}

 

Para la primera recta, los puntos obtenidos son {\left (-1, 4 \right ), \ \left (2, -1 \right )}

 

Para la segunda recta, considerando los valores {x=-1, 2}, los puntos obtenidos son

 

{\begin{array}{l} x = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{3}(-1) + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (-1, 4 \right ) \\\\ x = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{3}(2) + \frac{1}{5}y - \frac{7}{15} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left (2, -1 \right ) \end{array}}

 

2Representamos los puntos de las rectas en el plano cartesiano, con ayuda de una regla trazamos ambas rectas y localizamos el punto de intersección de ambas rectas

 

sistema de ecuaciones metodo grafico 10

 

3Existen infinitas soluciones, ya que las dos rectas son iguales y se intersectan en todos sus puntos.

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Gaspar

Comparto aquí mi gusto e interés por las matemáticas.