Enunciado del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

Triángulo rectángulo
Triángulo rectángulo

 

Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo

 

    $$a^{2}=b^{2}+c^{2}.$$

 

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Vamos

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

 

Calculando la hipotenusa.

 

1 Conociendo los dos catetos podemos calcular la hipotenusa, solo debemos despejar la variable a de la ecuación

 

    $$a^{2}=b^{2}+c^{2}.$$

 

Lo hacemos simplemente sacando raíz cuadrada

 

    $$a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}.$$

 

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3m y 4m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

 

Cálculo de la hipotenusa

 

En este caso tenemos que  b=4,c=3  y debemos encontrar el valor de a.

 

Reemplazando en la fórmula anterior

 

    $$a=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5.$$

 

Por tanto la hipotenusa mide 5m.

Calculando un cateto.

 

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, podemos calcular el otro cateto.

 

De nuestra ecuación inicial a^{2}=b^{2}+c^{2}, podemos despejar el valor de uno de los catetos y obtenemos lo siguiente para el cateto b,

 

    $$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}},$$

 

y para el cateto c,

 

    $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}.$$

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y uno de sus catetos 3m. ¿Cuánto mide otro cateto?

 

Cálculo de un cateto

 

De acuerdo con la figura, tenemos que el cateto c mide 3m, la hipotenusa 5m y hace falta encontrar el cateto b. Así pues, utilizando la fórmula para calcular catetos,

 

     $$ b =  \sqrt{5^{2}+3^{2}} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} =  4 $$

 

Por lo tanto el cateto b mide 4m.

 

Clasificar triángulos rectángulos.

 

3. Conociendo los lados de un triángulo, podemos averiguar si es rectángulo o no.

 

Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

 

Ejemplo: Determinar si el siguiente triángulo es rectángulo.

 

Clasificación triángulos rectángulos

 

Notemos que el lado mayor de este triángulo tiene longitud 5. Continuando con la indicación anterior, habremos de verificar las siguientes igualdades

 

    $$5^{2}=3^{2}+4^{2},$$

 

    $$25=9+16=25.$$

 

Ya que obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la igualdad, podemos concluir que el triángulo es rectángulo.

Ejercicios

 

1Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Altura de una escalera

La escalera, la pared y el piso forman un triángulo rectángulo, en el cual podemos tomar como hipotenusa la longitud de la escalera y como uno de los catetos la longitud del pie de la escalera hasta la pared. Entonces  a=10  y  c=6.Nuestro objetivo es entonces, calcular la altura de escalera sobre la pared, es decir, calcular el cateto restante. De acuerdo con nuestras fórmulas anteriores y la figura, tenemos que

    $$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

2Hallar el área del triángulo equilátero:

altura de un triángulo equilatero

Primero trazamos la altura del triángulo equilátero. Dicha altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos de catetos h la altura del triángulo equilátero, 5 la mitad de uno de los lados del triángulo y finalmente con hipotenusa 10, uno de los lados del triángulo inicial.De esta forma para hallar la altura solo debemos aplicar nuestra fórmula anterior para hallar catetos de triángulos rectángulo, lo que nos da
 

    $$10^{2}=h^{2}+5^{2},$$

 

    $$ h = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{100  - 25} = \sqrt{75} = 8.66 $$

 

Dado que el área de un triángulo se obtiene a través de la fórmula

 

    $$A_{triángulo}=\cfrac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2}.$$

 

Observemos ahora, que la base del triángulo es de  10cm  y la altura de   8.66cm.

 

Luego, remplazando en la fórmula del área se sigue que

 

    $$A_{triángulo}=\cfrac{10\times 8.666}{2}=43.30.$$

3Hallar la diagonal del cuadrado:

Calcular la diagonal de un cuadrado

 

La diagonal del cuadrado cuyos lados miden  5cm,  divide al dicha figura en dos triángulos rectángulos, donde la diagonal  d  coincide con la hipotenusa de cualquiera de estos triángulos. Es decir, debemos hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos igual a  5cm. 
 

Para ello utilizaremos la fórmula para la hiptenusa:
 

    $$d^{2}=5^{2}+5^{2}}$$

 

    $$ d = \sqrt{5^{2}+5^{2}} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 7.07 $$

 

Finalmente, la diagonal mide 7.07cm.

4Hallar la diagonal del rectángulo:

Calcular la diagonal de un rectángulo

 

De manera similar al ejercicio anterior, la diagonal d de este rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos de catetos de  6cm  y  10cm  y la diagonal coincide con la hipotenusa de estos triángulos. Así que de nuevo debemos usar la fórmula para calcular la hipotenusa:
 

    $$d^{2}=10^{2}+6^{2}},$$

 

    $$ d = \sqrt{10^{2}+6^{2}} = \sqrt{100+36} = \sqrt{136} = 11.66 $$

 

Por lo tanto, la diagonal tiene longitud 11.66cm.

5Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

Perimetro de un trapecio

 

El perímetro del trapecio es la suma de la longitud de sus lados. De la figura se sigue que el lado superior del trapecio mide  8cm,  el lado inferior mide  10cm  y la altura del trapecio mide  6cm.Para hallar el lado diagonal del trapecio, que llamaremos  h,   debemos considerar el triángulo rectángulo de lado vertical  6cm,  lado horizontal  2cm  e hipotenusa  h.  Dado que necesitamos calcular el valor de  h,  utilizaremos la fórmula para calcular la hipotenusa, asi pues tenemos:
 

    $$h^{2}=6^{2}+2^{2}},$$

 

    $$ h = \sqrt{6^{2}+2^{2}} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 6.32cm $$

 

Finalmente podemos calcular el perímetro, el cual sabemos que es igual a la suma

 

    $$P=8+6+10+6.32=30.32cm.$$

 

Para obtener el área hay que observar que el trapecio está conformado por un triángulos rectángulos y un rectángulo, entonces su área será igual a la suma de las áreas del triángulo y el rectángulo. Es decir,

 

    $$A_{trapecio} = A_{triángulo}+A_{rectángulo}.$$

 

El área del rectángulo es sencillamente el producto de su base por su altura, entonces  A_{rectángulo}=6\cdtod 8= 48.  Para el área del triángulo tenemos que

 

    $$A_{triángulo}=\cfrac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2}$$

 

    $$A_{triángulo}=\cfrac{2\times 6}{2}=6cm^{2}.$$

 

Por lo tanto

    $$A_{trapecio} = 6cm^{2} + 48cm^{2} = 54 cm^{2}.$$

 

6El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

Lados de un trapecio regular

 

El perímetro del trapecio es igual a la suma de la longitud de sus lados. Entonces tenemos la siguiente igualdad

    $$110=40+30+2l,$$

donde l es el valor del lado no paralelo.Despejando l de la anterior ecuación, tenemos que

    $$l=\frac{110-40-30}{2}=\frac{40}{2}=20cm.$$

 

De esta forma hemos resuelto la primera parte del problema.

 

Recordemos que el área del trapecio es igual a la suma de las bases, multiplicadas por la altura y luego esto se divide entre dos. Así que debemos calcular la altura del trapecio, que llamaremos  h.

 

De la figura podemos considerar el triángulo rectángulo de catetos  5cm,  h e hipotenusa  l.  Luego, para hallar el valor de h, utilizaremos la fórmula para calcular los catetos,

 

    $$ h = \sqrt{l^{2}-5^{2}} = \sqrt{20^{2}-5^{2}} = 19.36cm $$

 

Ahora podemos concluir calculando el área del trapecio,

 

    $$ A = \frac{(40+30) \times h}{2} = \frac{(40+30)\times 19.36}{2} = 677.77cm^{2} $$

7Hallar el área del pentágono regular:

área de un pentagono regular

 

Tenemos que los lados del pentágono regular miden  6cm.  Ya que el área del pentágono es igual a un medio del perímetro por el valor del apotema, entonces debemos encontrar el valor del apotema. Llamaremos al apotema a, tal como se ilustra en la figura. Para calcular a, consideremos el triángulo de catetos a, 3cm e hipotenusa 5cm. Y utilizamos la fórmula para calcular catetos, entonces:
 

    $$5^{2}=a^{2}+3^{2}},$$

 

    $$a = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4cm $$

 

El valor del perímetro del pentágono es

    $$P=5\times 6=30cm.$$

 

Finalmente, podemos calcular el área del pentágono

 

    $$ A = \frac{P \times a}{2}= \frac{30 \times 4}{2}= \frac{120}{2} = 60cm^{2}.$$

8Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

área de un triángulo inscrito

 

Ya que el cuadrado esta inscrito una circunferencia, entonces podemos dividirlo en 4 triángulos rectángulos de catetos igual al radio del a circunferencia, r, e hiputenusa l.De esta forma podemos calcular el lado del triángulo utilizando la fórmula para calcular hipotenusas,

    $$ l^{2} = r^{2}+r^{2}} $$

 

    $$l^{2}=9+9=18$$

.
 

Por lo tanto, como el área del cuadrado es  l\times l=l^{2}  se sigue que es igual a  18cm^{2}.

9En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

Área de un círculo

 

Para calcular el área del circulo debemos primero encontrar su radio. Ya que la cuerda del circulo dista  7cm  del centro, podemos formar un triángulo rectángulo de catetos 7cm, la mitad de la cuerda, 24cm e hipotenusa igual al radio del circulo, r. De esta forma, para hallar el radio debemos utilizar la fórmula para calcular hipitenusas.
 

    $$r^{2}=24^{2}+7^{2}},$$

 

    $$r=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=\sqrt{625}=25cm.$$

 

Así, el area del círculo es

    $$A=\pi\cdot r^{2}$$

 

    $$A=\pi\cdot 25^{2}=1963.50cm^{2}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗