Enunciado del Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Calculando la hipotenusa.
1 Conociendo los dos catetos podemos calcular la hipotenusa, solo debemos despejar la variable 
de la ecuación
Lo hacemos simplemente sacando raíz cuadrada
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 
y 
respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
En este caso tenemos que 
y debemos encontrar el valor de 
Reemplazando en la fórmula anterior
Por tanto la hipotenusa mide 
Calculando un cateto.
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, podemos calcular el otro cateto.
De nuestra ecuación inicial 
podemos despejar el valor de uno de los catetos y obtenemos lo siguiente para el cateto 
y para el cateto 
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 
y uno de sus catetos 
¿Cuánto mide otro cateto?
De acuerdo con la figura, tenemos que el cateto 
mide , la hipotenusa y hace falta encontrar el cateto 
. Así pues, utilizando la fórmula para calcular catetos,
Por lo tanto el cateto mide 
Clasificar triángulos rectángulos.
3. Conociendo los lados de un triángulo, podemos averiguar si es rectángulo o no.
Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Ejemplo: Determinar si el siguiente triángulo es rectángulo.
Notemos que el lado mayor de este triángulo tiene longitud 
Continuando con la indicación anterior, habremos de verificar las siguientes igualdades
Ya que obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la igualdad, podemos concluir que el triángulo es rectángulo.
Ejercicios
Un triángulo rectángulo isósceles tiene hipótenusa de 10 m de longitud. ¿Cuál es la longitud de sus catétos?
Como el triángulo es rectángulo e isósceles, entonces sus dos catétos son iguales. Aplicamos el Teorema de Pitágoras para el triángulo con hipótenusa 
y lado 
Resolviendo algebraicamente, se obtiene
Así, los catetos miden 
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
La escalera, la pared y el piso forman un triángulo rectángulo, en el cual podemos tomar como hipotenusa la longitud de la escalera y como uno de los catetos la longitud del pie de la escalera hasta la pared. Entonces y 
Nuestro objetivo es entonces, calcular la altura de escalera sobre la pared, es decir, calcular el cateto restante. De acuerdo con nuestras fórmulas anteriores y la figura, tenemos que
Hallar el área del triángulo equilátero:
Primero trazamos la altura del triángulo equilátero. Dicha altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos de catetos 
la altura del triángulo equilátero, 
la mitad de uno de los lados del triángulo y finalmente con hipotenusa 
, uno de los lados del triángulo inicial.De esta forma para hallar la altura solo debemos aplicar nuestra fórmula anterior para hallar catetos de triángulos rectángulo, lo que nos da
Dado que el área de un triángulo se obtiene a través de la fórmula
Observemos ahora, que la base del triángulo es de 
y la altura de 
Luego, remplazando en la fórmula del área se sigue que
Hallar la diagonal del cuadrado:
La diagonal del cuadrado cuyos lados miden 
divide al dicha figura en dos triángulos rectángulos, donde la diagonal 
coincide con la hipotenusa de cualquiera de estos triángulos. Es decir, debemos hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos igual a 
Para ello utilizaremos la fórmula para la hiptenusa:
Finalmente, la diagonal mide 
Hallar la diagonal del rectángulo:
De manera similar al ejercicio anterior, la diagonal de este rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos de catetos de 
y y la diagonal coincide con la hipotenusa de estos triángulos. Así que de nuevo debemos usar la fórmula para calcular la hipotenusa:
Por lo tanto, la diagonal tiene longitud 
Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
El perímetro del trapecio es la suma de la longitud de sus lados. De la figura se sigue que el lado superior del trapecio mide 
el lado inferior mide y la altura del trapecio mide 
Para hallar el lado diagonal del trapecio, que llamaremos 
debemos considerar el triángulo rectángulo de lado vertical 
lado horizontal 
e hipotenusa 
Dado que necesitamos calcular el valor de utilizaremos la fórmula para calcular la hipotenusa, asi pues tenemos:
Finalmente podemos calcular el perímetro, el cual sabemos que es igual a la suma
Para obtener el área hay que observar que el trapecio está conformado por un triángulos rectángulos y un rectángulo, entonces su área será igual a la suma de las áreas del triángulo y el rectángulo. Es decir,
El área del rectángulo es sencillamente el producto de su base por su altura, entonces 
Para el área del triángulo tenemos que
Por lo tanto
El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
El perímetro del trapecio es igual a la suma de la longitud de sus lados. Entonces tenemos la siguiente igualdad
donde 
es el valor del lado no paralelo.Despejando de la anterior ecuación, tenemos que
De esta forma hemos resuelto la primera parte del problema.
Recordemos que el área del trapecio es igual a la suma de las bases, multiplicadas por la altura y luego esto se divide entre dos. Así que debemos calcular la altura del trapecio, que llamaremos
De la figura podemos considerar el triángulo rectángulo de catetos e hipotenusa 
Luego, para hallar el valor de , utilizaremos la fórmula para calcular los catetos,
Ahora podemos concluir calculando el área del trapecio,
Hallar el área del pentágono regular:
Tenemos que los lados del pentágono regular miden Ya que el área del pentágono es igual a un medio del perímetro por el valor del apotema, entonces debemos encontrar el valor del apotema. Llamaremos al apotema 
tal como se ilustra en la figura. Para calcular consideremos el triángulo de catetos 
e hipotenusa Y utilizamos la fórmula para calcular catetos, entonces:
El valor del perímetro del pentágono es
Finalmente, podemos calcular el área del pentágono
Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
Ya que el cuadrado esta inscrito una circunferencia, entonces podemos dividirlo en 
triángulos rectángulos de catetos igual al radio del a circunferencia, 
, e hiputenusa .De esta forma podemos calcular el lado del triángulo utilizando la fórmula para calcular hipotenusas,
.
Por lo tanto, como el área del cuadrado es 
se sigue que es igual a 
En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
Para calcular el área del circulo debemos primero encontrar su radio. Ya que la cuerda del circulo dista 
del centro, podemos formar un triángulo rectángulo de catetos , la mitad de la cuerda, 
e hipotenusa igual al radio del circulo, . De esta forma, para hallar el radio debemos utilizar la fórmula para calcular hipitenusas.
Así, el area del círculo es
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8 Un rectángulo tiene un ancho de 3 unidades. El largo del rectángulo es 5 veces su ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo?
45u²
unidades
El largo es
Ahora bien, su área es
hola
No,entiendo si estoy poniendo bien el resultado por que me dice que esta mal ? si,estoy poniendo el resultado que aparece en la solución ya lo corregi 5 veces esta mal copiado ? por favor me dicen cual es el problema
Hola tienes razón, tu resultado es correcto, pero en este momento estamos remodelando la pagina y corriendo errores así que pronto vamos a corregir este que mencionas.
Todo bien con los otros ejercicios pero no me fue posible realizar el 1 y 2
Hola estamos a tu disposición para cualquier duda, solo menciona de manera especifica donde te atoras y con gusto te ayudamos.
Hola, soy Clarisa Israel, Ingeniera en Construcciones. Entiendo que el Romboide es un cuadrilátero con caracteristicas especiales y su nombre indica que tiene un parecido con el Rombo. Ese parecido tiene que ver con que sus diagonales son perpendiculares, y se cortan en el punto medio de una de ellas pero no de la otra. De esa manera al unir los puntos, 2 de sus lados consecutivos resultan de igual longitud y los 2 restantes también tienen igual longitud pero distinta a la de los primeros. NO es un paralelogramo pues sus lados opuestos no son paralelos. Tiene la típica forma de un Barrilete.
El material del sitio me parece muy interesante!!
Espero consideren este comentario.
Atentamente
Hola muchas gracias por tu aportación, lo tomaremos en cuenta para mejorar en nuestro contenido.
Se cumple que BM = MC y AQ = QM con A – Q – M y B – M − C. Si a(ABQ) = 8 ul^2, determine el área del ∆ABC.
No me deja poner 45u²
Hola puedes hacernos el favor de decirnos el número de ejercicio para poder corregirlo.