Ejercicios de Trigonometría II

La cosecante es positiva en dos cuadrantes, los valores de y serán los mismos valores para ambos cuadrantes, la diferencia entre los casos son los signos de algunas razones trigonométricas. Entonces comenzamos por encontrar los valores de y .La definición de la cosecante es , por lo tanto , ahora calculamos el valor de usando pitágoras,

1 1er cuadrante En este cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas:

2 2do cuadrante En este cuadrante algunas razones trigonométricas tienen signo negativo, ya que el valor de en este cuadrante es negativo:

Recordemos que dependiendo de la función, los ángulos negativos pueden o no, hacer a la función negativa. Además que cuando tenemos ángulos mayores de 90º buscamos expresar el ángulo de la siguiente forma dónde si es par entonces es igual a la función de , es decir, , donde representa a las funciones trigonométricas. También es importante recordar que las funciones tienen diferentes signos dependiendo del cuadrante en el que se encuentren.

a

Vamos a calcular las funciones trigonométricas, observemos que entonces estamos en el cuadrante II, por lo tanto tenemos que considerar el signo de cada una de las funciones,

b

Seguimos teniendo un ángulo mayor que 90º, de hecho es más grande que 360º, por lo tanto comenzamos por dividir el ángulo entre 360, para encontrar su equivalente: y tenemos un residuo de , el cual es el equivalente, por lo tanto calcularemos las funciones trigonométricas para el ángulo .

Para simplificar las fracciones tenemos que recordar tanto las funciones trigonométricas y sus definiciones como también algunas identidades trigonométricas.

a Comenzaremos aplicando directamente las correspondientes identidades trigonométricas y posteriormente cambiamos la definición de secante y cosecante, Para finalmente hacer la división de fracciones y encontrar la definición de tangente.

b Comenzamos por usar la definición de secante, hacer la resta y división de fracciones, Convertimos la diferencia de cuadrados en binomios conjugados y cambiamos la definición de tangente. Se cancelan los cosenos y usamos la identidad

c Comenzamos por separar las fracciones y simplificar, Volvemos a juntar la resta y separamos el número 2 para poder usar la identidad Convertimos la diferencia de cuadrados en binomios conjugados y volvemos a aplicar la identidad

Comenzamos por calcular el valor del ángulo,

Cómo es un polígono regular, calcular el valor del ángulo es equivalente a dividir 360º entre el número de lados. Dividimos el ángulo a la mitad para poder formar un triángulo rectángulo y así poder aplicar las funciones trigonométricas.Para encontrar el valor del lado usamos la función seno.Entonces despejando el valor de l, tenemos: cm Para encontrar el valor del apotema usamos la función coseno.Despejamos el apotema, cm

Para encontrar el valor de la distancia que hay entre A y B la forma más sencilla es aplicar la ley de cosenos,

Comenzamos por aplicar directamente la ley de cosenos, es decir: cm

rimero, usamos la definición de tangente y cotangente en términos de las funciones seno y coseno: Si quitamos denominadores y pasamos restando el término de la derecha, obtenemos Ahora, usamos la fórmula para la resta de ángulos de la función seno para obtener que Por lo tanto, obtenemos que Así, el problema se reduce a resolver la ecuación Recordemos que, la función seno se anula cuando su argumento es un múltiplo entero de Así, obtenemos que Por lo tanto, la solución es

Como en el ejercicio 2, nuevamente usaremos el resultado que nos dice que donde es un número par y representa a cualquiera de las funciones trigonométricas.

a

Usando el resultado de arriba con tenemos que

• 
• 

b

Usando la definición de tangente en términos de la función seno y coseno tenemos que

• donde hemos usado el primer inciso para obtener el resultado.

Ahora usamos la definición de cotangente en términos de seno y coseno

• 

c

Para resolver esto usamos las identidades Por lo tanto

• 
• 

El valor de representa la hipotenusa del triángulo rectángulo de la imagen. Tenemos información del ángulo y del cateto opuesto al ángulo, por lo tanto, como queremos conocer la hipotenusa, utilizamos la función seno:
Por lo tanto, se tiene que
Así, se tiene finalmente que

a en el intervalo Tenemos que Así, es la única solución en el intervalo

b en el intervalo

Observe que Lo anterior implica que

• Si
• Si la cual no tiene soluciones reales.

Por lo tanto, la solución es En el intervalo , las soluciones son