Medianas de un triángulo

Recordemos que la mediana es aquel segmento que une el vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Así, cada triángulo tiene tres medianas.

Triangulo y sus medianas

Ahora bien, el baricentro de un triángulo es el punto en el que se cruzan las medianas de la figura. También se le conoce como centroide y suele representarse con una G.

Medianas de un triangulo y su baricentro

Si tenemos un triangulo cuyos vértices son A(x_1,y_1,z_2), B(x_2, y_2, z_2) y C(x_3, y_3, z_3) entonces las coordenadas del baricentro seran:

     \[ G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)\]

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Vamos

Ejemplos de ejercicios con medianas y baricentros

1 Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, -2) los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro.

 

Utilizando la formula para las coordenadas del baricentro tendremos que

     \[ G\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{-1+2+4}{3}, \frac{3-2+1}{3}\right) = G\left(1, \frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right) \]

 

2 Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, -1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:

  • Las ecuaciones de las medianas del triángulo
  • Las coordenadas del baricentro del triángulo.
  • Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

Ecuaciones de las medianas

Triangulo, medianas y baricentro

Primero calculamos los puntos medios de cada lado del triangulo

     \[ P\left(\frac{2+1}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{4+5}{2}\right) = P\left(\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2}\right)\]

    \[ M\left(\frac{2+5}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = M\left(\frac{7}{2}, 4,4\right) \]

    \[ N\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{5+4}{2}\right)= N\left(3,2, \frac{9}{2}\right) \]

Calculamos los tres vectores formados por los puntos medios

     \[ \overrightarrow{N A}=\left(2-3,3-2,4-\frac{9}{2}\right)=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right) \]

     \[ \overrightarrow{M B}=\left(1-\frac{7}{2},-1-4,5-4\right)=\left(-\frac{5}{2},-5,1\right) \]

     \[ \overrightarrow{P C}=\left(5-\frac{3}{2}, 5-1,4-\frac{9}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, 4,-\frac{1}{2}\right) \]

Y ahora calculamos la ecuación de las medianas utilizando un punto y un vector :

    \[ A(2,3,4), \quad \overrightarrow{N A}=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad r \equiv\left\{\begin{array}{l} x=2-\lambda \\ y=3+\lambda \\ z=4-\frac{1}{2} \lambda \end{array}\right.\]

    \[ B(1,-1,5), \quad \overrightarrow{M B}=\left(-\frac{5}{2},-5,1\right) \quad \Rightarrow \quad s \equiv\left\{\begin{array}{l} x=1-\frac{5}{2} \lambda \\ y=-1-5 \lambda \\ z=5+\lambda \end{array}\right. \]

     \[ C(5,5,4), \quad \overrightarrow{P C}=\left(\frac{7}{2}, 4,-\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad t \equiv\left\{\begin{array}{l} x=5+\frac{7}{2} \lambda \\ y=5+4 \lambda \\ z=4-\frac{1}{2} \lambda \end{array}\right. \]

Coordenadas del baricentro

Utilizando la formula obtenemos que

    \[ G\left(\frac{2+1+5}{3}, \frac{3-1+5}{3}, \frac{4+5+4}{3}\right) = G\left(\frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) \]

Coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior

En este caso los vértices del triangulo son :

     \[ P\left(\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2}\right), \quad N\left(3,2, \frac{9}{2}\right), \quad M\left(\frac{7}{2}, 4,4\right) \]

Por lo tanto, las coordenadas del baricentro son

     \[ G'\left(\frac{\frac{3}{2}+\frac{7}{2}+3}{3}, \frac{1+4+2}{3}, \frac{\frac{9}{2}+4+\frac{9}{2}}{3}\right) = G'\left(\frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) \]

Los baricentros de los dos triángulos coinciden.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗