Medianas de un triángulo
Recordemos que la mediana es aquel segmento que une el vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Así, cada triángulo tiene tres medianas.
Ahora bien, el baricentro de un triángulo es el punto en el que se cruzan las medianas de la figura. También se le conoce como centroide y suele representarse con una 
.
Si tenemos un triangulo cuyos vértices son 
y 
entonces las coordenadas del baricentro seran:
![\[ G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)\]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c59d8cc789815be9bdc3e2466465847_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejemplos de ejercicios con medianas y baricentros
1 Sean 
y 
los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro.
Utilizando la formula para las coordenadas del baricentro tendremos que
![\[ G\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{-1+2+4}{3}, \frac{3-2+1}{3}\right) = G\left(1, \frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a41992bef106dd35ad5d80a4eed47985_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 Dado el triángulo de vértices 
y 
, hallar:
- Las ecuaciones de las medianas del triángulo
- Las coordenadas del baricentro del triángulo.
- Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
Ecuaciones de las medianas
Primero calculamos los puntos medios de cada lado del triangulo
![\[ P\left(\frac{2+1}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{4+5}{2}\right) = P\left(\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2}\right)\]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c940012be1ada02dadaecdfc7ccd060_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ M\left(\frac{2+5}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = M\left(\frac{7}{2}, 4,4\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9d95ac2c459e5919cdf01b0b924840a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ N\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{5+4}{2}\right)= N\left(3,2, \frac{9}{2}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef9f491dde9563724c07e0565f0a8be1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculamos los tres vectores formados por los puntos medios
![\[ \overrightarrow{N A}=\left(2-3,3-2,4-\frac{9}{2}\right)=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47bb844bc022449e6cbc8a3a4742055d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \overrightarrow{M B}=\left(1-\frac{7}{2},-1-4,5-4\right)=\left(-\frac{5}{2},-5,1\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4add778a3e81114c5101b4f35ac6d09c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \overrightarrow{P C}=\left(5-\frac{3}{2}, 5-1,4-\frac{9}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, 4,-\frac{1}{2}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e34a7cf426d4386b752863b4ab70897_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y ahora calculamos la ecuación de las medianas utilizando un punto y un vector :
![\[ A(2,3,4), \quad \overrightarrow{N A}=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad r \equiv\left\{\begin{array}{l} x=2-\lambda \\ y=3+\lambda \\ z=4-\frac{1}{2} \lambda \end{array}\right.\]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-660a13f0453d6e7d2720aa122d20c0ea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ B(1,-1,5), \quad \overrightarrow{M B}=\left(-\frac{5}{2},-5,1\right) \quad \Rightarrow \quad s \equiv\left\{\begin{array}{l} x=1-\frac{5}{2} \lambda \\ y=-1-5 \lambda \\ z=5+\lambda \end{array}\right. \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa235fd87850054a3355701d84c3cf38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ C(5,5,4), \quad \overrightarrow{P C}=\left(\frac{7}{2}, 4,-\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad t \equiv\left\{\begin{array}{l} x=5+\frac{7}{2} \lambda \\ y=5+4 \lambda \\ z=4-\frac{1}{2} \lambda \end{array}\right. \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb23efe7c09164fd2562f679459fc2aa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Coordenadas del baricentro
Utilizando la formula obtenemos que
![\[ G\left(\frac{2+1+5}{3}, \frac{3-1+5}{3}, \frac{4+5+4}{3}\right) = G\left(\frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bdbb5e5b76269a7d3515811a7fad201_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior
En este caso los vértices del triangulo son :
![\[ P\left(\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2}\right), \quad N\left(3,2, \frac{9}{2}\right), \quad M\left(\frac{7}{2}, 4,4\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdfb5c40fb8854200bf24f108c980076_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Por lo tanto, las coordenadas del baricentro son
![\[ G'\left(\frac{\frac{3}{2}+\frac{7}{2}+3}{3}, \frac{1+4+2}{3}, \frac{\frac{9}{2}+4+\frac{9}{2}}{3}\right) = G'\left(\frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05438346a6d1cc98e686a48963c4b5b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Los baricentros de los dos triángulos coinciden.
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