Haz de planos paralelos

Dos planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son proporcionales; pero no lo son sus términos independientes. Es decir, diremos que dos planos expresados en su forma general:

    \begin{equation*}A_1x+B_1y+C_1z+k_1=0\end{equation*}

    \begin{equation*}A_2x+B_2y+C_2z+k_2=0\end{equation*}

Son paralelos si se satisface que:

    \begin{equation*}\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=m\end{equation*}

.

Además tienen la característica de que:

    \begin{equation*}\frac{k_1}{k_2}\neq m\end{equation*}

.

 

Planos paralelos en R3

Ejemplo

Calcular la ecuación general del plano A_2x+B_2y+C_2z+k_2=0que pasa por el punto (3, -1, 2) y es paralelo a \pi\equiv x+2y-3z-5.

  • Para resolver utilicemos la relación descrita anteriormente:

    \begin{equation*}\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=m\end{equation*}

.

  • Sustituimos con los valores de los coeficientes de la ecuación \pi:

    \begin{equation*}\frac{1}{A_2}=\frac{2}{B_2}=-\frac{3}{C_2}=m\end{equation*}

.

  • Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la constante m=1. Entonces tenemos:

    \begin{equation*}A_2=1\quad B_2=2 \quad C_2=-3\end{equation*}

.

  • Por lo cual tenemos la ecuación x+2y-3z+k_2=0. Para obtener el valor de k_2, sustituimos en el punto dado en el planteamiento del problema:

    \begin{equation*}3+2(-1)-3(2)+k_2=0\Rightarrow k_2=5\end{equation*}

  • Finalmente, escribimos la ecuación del plano paralelo:

    \begin{equation*}x+2y-3z+5=0\end{equation*}

Haz de planos de eje r

Se denomina haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r.

 

Haz de planos sobre un mismo eje

 

  • Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

    \begin{equation*} r \equiv\left\{\begin{array}{c} A x+B y+C z+D=0 \\ A^{\prime} x+B^{\prime} y+C^{\prime} z+D^{\prime}=0 \end{array}\right. \end{equation*}

           la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

    \begin{equation*}\lambda\left(Ax+By+Cz+D\right)+\mu\left(A'x+B'y+C'z+D'\right)=0\end{equation*}

  • Si dividimos por \lambda  y hacemos  k=\frac{\mu}{\lambda}, la ecuación del haz resulta:

    \begin{equation*}\left(Ax+By+Cz+D\right)+k\left(A'x+B'y+C'z+D'\right)=0\end{equation*}

.

Ejemplo:

Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, -3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta:

    \begin{equation*} r \equiv\left\{\begin{array}{c} 2x+3 y- z-9=0 \\ - x+2y+3z+2=0 \end{array}\right. \end{equation*}

.

  • Primero retomamos el resultado descrito anteriormente y sustituimos:

    \begin{equation*}\left(Ax+By+Cz+D\right)+k\left(A'x+B'y+C'z+D'\right)=0\end{equation*}

.

    \begin{equation*}2x+3y-z-9+k\left(- x+2y+3z+2\right)=0\end{equation*}

.

  • Para calcular el valor de k, sustituimos usando la coordenada planteada al inicio del ejercicio, es decir (3, 2, -3):

    \begin{equation*}2(3)+3(2)+3-9+k\left(- 3+2\cdot 2+3\cdot (-3)+2\right)=0\end{equation*}

    \begin{equation*}6+6+3-9+k\left(- 3+4-9+2\right)=0\end{equation*}

    \begin{equation*}6+k\left(6\right)=0\Rightarrow k=1\end{equation*}

  • Finalmente sustituimos:

    \begin{equation*}2x+3y-z-9+\left(- x+2y+3z+2\right)=0\end{equation*}

.

    \begin{equation*}x+5y+2z-7=0\end{equation*}

.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗