Posiciones relativas de tres planos y matriz de coeficientes

Dados los planos:

 

\left \{ \begin{array}{l} A_1x+ B_1y + C_1z + D_1 = 0, \\ A_2x+ B_2y + C_2z + D_2 = 0, \\ A_3x+ B_3y + C_3z + D_3 = 0 \end{array} \right.

 

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r' = rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:

 

r r' Posición
3 3 1. Planos secantes en un punto
2 3
\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'} \neq \cfrac{D}{D'}
2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'} = \cfrac{D}{D'}
3.1 Planos secantes y distintos.
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'} = \cfrac{D}{D'}
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1 5. Planos coincidentes.

 

Planos secantes en un punto

 

Si r = r' = 3 entonces los planos son secantes entre si y se cortan en un punto. Esto quiere decir que el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible determinado

 

posiciones relativas de tres planos 1

Si r = 2 y r' = 3 entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos secantes dos a dos

 

Si r = 2 y r' = 3 puede darse el cado que los planos se intersectan dos a dos formando una superficie primática. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible

 

posiciones relativas de tres planos 2

 

 

Dos planos paralelos y el tercero secante

 

Si r = 2 y r' = 3 puede darse el caso de que dos planos sean paralelos y el tercero sea secante a los planos paralelos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 3

 

Si r = r' = 2 entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos secantes y distintos

 

Si r =  r' =2 puede darse el caso de que los tres planos sean secantes y distintos pero los tres se intersecten en una misma recta. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado.

 

posiciones relativas de tres planos 4

 

 

Dos planos coincidentes y uno secante

 

Si r =  r' =2 puede darse el caso de que dos planos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 5

 

Si r = 1 y r' = 2 entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos paralelos y distintos dos a dos

 

Si r = 1 y r' = 2 puede darse el caso de que los tres planos sean paralelos y distintos dos a dos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible.

 

posiciones relativas de tres planos 6

 

 

Planos paralelos y dos coincidentes

 

Si r = 1 y r' = 2 puede darse el caso de que dos planos coincidan y sean paralelos al tercero. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 7

 

 

Planos coincidentes

 

Si r = r' = 1 entonces los tres planos coinciden entre si. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeteminado.

 

posiciones relativas de tres planos 8

 

 

Hallar la posición relativa de los planos:

 

1\begin{array}{l} \pi_1 \equiv x + y - z + 3 = 0 \\ \pi_2 \equiv -4x + y + 4z - 7 = 0  \\  \pi_3 \equiv -2x + 3y + 2z - 2 = 0 \end{array}

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y - z + 3 = 0 \\  -4x + y + 4z - 7 = 0  \\  -2x + 3y + 2z - 2 = 0 \end{array} \right.

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes  M

 

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & 1 & 4 \\ -2 & 3 & 2  \end{pmatrix}

 

para ello calculamos el determinante de M

 

|M| = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2  \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -2 & 2  \end{vmatrix}- \begin{vmatrix}  -4 & 1 \\ -2 & 3  \end{vmatrix} = 0

 

Calculamos el determinante de la submatriz \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2  \end{pmatrix}

 

\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2  \end{vmatrix}  \neq 0

 

Así, r = 2

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida M'

 

M' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -3 \\ -4 & 1 & 4 & 7 \\ -2 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}

 

para ello calculamos el determinante de la submatriz

 

\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -4 & 1  & 7 \\ -2 & 3  & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 2  \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -4 & 7 \\ -2 & 2  \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix}  -4 & 1 \\ -2 & 3  \end{vmatrix} \neq 0

 

Así, r' = 3.

 

Como los planos no son paralelos entre si, r = 2 y r' = 3 concluimos que los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática

 

 

2\begin{array}{l} \pi_1 \equiv 2x - 3y + 4z - 1 = 0 \\ \pi_2 \equiv x - y - z + 1 = 0 \\ \pi_3 \equiv -x + 2y - z + 2 = 0 \end{array}

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} 2x - 3y + 4z = 1 \\ x - y - z = -1 \\ -x + 2y - z = -2 \end{array} \right.

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M

 

M = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

 

para ello calculamos el determinante de M

 

|M| = -\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \neq 0

 

Así, r = 2

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida M'

 

M' = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}

 

para ello calculamos el determinante de la submatriz M la cual sabemos que es distinto de cero. Así, r' = 3.

 

De esta forma se concluye que los tres planos se cortan en un punto

 

 

3\begin{array}{l} \pi_1 \equiv 2x + 3y + z - 1 = 0 \\ \pi_2 \equiv x - y + z + 2 = 0 \\ \pi_3 \equiv 2x - 2y + 2z + 4 = 0 \end{array}

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3y + z = 1 \\ x - y + z = -2 \\ x - 2y + 2z = -4 \end{array} \right.

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M

 

M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}

 

para ello calculamos el determinante de M

 

|M| = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 0

 

Calculamos el determinante de la submatriz \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}

 

\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \neq 0

 

Así, r = 2

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida M'

 

M' = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 2 & -4 \end{pmatrix}

 

como la segunda y tercera fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz

 

\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \neq 0

 

Así, r' = 2

 

De esta forma se concluye que el segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos.

 

 

4\begin{array}{l} \pi_1 \equiv 2x - y + 2z + 1 = 0 \\ \pi_2 \equiv -4x + 2y - 4z - 2 = 0 \\ \pi_3 \equiv 6x - 3y + 6z + 1 = 0 \end{array}

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} 2x - y + 2z = -1 \\ -4x + 2y - 4z = 2 \\ 6x - 3y + 6z = -1 \end{array} \right.

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M

 

M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -4 & 2 & -4 \\ 6 & -3 & 6 \end{pmatrix}

 

como las tres filas son múltiplos entres si, el determinante de esta matriz y la de todas sus submatrices de tamaño 2 es cero ello calculamos el determinante de M

 

Así, r = 1

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida M'

 

M' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & -4 & 2 \\ 6 & -3 & 6 & -1 \end{pmatrix}

 

como la primera y segunda fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz

 

\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} \neq 0

 

Así, r' = 2

 

De esta forma se concluye que el primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗