1Una recta pasa por el punto A=(-1,3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).

Escribir su ecuación vectorial.

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5). Escribir su ecuación vectorial.Su ecuación vectorial es:

(x,y)=(-1,3)+k\cdot (2,5)

 

2Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).

Escribir sus ecuaciones paramétricas.

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).Escribir sus ecuaciones paramétricas.Sus ecuaciones paramétricas son:

\left\{\begin{matrix} x=-1+2k\\ y=3+5k\; \; \, \end{matrix}\right.

 

3Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).

Escribir su ecuación continua.

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).Escribir su ecuación continua.Su ecuación continua es:

\cfrac{x+1}{2}=\cfrac{y-3}{5}

 

4 Escribir la ecuación punto pendiente de:

a Una recta que pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).

b Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4, 2).

c Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45^{\circ}.

Escribir la ecuación punto pendiente de:

a Una recta que pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v}=(2,5).

 

y-3=\cfrac{5}{2}\, (x+1)

 

b Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

 

m=\cfrac{2+3}{4+2}=\cfrac{5}{6}

 

y+3=\cfrac{5}{6}\, (x+2)

 

c Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45^{\circ}.

 

\tan 45^{\circ}=1

 

y+3=x+2

 

5Escribir la ecuación general de la recta que:

a Pasa por A(1, 5) y tiene como vector director \vec{v} igual (-2, 1).

b Pasa por A(1, 5) y tiene como pendiente m=-2.

Escribir la ecuación general de la recta que:

a Pasa por A(1, 5) y tiene como vector director \vec{v} igual (-2, 1).

 

\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{1}

 

x-1=-2y+10

 

x+2y-11=0

 

b Pasa por A(1,5) y tiene como pendiente m=-2.

 

y-5=-2(x-1)

 

y-5=-2x+2

 

2x+y-7=0

 

6Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A(1, 5) y tiene como pendiente m=-2.

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A(1, 5) y tiene como pendiente m=-2.

y-5=-2(x-1)

y-5=-2x+2

y=-2x+7

7Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, -5).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, -5).

\cfrac{x-1}{2-1}=\cfrac{y-3}{-5-3}

-8x+8=y-3

8x+y-11=0

8Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

A(1,2)\; \; \; \; \; B(-2,5)\; \; \; \; \; \overrightarrow{AB}=(-3,3)

Ecuación que pasa por dos puntos

 

\cfrac{x-1}{-2-1}=\cfrac{y-2}{5-2}

 

\cfrac{x-1}{-3}=\cfrac{y-2}{3}

 

Ecuación vectorial

 

(x,y)=(1,2)+k\cdot (-3,3)

 

Ecuaciones paramétricas

 

\left\{\begin{matrix} x=1-3k\\ y=2+3k \end{matrix}\right.

 

Ecuación continua

 

\cfrac{x-1}{-3}=\cfrac{y-2}{3}

 

Ecuación general

 

x+y-3=0

 

Ecuación explícita

 

y=-x+3

 

Ecuación punto-pendiente

 

y-2=-1(x-1)

 

9Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x+2y-7=0.

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

3x+2y-7=0

 

y=-\cfrac{3}{2}\, x+\cfrac{7}{2}

 

m=-\cfrac{3}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=\cfrac{7}{2}

 

10Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a 2x + 3y - 4 =0

b x - 2y + 1= 0

c 3x - 2y - 9 = 0

d 4x + 6y - 8 = 0

e 2x - 4y - 6 = 0

f 2x + 3y + 9 = 0

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a 2x + 3y - 4 =0

b x - 2y + 1= 0

c 3x - 2y - 9 = 0

d 4x + 6y - 8 = 0

e 2x - 4y - 6 = 0

f 2x + 3y + 9 = 0

 

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:

 

\cfrac{2}{4}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{-4}{-8}

 

Las rectas 2 y 5 son paralelas, la 1 y 6 son paralelas, la 4 y 6 son paralelas, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el término independiente.

 

\cfrac{1}{2}=\cfrac{-2}{-2}\neq \cfrac{1}{-6}

 

\cfrac{2}{2}=\cfrac{3}{3}\neq \cfrac{-4}{9}

 

\cfrac{4}{2}=\cfrac{6}{3}\neq \cfrac{-8}{9}

 

11¿Son secantes las rectas r\equiv x+y-2=0 y s\equiv x-2y+4=0?

En caso afirmativo calcular el punto de corte.

¿Son secantes las rectas r\equiv x+y-2=0 y s\equiv x-2y+4=0?En caso afirmativo calcular el punto de corte.

\cfrac{1}{1}\neq \cfrac{1}{-2} por lo que sí son secantes

 

\left\{\begin{matrix} x+y-2=0\\ x-2y+4=0 \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; r\cap s=P(0,2)

 

12Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).

Triángulo rectángulo en el primer cuadrante del plano cartesiano

 

d(\overline{AB})=\sqrt{(6-3)^{2}+(0-0)^{2}}=3

 

d(\overline{BC})=\sqrt{(6-3)^{2}+(3-0)^{2}}=3\sqrt{2}

 

d(\overline{AC})=\sqrt{(6-6)^{2}+(3-0)^{2}}=3

 

d(\overline{AB})=d(\overline{BC})\neq d(\overline{AC}) por lo que es Isósceles

 

\left [d(\overline{AB}) \right ]^{2}=\left [d(\overline{BC}) \right ]^{2} + \left [d(\overline{AC}) \right ]^{2} por lo que es Rectángulo

 

13 Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Triángulo isósceles obtusángulo en el plano cartesiano

 

d(\overline{AB})=\sqrt{(3-4)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}

 

d(\overline{BC})=\sqrt{(0-3)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}

 

d(\overline{AC})=\sqrt{(0-4)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}

 

d(\overline{AB})=d(\overline{BC})\neq d(\overline{AC}) Es un triángulo Isósceles

 

\left [d(\overline{AC}) \right ]^{2}>\left [d(\overline{AB}) \right ]^{2}+ \left [d(\overline{BC}) \right ]^{2} Es un triángulo Obtusángulo

 

14 De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0).

Halla las coordenadas del vértice D.

De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0).Halla las coordenadas del vértice D.

Paralelogramo en el plano cartesiano

 

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

 

(X_{D}-1,Y_{D-3})=(-2-5,0-1)

 

X_{D}-1=-7

 

Y_{D}-3=-1

 

D=(-6,2)

 

15 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2).

Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro y su área.

Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2).Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro y su área.

Cuadrilátero en el plano cartesiano

 

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

 

\overrightarrow{AB}=(1-3,4-0)=(-2,4)

 

\overrightarrow{DC}=(-3-(-1),2-(-2))=(-2,4)

 

(-2,4)=(-2,4)

 

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

 

(-1-3,-2-0)=(-3-1,2-4)

 

(-4,-2)=(-4,-2)

 

Es un Paralelogramo

 

Las diagonales se cortan en el punto medio

 

M\left ( \cfrac{3-3}{2},\cfrac{0+2}{2} \right )\; \; \; \; \; M=(0,1)

 

\textup{\'{A}rea}=d(A,B)\cdot d(C,r_{AB})

 

d(A,B)=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}

 

\cfrac{x-3}{1-3}=\cfrac{y-0}{4-0}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; r_{AB}\equiv 2x+y-6=0

 

d(C,r_{AB})=\cfrac{\left | 2\cdot (-3)+2-6 \right |}{\sqrt{5}}=\cfrac{10}{\sqrt{5}}

 

A=2\cdot \sqrt{5}\cdot \cfrac{10}{\sqrt{5}}=20\, u^{2}

 

16 De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2).

También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

a Los otros vértices.

b Las ecuaciones de las diagonales.

c La longitud de las diagonales.

De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

Paralelogramo en el primer cuadrante del plano cartesiano

 

a Los otros vértices.

 

M es el punto medio de \overline{OB}

 

(6,2)=\left ( \cfrac{0+X_{B}}{2},\cfrac{0+Y_{B}}{2} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{matrix} 6=\cfrac{0+X_{B}}{2}\\ \\ 2=\cfrac{0+Y_{B}}{2} \end{matrix} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; B(12,4)

 

M es el punto medio de \overline{AC}

 

(6,2)=\left ( \cfrac{8+X_{C}}{2},\cfrac{0+Y_{C}}{2} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{matrix} 6=\cfrac{8+X_{C}}{2}\\ \\ 2=\cfrac{0+Y_{C}}{2} \end{matrix} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; C(4,4)

 

b Las ecuaciones de las diagonales.

 

Ecuación de AC

 

\cfrac{x-8}{4-8}=\cfrac{y-0}{4-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x+y-8=0

 

Ecuación de OB

 

\cfrac{x-12}{12-0}=\cfrac{y-4}{4-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x-3y=0

 

c La longitud de las diagonales.

 

AC=\sqrt{(4-8)^{2}+(4-0)^{2}}=4\sqrt{2}

 

OB=\sqrt{(12-0)^{2}+(4-0)^{2}}=4\sqrt{10}

 

17 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s\equiv 2x+y+2=0.

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s\equiv 2x+y+2=0.

Rectas paralelas

 

m_{r}=m_{s}=\cfrac{-2}{1}=-2

 

y-5=-2\cdot (x-1)

 

2x+y-7=0

 

18 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

r\parallel s\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; m_{r}=m_{s}=\cfrac{2-1}{-2-4}=-\cfrac{1}{6}

 

m_{r}=-\cfrac{1}{6}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; A(2,-3)

 

y+3=-\cfrac{1}{6}\, (x-2)

 

x+6y+16=0

 

19 La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0.

Calcula m y n.

La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0.Calcula m y n.

A\in r

 

3\cdot 3+n\cdot2-7=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n=-1

 

r\parallel s

 

\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; m=-6

 

20 Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

Mediana de un triángulo

 

M_{AB}\left ( \cfrac{0+4}{2},\cfrac{0+0}{2} \right )\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; M_{AB}(2,0)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; C(4,4)

 

\cfrac{x-2}{4-2}=\cfrac{y-0}{4-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 2x-y-4=0

 

21 Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales.

Calcular las coordenadas del vértice C.

Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales.Calcular las coordenadas del vértice C.

Triángulo isósceles en el plano cartesiano y recta que pasa por un vértice

 

C\in r

 

2x_{c}-4y_{c}+3=0

 

d(\overline{AC})=d(\overline{BC})

 

\sqrt{(x_{c}+1)^{2}+(y_{c}-3)^{2}}=\sqrt{(x_{c}-3)^{2}+(y_{c}+3)^{2}}

 

2x_{c}-3y_{c}-2=0

 

\left\{\begin{matrix} 2x_{c}-4y_{c}+3=0\\ 2x_{c}-3y_{c}-2=0 \end{matrix}\right.

 

C\left ( \cfrac{17}{2},5 \right )

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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