2 junio 2019
Elige la opción correcta en cada caso:
1Calcula una recta perpendicular a la recta r ≡ y = 3x − 5 que pase por el punto (1, −3)
La pendiente de la recta que nos dan es mr = 3. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es 
.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
2Calcula una recta perpendicular a la recta r ≡ 5x − 4y + 2 = 0 que pase por el punto (−1, −5)
La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es 
.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
3Calcula una recta perpendicular a r ≡ −3x + 2y − 1 = 0, que pasen por el punto (2,4)
Recta s paralela a la recta r
La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
. Como tenemos que hallar una recta paralela a ésta sus pendientes han de coincidir. Así que la pendiente de la nueva recta s es también 
.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
Recta t perpendicular a la recta r
La pendiente de la recta t perpendicular a la recta r es 
.
Volvemos a usar la ecuación punto-pendiente para calcular la ecuación de la recta t.
4La recta r ≡ x + 2y − 4 = 0 y la recta s, perpendicular a r y que pasa por el punto (−1, 2), se cortan en el punto de coordenadas:
La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
. Entonces la pendiente de la recta s, perpendicular a r, es 
.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
Para hallar el punto de corte de las dos rectas, resolvemos el sistema:
Entonces el punto de corte es:
5Comprueba si las rectas r ≡ y = 3x − 2 y s ≡ x + 3y + 5 = 0 son perpendiculares
La pendiente de la recta r es mr = 3.
Para hallar la pendiente de la recta s, la pasamos a forma explícita:
La pendiente de la recta s es 
.
Como se verifica 
, entonces las rectas son perpendiculares.
6Comprueba si las rectas r: pasa por los puntos (3, −3) y (1, 2) y s: pasa por los puntos (5, 2) y (7, −2) son perpendiculares
La recta r que pasa por los puntos (3, −3) y (1, 2), tiene pendiente:
La recta s que pasa por los puntos (5, 2) y (7, −2), tiene pendiente:
Como no se verifica 
, entonces las rectas no son perpendiculares.
7La recta perpendicular a la recta r ≡ x − 4y − 7 = 0 que pasa por el punto (−2, 0) y la recta paralela a la recta s ≡ y = 6x + 1 que pasa por el punto (4, 3) se cortan en el punto de coordenadas:
Recta perpendicular a la recta r
La recta r viene dada en forma general. Para hallar su pendiente, la pasamos a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
. Entonces la pendiente de la recta t, perpendicular a la recta r, es 
.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
Recta paralela a la recta s
La pendiente de la recta s es ms = 6. Entonces la pendiente de la recta u, paralela a la recta s, conincide con la pendiente de s. Así que es mu = ms = 6.
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
Punto de corte
Para hallar el punto de corte de las rectas t y u, resolvemos el siguiente sistema:
Entonces el punto de corte es:
8La recta perpendicular a la recta r ≡ 8x − 2y − 2 = 0 que pasa por el punto (1, 3), es también:
En primer lugar calculemos la recta perpendicular a la recta r ≡ 8x − 2y − 2 = 0 que pasa por el punto (1, 3):
La recta r viene dada en forma general. Pasémosla a forma explícita para hallar su pendiente.
2y = 8x − 2
r ≡ y = 4x − 1
La pendiente de la recta r es mr = 4. Entonces la pendiente de la recta v, perpendicular a la recta r, es 
Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.
Veamos si es paralela a la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, −5):
Hallamos la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, −5) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Las rectas 
y 
no son paralelas ya que sus pendientes no coinciden.
Veamos si es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, −2) y (3, −1):
Hallamos la recta que pasa por los puntos (2, −2) y (3, −1) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Las rectas 
y t ≡ y = −x no son perpendiculares ya que 
Veamos si es paralela a la recta que pasa por los puntos (0, −1) y (4, −2):
Hallamos la recta pasa por los puntos (0, −1) y (4, −2) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Las rectas 
y 
son paralelas ya que sus pendientes coinciden.
Contesta a las siguientes cuestiones:
9Calcula k para que las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡ 2x − ky + 5 = 0 sean perpendiculares.
k =
Para que las rectas r y s sean perpendiculares, sus pendientes deben verificar 
. Calculamos las pendientes de ambas rectas e imponemos que que cumplan la condición anterior.
La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
.
Análogamente, hallamos la pendiente de la recta s:
La pendiente de la recta s es 
.
Imponemos la condición para que r y s sean perpendiculares:
10Calcula k para que las rectas r ≡ −kx + 6y + 2 = 0 y 
sean perpendiculares.
k =
Para que las rectas r y s sean perpendiculares, sus pendientes deben verificar 
.Calculamos las pendientes de ambas rectas e imponemos que cumplan la condición anterior.
La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:
La pendiente de la recta r es 
.
Análogamente, hallamos la pendiente de la recta s:
La pendiente de la recta s es 
.
Imponemos la condición para que r y s sean perpendiculares:
11Calcula a y b para que la recta r ≡ ax + 3y − 1 = 0 que pasa por el punto (4, 2) y la recta s ≡ bx − 2y + 4 = 0 sean perpendiculares
a =, b =
Como la recta r pasa por el punto (4, 2), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y despejamos el valor de a:
a· 4 + 3· 2 − 1 = 0 ⇒ 4a + 5 = 0 ⇒ 
La ecuación de la recta r en forma explícita es:
La pendiente de la recta r es 
.
Pasamos la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.
La pendiente de la recta s es 
.
Como las rectas r y s tienen que ser perpendiculares, sus pendientes tienen que verificar 
. Imponemos la condición y obtenemos así el valor de b:
12Calcula a y b para que la recta 
que pasa por el punto (1, −2) y la recta s ≡ bx − 4y − 8 = 0 sean perpendiculares
a =, b =
Como la recta r pasa por el punto (1, −2), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y obtenemos el valor de a:
La ecuación de la recta r en forma explícita es:
La pendiente de la recta r es 
.
Pasamos la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.
La pendiente de la recta s es 
.
Como las rectas r y s tienen que ser perpendiculares, sus pendientes tienen que verificar 
. Imponemos la condición y obtenemos así el valor de b:
Si tienes dudas puedes consultar la teoría
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4) Determinar si la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 y la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 son paralelas o perpendiculares.
Hola, recordemos que dos rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen que
m·m’ = – 1
por otro lado, son paralelas si
m = m’
Si tenemos la ecuación explícita de la recta
y = mx + b
La pendiente sería m, el coeficiente que acompaña a la x. Entonces para saber las pendientes de las rectas del ejercicio tenemos que pasar de su ecuación general a su ecuación explícita
3x – y + 4 = 0 y = 3x + 4
3x – y – 3 = 0 y = 3x – 3
Notamos las pendientes cumplen que m = m’ pues ambas rectas tienen pendiente 3. Se concluye que son paralelas.
Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!