Elige la opción correcta en cada caso:

1Calcula una recta perpendicular a la recta r \equiv y = 3x - 5 que pase por el punto (1, -3)

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = 3. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es

 

m_s = -\cfrac{1}{m_r} = -\cfrac{1}{3}.

 

2Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

 

y - y_1 = m_s(x - x_1)

 

3Sustituimos los valores conocidos

 

y - (-3)   =  -\cfrac{1}{3}(x - 1)

 

4Obtenemos la recta s perperdicular a r

 

s \equiv y   =  -\cfrac{1}{3}x - \cfrac{8}{3}

 

2Calcula una recta perpendicular a la recta r \equiv 5x - 4y + 2 = 0 que pase por el punto (-1, -5)

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = \cfrac{5}{4}. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es

 

m_s = -\cfrac{1}{m_r} = -\cfrac{4}{5}.

 

2Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

 

y - y_1 = m_s(x - x_1)

 

3Sustituimos los valores conocidos

 

y - (-5) = -\cfrac{4}{5}(x - (-1))

 

4Obtenemos la recta s perperdicular a r

 

s \equiv y = -\cfrac{4}{5}x - \cfrac{29}{5}

 

3Calcula una recta perpendicular a r \equiv -3x + 2y - 1 = 0, que pasen por el punto (2,4)

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = \cfrac{3}{2}. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta t es

 

m_t = -\cfrac{1}{m_t} = -\cfrac{2}{3}.

 

2Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente

 

y - y_1 = m_t(x - x_1)

 

3Sustituimos los valores conocidos

 

y - 4 = -\cfrac{2}{3}(x - 2)

 

4Obtenemos la recta t perperdicular a r

 

t \equiv y = -\cfrac{2}{3}x + \cfrac{16}{3}

 

4La recta r \equiv x + 2y - 4 = 0 y la recta s, perpendicular a r y que pasa por el punto (-1, 2), se cortan en el punto de coordenadas:

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = -\cfrac{1}{2}. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es

 

m_s = -\cfrac{1}{m_r} = 2.

 

2Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

 

y - y_1 = m_s(x - x_1)

 

3Sustituimos los valores conocidos

 

y - 2 = 2(x - (-1))

 

4Obtenemos la recta s perperdicular a r

 

s \equiv y = 2x + 4

 

5Obtenemos Resolvemos el sistema de ecuaciones de las rectas r y s, para esto igualamos las variables y

 

2x + 4 = \cfrac{4 - x}{2}

 

Despejando para x se obtiene x = -\cfrac{4}{5}

 

Sustituyendo en la recta s, se obtiene y = \cfrac{12}{5}

 

Así, el punto de intersección es \left ( -\cfrac{4}{5}, \cfrac{12}{5} \right )

5Comprueba si las rectas r \equiv y = 3x - 2 y s \equiv x + 3y + 5 = 0 son perpendiculares

1La pendiente de la recta r es

 

m_r = 3.

 

2La pendiente de la recta s es

 

m_s = -\cfrac{1}{3}.

 

3Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1

 

m_r \cdot m_s = 3 \cdot \left (-\cfrac{1}{3} \right ) = -1.

 

Luego las dos rectas son perpendiculares.

 

6Comprueba si la recta rque pasa por los puntos (3, -3) y (1, 2), y la recta s que pasa por los puntos (5, 2) y (7, -2) son perpendiculares entre si

1La pendiente de la recta r es

 

m_r = \cfrac{2 - (-3)}{1 - 3} = -\cfrac{5}{2}.

 

2La pendiente de la recta s es

 

m_s = \cfrac{-2 - 2}{7 - 5} = -2.

 

3Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1

 

m_r \cdot m_s = -\cfrac{5}{2} \cdot (-2) = 5.

 

Luego las dos rectas no son perpendiculares.

 

7La recta perpendicular a la recta r \equiv x - 4y - 7 = 0 que pasa por el punto (-2, 0) y la recta paralela a la recta s \equiv y = 6x + 1 que pasa por el punto (4, 3) se cortan en el punto de coordenadas:

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = \cfrac{1}{4}. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta t es

 

m_t = -4.

 

2Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

 

y - y_1 = m_t(x - x_1)

 

3Sustituimos los valores conocidos

 

y - 0 = -4(x - (-2))

 

4Obtenemos la recta t perperdicular a r

 

t \equiv y = -4x - 8

 

5La pendiente de la recta s es m_s = 6, por lo que la pendiente de la recta u paralela a s es m_u = 6

 

7Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

 

y - y_1 = m_u(x - x_1)

 

8Sustituimos los valores conocidos

 

y - 3 = 6(x - 4)

 

9Obtenemos la recta u paralela a s

 

u \equiv y = 6x - 21

 

10Resolvemos el sistema de ecuaciones de las rectas t y u, para esto igualamos las variables y

 

6x - 21 = -4x - 8

 

Despejando para x se obtiene x = \cfrac{13}{10}

 

Sustituyendo en la recta u, se obtiene y = -\cfrac{66}{5}

 

Así, el punto de intersección es \left ( \cfrac{13}{10}, -\cfrac{66}{5} \right )

 

8La recta perpendicular a la recta r \equiv 8x - 2y - 2 = 0 que pasa por el punto (1, 3), es también:

1La pendiente de la recta que nos dan es m_r = \cfrac{8}{2} = 4. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la s perpendicular a r y que para por (1, 3) es

 

m_s = -\cfrac{1}{4}.

 

2Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, -5)

 

m_t = \cfrac{-5 - 3}{1 - 4} = \cfrac{8}{3}.

 

Luego la pendiente de cualquier recta paralela a s es m_{s'} = \cfrac{8}{3}

 

3Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, -2) y (3, -1)

 

m_t = \cfrac{-1 - (-2)}{3 - 2} = 1.

 

Luego la pendiente de cualquier recta perpendicular a t es m_{t'} = -1

 

4Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, -1) y (4, -2)

 

m_u = \cfrac{-2 - (-1)}{4 - 0} = -\cfrac{1}{4}.

 

Luego la pendiente de cualquier recta paralela a u es m_{u'} = -\cfrac{1}{4}

 

5Se cumple que m_s = m_{u'}, por lo que la recta s es paralela a la recta u

 

Contesta a las siguientes cuestiones:

9Calcula k para que las rectas r \equiv x + 3y - 2 = 0 y s \equiv 2x - ky + 5 = 0 sean perpendiculares.

k =

1La pendiente de las rectas que nos dan son m_r = -\cfrac{1}{3} y m_s = \cfrac{2}{k}.

 

2Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendiente es -1.

 

-\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{2}{k} = -1.

 

3Despejando k se obtiene k = \cfrac{2}{3}.

 

10Calcula k para que las rectas r \equiv -kx + 6y + 2 = 0 y s \equiv \cfrac{x - 1}{4} = \cfrac{y + 3}{5} sean perpendiculares.

k =

1Las pendientes de las rectas que nos dan son m_r = \cfrac{k}{6} y m_s = \cfrac{5}{4}.

 

2Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendiente es -1.

 

\cfrac{k}{6} \cdot \cfrac{5}{4} = -1.

 

3Despejando k se obtiene k = -\cfrac{24}{5}.

 

11Calcula a y b para que la recta r \equiv ax + 3y - 1 = 0 que pasa por el punto (4, 2) y la recta s \equiv bx - 2y + 4 = 0 sean perpendiculares

a =, b =

1Como el punto (4, 2) para por la recta r, entonces podemos sustituir y obtener a

 

a(4) + 3(2) - 1 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -\cfrac{5}{4}.

 

2Las pendientes de las rectas que nos dan son m_r = -\cfrac{a}{3} = \cfrac{5}{12} y m_s = \cfrac{b}{2}.

 

2Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendiente es -1.

 

\cfrac{5}{12} \cdot \cfrac{b}{2} = -1.

 

3Despejando b se obtiene b = -\cfrac{24}{5}.

 

12Calcula a y b para que la recta r \equiv \cfrac{x + 2}{a} = \cfrac{y - 2}{7}, \ a \neq 0 que pasa por el punto (1, -2) y la recta s \equiv bx - 4y - 8 = 0 sean perpendiculares

a =, b =

1Como el punto (1, -2) para por la recta r, entonces podemos sustituir y obtener a

 

\cfrac{1 + 2}{a} = \cfrac{-2 - 2}{7} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -\cfrac{21}{4}.

 

2Las pendientes de las rectas que nos dan son m_r = \cfrac{7}{a} = -\cfrac{4}{3} y m_s = \cfrac{b}{4}.

 

2Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendiente es -1.

 

-\cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{b}{4} = -1.

 

3Despejando b se obtiene b = 3.

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗