En esta sección describiremos el concepto de pendiente de una recta, así como algunas formas de calcularla. Después, a partir del concepto de pendiente, definiremos la ecuación "punto-pendiente" de una recta. Finalmente, daremos unos ejemplos sobre cómo obtener la ecuación punto-pendiente de una recta.

 

Pendiente de una recta

 

Considera la recta de la siguiente figura. La pendiente de la recta es la tangente del ángulo alfa que forma la recta con la dirección positiva del eje x. En otras palabras, si \alpha es el ángulo entre la recta y el eje x, entonces la pendiente es tangente de alfa.

 

grafica de una recta

 

La pendiente se suele denotar utilizando la m. Algunas fórmulas para calcular la pendiente son las siguientes:

 

1 Pendiente dado el ángulo

 

Si ya conocemos el ángulo alfa que se forma entre la recta y el eje x positivo, entonces la pendiente se calcula mediante:

 

m = \tan(\alpha)

 

 

2 Pendiente dado el vector director de la recta

 

La recta se puede definir por medio de un vector-dirección vector director y un punto punto A (que está en la recta). Esta manera de definir una recta se conoce como ecuación paramétrica de la recta. En este caso, la pendiente se obtiene utilizando:

 

m = \displaystyle \frac{v_2}{v_1}

 

Observemos que la pendiente no depende del punto; únicamente depende del vector director.

 

3 Pendiente dados dos puntos

 

Recordemos que la tangente del ángulo de un triángulo rectángulo se define como tangente en triangulo rectangulo,  donde cateto opuesto es la longitud del cateto opuesto y cateto adyacente es la longitud del cateto adyacente.

 

De este modo, si miramos la imagen del principio, podemos ver que valor cateto opuesto  y  valor cateto adyacente. Sustituyendo, tenemos que,

 

\tan(\alpha) = \displaystyle \frac{\text{CO}}{\text{CA}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

 

Así, la pendiente de la recta que pasa por los puntos punto A y punto B se calcula mediante:

 

m = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2  - x_1}

 

 

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Interpretación de la pendiente

 

Observemos la siguiente figura donde el ángulo alfa está entre 0 grados y 90 grados —es decir, el ángulo es agudo—.

 

recta con pendiente positiva

 

Si el ángulo que forma la recta r con la parte positiva del eje x es agudo, entonces la pendiente es positiva e incrementa al crecer el ángulo —siempre que el ángulo se mantenga menor a 90 grados—. Intuitivamente, la pendiente mide "qué tan inclinada" está la recta: una pendiente grande significa que la recta está muy inclinada hacia arriba.

 

Ahora observa la siguiente figura donde el ángulo alfa es mayor a 90 grados, pero menor a 180 grados.

 

recta con pendiente negativa

 

 

Si el ángulo que forma la recta r con la parte positiva del eje x es obtuso —mayor a 90 grados, pero menor a 180 grados—, la pendiente es negativa y tiende a 0 cuando crece el ángulo. Igualmente, una pendiente negativa también mide qué tan inclinada está la recta; sin embargo, en este caso una pendiente negativa muy grande indica que la recta se encuentra muy inclinada "hacia abajo".

 

Ecuación punto-pendiente de la recta

 

Ahora vamos a obtener la ecuación punto-pendiente de la recta. Se puede empezar desde distintas ecuaciones de la recta, nosotros empezaremos de la ecuación continua (o normal) de la recta —donde x 1 y 1 es un punto que está en la recta y v es el vector director—,

 

\displaystyle \frac{x - x_1}{v_1} = \frac{y - y_1}{v_2}

 

Multiplicando ambos lados por v 2, obtenemos,

 

\displaystyle y - y_1 = \frac{v_2}{v_1}(x - x_1)

 

Luego, como,

 

\displaystyle m = \frac{v_2}{v_1}

 

Entonces, se obtiene:

 

 y - y_1 = m(x - x_1)

 

La cual se conoce como ecuación punto-pendiente de la recta.

 

Nota: Para calcular la ecuación punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un punto x 1 y 1 y la pendiente m (la cual se puede calcular utilizando cualquiera de las formas que describimos al principio).

 

Ejemplos

 

1 Tenemos una recta pasa por el punto menos 1, 3 y tiene un vector director 2, 5. Escribe su ecuación punto-pendiente.

 

Solución: Se nos proporcionó un vector director v, por lo que su pendiente está dada por

 

\displaystyle m = \frac{v_2}{v_1} = \frac{5}{2}

 

De esta manera, sustituyendo en la ecuación punto-pendiente con x 1 igual a menos 1y 1 igual a 3, tenemos que

 

{ \displaystyle y - 3 = \frac{5}{2}(x + 1) }

 

Ten cuidado con los signos, ya que x menos menos 1 es igual a x mas 1.

 

2 Encuentra la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos menos 2, menos 3 y 4, 2.

 

Solución: En esta ocasión tenemos dos puntos que están en la recta, por lo tanto, la pendiente se calcula mediante:

 

\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}  = \frac{2 - (-3)}{4 - (-2)} = \frac{2 + 3}{4 + 2} = \frac{5}{6}

 

Así, al sustituir en la ecuación punto-pendiente, se obtiene

 

\displaystyle y + 3 = \frac{5}{6}(x + 2) }

 

 

3 Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por menos 2, menos 3 y tiene una inclinación de 45 grados.

 

Solución: Por último, se nos proporcionó el ángulo que hay entre la recta y el eje x. Así, la pendiente está dada por,

 

m = \tan(\alpha) = \tan(45^\circ ) = 1

 

De manera que la ecuación recta-pendiente es:

 

y - (-3) = 1\Big(x - (-2)\Big)

 

Es decir,

 

{ y + 3 = x + 2 }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗