La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

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Distancia de un punto a una recta

 

 

representación gráfica de la distancia de un punto a una recta

 

d(P,r)=\left | \overline{PM} \right |

 

d(P,r)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Ejemplo

Calcula la distancia del punto P(2,-1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0.

 

d(P,r)=\cfrac{\left | 3\cdot 2+4\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\cfrac{2}{5}

 

 

Distancia al origen de coordenadas

 

 

d(O,r)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Ejemplo

Hallar la distancia al origen de la recta r\equiv 3x-4y-25=0
.

d(O,r)=\cfrac{\left | -25 \right |}{\sqrt{3^{2}-(-4)^{2}}}=\cfrac{25}{5}=5

 

 

Distancia entre rectas

 

 

representación gráfica de distancia entre dos rectas

 

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

 

d(r,s)=d(P,s)

 

 

Ejemplos

 

1 Hallar la distancia entre r\equiv 3x-4y+4=0 y s\equiv 9x-12y-4=0.

Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas

 

\cfrac{3}{-4}=\cfrac{9}{-12}\; \; \; -36=-36\; \; \; \Rightarrow \; \; \; r\parallel s

 

Buscamos un punto para alguna de las rectas

 

3\cdot 0-4y+4=0\; \; \; \; \; y=1

P(0,1)\; \epsilon \; r

 

Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

 

d(P,s)=\cfrac{\left | 9\cdot 0 -12\cdot 1-4\right |}{\sqrt{9^{2}+12^{2}}}=\cfrac{16}{15}

 

 

2 Hallar la distancia entre las rectas:

r\equiv \left\{\begin{matrix} x=2-3k\\ y=1+k \end{matrix}\right.                    s\equiv \cfrac{x+3}{-3}=\cfrac{y+5}{1}

 

r\equiv x+3y-5=0                    s\equiv x+3y+18=0

 

d(r,s)=\cfrac{18+5}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\cfrac{23}{\sqrt{10}}

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Marta

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Quispe
Quispe
Invité
18 Oct.

¿A que se debe que se tenga que dividir en la formula de la distancia de un punto a la recta?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
16 Jun.

Hola,   para esto tienes que realizar la demostración de la distancia d del punto (x0, y0) a la recta Ax+By+C=0. Suponemos que AB≠0 para garantizar que no se anulan al mismo tiempo x e y. Se traza un triángulo rectángulo cuya base se encuentre sobre la recta y el ángulo recto tenga como vértice el punto (x0, y0) y los lados sean paralelos a los ejes coordenados; si estos lados tienen longitud |a| y |b| respectivamente, entonces los puntos (x0-a, y0) y (x0, y0-b) son los dos vértices restantes del triángulo y se encuentran sobre la recta dada. De… Lire la suite »

ricardo
ricardo
Invité
18 Jun.

La distancia entre dos rectas es de 5 unidades, estas rectas son:

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
11 Jul.

Hola, con gusto te apoyamos, lamentablemente hace falta información para poder resolver este problema ya que hay varias posibles respuestas. Te invitamos a revisar todos los detalles del enunciado y reescribirnos.

¡saludos!