Distancia entre puntos y rectas

1Calcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y = 0.

Para una ecuación de la recta r expresada en su forma ordinaria Ax+By+C=0 y un punto P= (p_1,p_2), es posible calcular su distancia a través de la siguiente fórmula:

    $$d(P,r)=\displaystyle\frac{|A\cdot p_1 + B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

En este caso, los coeficientes y las coordenadas del punto, quedan determinados de la siguiente manera

    $$A = 3,$$

    $$B = 4,$$

    $$C = 0,$$

    $$p_1 = 2\makebox,$$

    $$p_2 = -1.$$

Haciendo una sustitución de estas variables en la fórmula anterior, obtenemos

    $$d(P,r) = \frac{|3\cdot 2 + 4\cdot(-1)|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{2}{5}.$$

Es decir, la distancia entre r y P es igual a \displaystyle\frac{2}{5}.

 

2Hallar la distancia entre r \equiv 3x-4y + 4 = 0 y s \equiv 9x-12y-4 = 0.

Dadas las rectas r y s, sucede uno y sólo uno de los escenarios siguientes: o éstas son paralelas o tienen algún punto en común. De ser rectas paralelas, son ajenas o coinciden. Es decir, son ajenas o son la misma recta.Es por lo anterior, que antes de calcular la distancia entre dos rectas, es necesario realizar el cálculo de su pendiente para saber en qué caso nos encontramos. De tener la misma pendiente serán rectas paralelas y en caso contrario se cruzarán en algún punto.Para una ecuación de la recta r expresada en su forma ordinaria

    $$Ax+By+C=0,$$

su pendiente está determinada por la expresión -\frac{A}{B}.

Entonces, particularmente r   y   s, tienen pendientes m_1 = \frac{3}{4} y m_2 = \frac{3}{4}. Como ambas rectas tienen la misma pendiente, podemos concluir que son paralelas; denotamos a esta relación como r\parallel s.

Dado que r\parallel s, debemos verificar si son la misma recta o son distintas. Para ello basta hallar un punto en r que no pertenezca a s. Con esta idea en mente, hagamos x=0 en la ecuación de r para obtener y=1; esto implica que (0,1) es un punto en la recta r pero no un punto en s pues

    $$9(0)-12(1)-4=-16\neq 0,$$

lo cual comprueba que este punto no satisface la ecuación que define a s. Con ello podemos concluir que r y s son rectas distintas.

Ahora, buscamos un punto P de cualquiera de ellas y calculamos la distancia de este punto a la recta restante. Nos valdremos de P=(0,1) pues ya sabemos que P\in r .

Finalmente haciendo uso de la fórmula

    $$d(P,s)=\displaystyle\frac{|A\cdot p_1 + B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},$$

obtenemos

    $$d(P,s)=\displaystyle\frac{|9\cdot 0 - 12\cdot 1 - 4|}{\sqrt{9^2+{12}^2}}=\frac{16}{15}.$$

 

3Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r \equiv 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Nombremos a la recta que estamos buscando como l. Como sabemos, dos rectas son paralelas si los coeficientes de  x e y respectivos son proporcionales, y  como ha de suceder que l\parallel r, y en particular los coeficientes iguales son proporcionales, la ecuación que describe a s debe ser de la forma 5x+8y+D=0.

 

Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto P(p_1,p_2) a una recta r se puede encontrar a través de la fórmula

    $$d(P,r)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.$$

 

Si el punto P resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a

    $$d(P,r)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.$$

 

Esto quiere decir que D debe cumplir con

    $$6=\cfrac{D}{\sqrt{5^2+8^2}}.$$

 

Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia 6 con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que

    $$D=\pm 6\sqrt{89}.$$

 

Y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por 5x+8y\pm 6\sqrt{89}.

 

4Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Calcular su área.

cuadrilatero

Comencemos notando que el área que buscamos es el resultado de multiplicar las magnitudes d(A,B) y d(C,B). Procedamos entonces a calcular cada magnitud.

 

    $$d(A,B)=\sqrt{(1-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.$$

 

    $$d(C,B)=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.$$

 

Al multiplicar los resultados anteriores se obtiene

 

    $$d(C,B)\cdotd(A,B) = (2\sqrt{5})^2$$

 

    $$d(C,B)\cdotd(A,B) =4\cdot 5 = 20.$$

 

Por lo tanto, el área del cuadrilátero es de 20.

 

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Ángulos entre rectas

 

5Calcular el ángulo que forman las rectas r y s,  sabiendo que sus vectores directores son: \vec{u} = (-2,1)\ \ \ y \ \ \vec{v} = (2,3).

Si \vec{u}=(u_1,u_2) y \vec{v}=(v_1,v_2) son un par de vectores no nulos, el ángulo formado entre ellos es el único número real \theta que satisface

    $$\cos\theta = \displaystyle\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|},$$

donde \ |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}   y    \ \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2.

Realizando los cálculos correspondientes tenemos que

    $$\vec{u}\cdot\vec{v}=(-2\cdot 2) + (1\cdot -3)=-7,$$

    $$|\vec{u}|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\makebox{ \  \ y}$$

    $$|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}.$$

Por tanto,

    $$\cos\theta = \frac{-7}{\sqrt{65}}\approx -0.868,$$

y así

    $$\theta = cos^{-1}(-0.868) = 150.3º$$

 

6Calcula el ángulo que forman las rectas r \equiv x+3y-2 = 0 y s \equiv 2x-3y+5=0.

Para calcular el ángulo que forman dos rectas podemos usar la fórmula siguiente:

    $$\displaystyle \tan(\alpha)=\left |\frac{m_s-m_r}{1+m_sm_r} \right |,$$

donde  m_r y m_s son las pendientes de las rectas r y s respectivamente.

 

Una vez que la ecuación de la recta se escriba de la forma y=mx+b, el coeficiente que acompaña a x , es decir m ,  es la pendiente. Con esto en mente y representado a r y s  como sigue

    $$y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3},$$

    $$y = \frac{2}{3}x+\frac{5}{3},$$

inferimos que m_r = -\frac{1}{3}  y  m_s = \frac{2}{3}.

 

Luego, sustituyendo  obtenemos

    $$\displaystyle \tan(\alpha)=\displaystyle\left |\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}{1+\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)} \right |$$

    $$\displaystyle \tan(\alpha)=\displaystyle\left |\frac{1}{1-\frac{2}{9}} \right |=1.2857.$$

Por lo tanto  \alpha = \tan^{-1}(1.2857) = 52.12º.

 

7Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r\equiv x+2y+3=0, que pasen por el punto A(3, 5).

Recordemos que dos rectas serán paralelas si tienen la misma pendiente. Entonces, para encontrar una recta paralela a r, primero debemos conocer su pendiente.

 

Notemos que la definición de r es equivalente a

    $$y=-\frac{x}{2}-\frac{3}{2},$$

y con esta expresión fácilmente podemos conocer la pendiente de dicha recta, pues es el coeficiente que acompaña a x, o sea -\frac{1}{2}.

 

Llamando s a la recta paralela a r que pasa por el punto A y m_s a su pendiente, hemos encontrado que

    $$m_s=-\frac{1}{2}=m_r,$$

donde m_r es la pendiente de r.

 

Ahora con las coordenadas de A=(x_1,y_1) podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita por y-y_1 = m(x-x_1).

Sustituyendo se sigue que

    $$y-5=-\frac{1}{2}\left(x-3\right)$$

    $$2y-10=-x+3$$

 

Con estos cálculos podemos concluir que s\equiv 2y+x+13=0,  con s\parallel r.

 

Para encontrar una recta perpendicular a r seguiremos el mismo razonamiento anterior, pero con una condición distinta en la pendiente; nombremos t a la recta perpendicular que deseamos encontrar. En este caso su pendiente m_t, debe satisfacer la condición m_t\cdot m_r = -1 para asegurar perpendicularidad. Entonces m_t = 2 , pues  2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1.

 

Invocando de nuevo la ecuación punto-pendiente de la recta y las coordenadas de A, tenemos que

    $$y-5=2\left(x-3\right).$$

 

Y así t queda definida por la ecuación 2x-y-1=0, donde s\perp r.

 

8Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 5) y B(4, −7).

Dado un segmento, su mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. En términos matemáticos esto se traduce a los puntos P(x,y) que satisfacen la igualdad

    $$d(P,A)=d(P,B),$$

para A y B extremos. 

Tengamos en cuenta que

    $$d(P,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}$$

y

    $$d(P,B)=\sqrt{(x-4)^2+(y+7)^2}.$$

 

Para encontrar la ecuación deseada, procedemos a igualar estas ecuaciones y simplificar los términos.

    $$ x^2-4x+4+y^2-10y+25 = x^2-8x+16+y^2+14y+49 $$

 

    $$ 4x-36-24y=0, $$

 

y multiplicando la ecuación por \frac{1}{4} podemos simplificarla aún más, obteniendo la expresión

    $$ x-6y-9=0 .$$

¿Y si pruebas con nuestras clases particulares matematicas?

9Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r\equiv 3x-4y+5=0 y s \equiv 6x+8y+1= 0.

 

intersección de dos rectas

Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos P(x,y) tales que

 

    $$d(P,r)=d(P,s).$$

Por otro lado,  la fórmula de la distancia de un punto Q(x_1,y_1) a una recta l\equiv Ax+By+C=0,  está dada por la expresión

 

    $$d(Q,l)= \cfrac{|A x_1+ B y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.  $$

 

De la fórmula anterior se sigue que

    $$ d(P,r)= \cfrac{|3 x- 4 y + 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}=\cfrac{|3 x- 4 y + 5|}{\sqrt{25}}= \cfrac{|3 x- 4 y + 5|}{5} $$

y

    $$ d(P,s)= \cfrac{|6 x+8y + 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}}=\cfrac{|6 x+8y + 1|}{\sqrt{100}}= \cfrac{|6 x+8y + 1|}{10}. $$

 

Haciendo d(P,r)=d(P,s), obtenemos

 

    $$ 10|(3x-4y+5)| = 5|(6x+8y+1)|.$$

 

Y multiplicando ésta última por \frac{1}{5} se sigue que

    $$2|(3x-4y+5) |= |(6x+8y+1)|.$$

 

De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

    $$2(3x-4y+5)=(6x+8y+1)$$

   y   

    $$ 2(3x-4y+5)=-(6x+8y+1),$$

donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.

 

Para la primera ecuación obtenemos

    \begin{align*} 6x-8y+10&=6x+8y+1\\ -16y+9&=0. \end{align*}

 

Mientras que para la segunda,

    \begin{align*} 6x-8y+10&=-6x-8y-1\\ 12x+11&=0. \end{align*}

 

10Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r \equiv 8x - y - 1 = 0 que pasa por el punto P(-3, 2).

Notemos que la pendiente de la recta r es 8, pues al estar expresada en la forma mx+b=y, la pendiente es simplemente el coeficiente que acompaña a x.

 

Si s es la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por P. Entonces su pendiente debe ser -\frac{1}{8} pues el producto de ambas pendientes debe dar como resultado -1, para obtener ortogonalidad.

 

Ahora con las coordenadas de P=(x_1,y_1) podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita como y-y_1 = m(x-x_1).

 

Sustituyendo, se sigue que la ecuación buscada es

    $$ y-2=-\frac{1}{8}\left(x+3\right) $$

o equivalentemente

    $$x+8y-13=0.$$

 

11Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:

    $$r\equiv 24x -7y-2=0$$ $$s\equiv3x+4y-4=0 $$

Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos P(x,y) tales que d(P,r)=d(P,s).

 

Luego,

    $$ d(P,r)= \cfrac{|24x-7 y-2|}{\sqrt{(24)^2 + 7^2}}=\cfrac{|24x-7 y-2|}{\sqrt{625}}= \cfrac{|24x-7 y-2|}{25} $$

y

    $$ d(P,s)= \cfrac{|3x+4y-4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}=\cfrac{|3x+4y-4|}{\sqrt{25}}= \cfrac{|3x+4y-4|}{5}. $$

 

Haciendo d(P,r)=d(P,s), obtenemos

    $$ 5|24x-7 y-2| = 25|3x+4y+4|.$$

 

Y multiplicando ésta última por \frac{1}{5} se sigue que

    $$ |24x-7 y-2|= 5|3x+4y+4|.$$

 

De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

 

    $$ 24x-7 y-2=5(3x+4y-4)$$

   y   

     $$24x-7 y-2=-5(3x+4y-4),$$

donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.

 

Para la primera ecuación obtenemos

    \begin{align*} 24x-7y-2&=15x+20y-20\\ 9x-27y+18&=0\\ x-3y+2&=0. \end{align*}

 

Mientras que para la segunda,

    \begin{align*} 24x-7y-2&=-15x-20y+20\\ 39x+13y-22&=0. \end{align*}

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12Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

a
 r_1 = \left\{\begin{matrix} x = 3+2k \\ y=-1+3k \end{matrix}\right.

 r_2 = \left\{\begin{matrix} x = -4-3k \\ y=5+k \end{matrix}\right.

b

 s_1 \equiv \displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{2}

 s_2 \equiv \displaystyle\frac{x+4}{\sqr{3}}=\frac{y-1}{-1}

a

 

Como las ecuaciones de las rectas se encuentran en su forma paramétrica, podemos identificar a sus vectores directores como los coeficientes que acompañan a sus parámetros k. Es decir \vec{u}=(2,3) es vector director de r_1, y  \vec{v}=(-3,1) es vector director de r_2.

 

De aquí, recurriendo a la fórmula de ángulo entre vectores

    $$\cos \alpha =\cfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\vec{v}|}$$

podemos calcular el ángulo que estamos buscando.

 

Sustituyendo las coordenadas de \vec{u}, \vec{v}

 

    $$\cos \alpha =\cfrac{|2\cdot(-3)+(3)\cdot(1)|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}}$$

 

    $$\cos \alpha =\cfrac{|-6+3|}{\sqrt{13}\sqrt{10}}=0.263$$

 

    $$ \alpha =\arccos(0.263)=74.75º$$

 

b

 

Notemos que los vectores directores de estas rectas son  \vec{u}=(1,2) y  \vec{u}=(\sqrt{3},-1), respectivamente.

 

El ángulo formado entre ellos está determinado por la expresión

    $$ \cos \alpha =\cfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\vec{v}|} $$

[latex]$$ \cos \alpha =\cfrac{|1\cdot\sqrt{3}+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}} $$[/latex]

 

    $$ \cos \alpha =\cfrac{|\sqrt{3}-2|}{\sqrt{5}\cdot 2}=0.059 $$

 

    $$ \alpha =\arccos (0.059) = 86.62º . $$

 

13Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

a

    $$r_1 \equiv 3x+4y-12 = 0$$

    $$r_2 \equiv 6x+8y+1 = 0$$

b

    $$s_1 \equiv 2x+3y-5 = 0$$

    $$s_2 \equiv 3x-2y+10 = 0$$

a

 

Como primer paso debemos encontrar los vectores directores de cada una de las rectas para después calcular en ángulo entre éstos. Esto nos dará el ángulo entre r_1 y r_2.

 

Una recta descrita en su ecuación cartesiana Ax+By+C=0, tiene como vector director \vec{u}(-B,A). Entonces para r_1 y r_2 tenemos vectores directores \vec{u}(-4,3) y \vec{v}(-8,6).

 

El ángulo determinado entre estos dos vectores está dado por la fórmula:

    $$\alpha(r_1,r_2) = \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = arc\, cos \cfrac{|u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 }}.$$

 

Sustituyendo los vectores directores que hemos encontrado, tenemos

    $$ \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = \arccos \cfrac{|(-4)\cdot (-8) + (3)\cdot (6) |}{\sqrt{(-4)^2 + (3)^2 } \cdot \sqrt{(-8)^2 + (6)^2 }}$$

 

    $$ \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = \arccos \cfrac{|50|}{\sqrt{25 } \cdot \sqrt{100}}$$

 

    $$ \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = \arccos \cfrac{50}{5 \cdot 10}$$

 

    $$ \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = \arccos \ 1 = 0º $$

 

b

 

En este caso los vectores directores de las rectas s_1 y s_2 son \vec{u_{s_1}}(-3,2) y \vec{u_{s_2}}(2,3).

 

Observemos que

    $$\vec{u_{s_1}}\cdot \vec{u_{s_2}} = (-3)\cdot (2) + (2)(3) $$

 

    $$\vec{u_{s_1}}\cdot \vec{u_{s_2}} = 0 .$$

 

Esto significa que el ángulo entre s_1 y s_2 es de 90º,  pues la condición \vec{u_{s_1}}\cdot \vec{u_{s_2}} = 0 es equivalente a que s_1\perp s_2 .

 

14Dadas las rectas r \equiv 3x + y - 1 = 0 y  s \equiv 2x+my-8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

Sean \vec{u}(-1,3) y \vec{v}(-m,2) los vectores directores de de r y s respectivamente, buscamos m de tal manera que

    $$\alpha(r,s) =\cos 45º =  \cfrac{|u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 }},$$

 

pues la fórmula anterior nos ayuda a encontrar el ángulo entre dos rectas.

 

Sustituyendo las coordenadas de lo vectores directores  y   \cos 45º = \cfrac{\sqrt{2}}{2}, obtenemos

    $$\cfrac{\sqrt{2}}{2} =  \cfrac{|(-1)\cdot (-m) + (3)\cdot (2)|}{\sqrt{1 + 9} \cdot \sqrt{m^2 + 4}},$$

 

y elevando al cuadrado toda la ecuación

    $$\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\cfrac{m+6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{m^2 + 4 }}\right)^2$$

 

    $$\cfrac{1}{2} = \cfrac{m^2+12m+36}{10 \cdot (m^2 + 4)}$$

 

    $$10 \cdot (m^2 + 4) = 2(m^2+12m+36)$$

 

multiplicando por \cfrac{1}{2} toda la ecuación

 

    $$5 \cdot (m^2 + 4) = m^2+12m+36$$

 

    $$m^2+12m+36-5m^2-20=0$$

 

    $$-4m^2+12m+16=0.$$

 

A través de la fórmula general para ecuaciones cuadráticas

    $$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, $$

podemos resolver la ecuación anterior.

 

Recordemos que a es el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal y c el término independiente. Para nuestro caso se encuentran determinados de la manera siguiente

    $$a=-4, b=12, c=16.$$

Por lo tanto, siguiendo la fórmula general

    $$x=\cfrac{-12\pm\sqrt{{12}^2-4(-4)(16)}}{2(-4)} $$

 

    $$x=\cfrac{-12\pm\sqrt{144+[16\cdot 16]}}{-8} $$

 

    $$x=\cfrac{-12\pm\sqrt{144+256}}{-8} $$

 

    $$x=\cfrac{-12\pm\sqrt{400}}{-8} $$

 

    $$x=\cfrac{-12\pm 20}{-8} $$

 

Luego, obtenemos que los posibles valores para satisfacer la condición deseada son m_1=4 y m_2=-1.

 

15Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r \equiv 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen ¿Cuál es su ecuación?

Para una recta cualquiera l_1, expresada en su forma canónica

 

    $$l_1\equiv Ax+By+C=0$$

 

tiene como coordenadas de su vector director (-B,A).

 

Por otro lado, sabemos que dos rectas l_1,l_2 son perpendiculares si sus vectores directores \vec{v_1}(x_1,y_2),\vec{v_2}(x_2,y_2) lo son, o equivalentemente si

    $$\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=0,$$

donde \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2. En nuestro caso, el vector director de r es  (7,5).

 

Si llamamos s a la recta deseada, siguiendo la condición del párrafo anterior, se debe tener que el vector director de s tiene por coordenadas (-5,7), y así s\equiv 7x+5y+D=0.

 

Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto P(p_1,p_2) a una recta l se puede encontrar a través de la fórmula

    $$d(P,l)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.$$

 

Si el punto P resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a

    $$d(P,l)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.$$

Esto quiere decir que D debe cumplir con

    $$4=\cfrac{D}{\sqrt{7^2+5^8}}.$$

 

Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia 4 con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que

    $$D=\pm 4\sqrt{74};$$

 

y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por 7x+5y\pm 6\sqrt{74}.

 

Ejercicios avanzados

 

16Dado el triángulo A(−1, −1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

triangulo en plano cartesiano

Como primer paso, calculemos las ecuaciones de las alturas del triángulo definido. Llamemos h_A,h_B y h_C a las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos A,B y C respectivamente.

 

Para h_A tenemos que h_A\perp \overline{BC}, eso quiere decir que la pendiente m_{\overline{BC}} del segmento \overline{BC} multiplicada por la pendiente m_{h_A} de h_A debe dar como resultado -1.

 

Al conocer las coordenadas de los puntos B y C podemos obtener su pendiente a tráves de la fórmula \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} .
Por tanto

    $$ m_ {\overline{BC}}=\cfrac{7-5}{2-7}=\cfrac{2}{-5},$$

y

    $$ m_ {h_A}=\cfrac{5}{2}.$$

 

Con las coordenadas de A, m_ {h_A} y la forma punto pendiente, podemos deducir la ecuación de la recta para h_A.  Entonces  y - (-1) = m_ {h_A}(x-(-1)) es la ecuación que define h_A.

 

Simplificando esta última se sigue que h_{A}\equiv 5x-2y+3=0.

 

Siguiendo el mismo razonamiento, podemos encontrar las ecuaciones restantes.

 

Comenzamos por las pendientes.

     $$m_ {\overline{AC}}=\cfrac{7+1}{2+1}=\cfrac{8}{3}  \mbox{\ \ \  y \ \ } m_{h_B}=-\cfrac{3}{8} .$$

     $$m_ {\overline{AB}}=\cfrac{5+1}{7+1}=\cfrac{6}{8}=\cfrac{3}{4} \mbox{\ \ \  y \ \ }m_{h_C}=-\cfrac{4}{3}.$$

 

Luego con la forma punto pendiente para h_{B}

    $$y-5=-\cfrac{3}{8}(x-7)$$

    $$h_{B}\equiv 3x+8y-61=0;$$

y para h_{C}

    $$y-7=-\cfrac{4}{3}(x-2)$$

    $$h_{C}=4x+3y-29=0.$$

 

Para encontrar las coordenadas del ortocentro es suficiente encontrar la intersección de cualesquiera dos alturas.

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

    $$\begin{align*}\left\{\begin{matrix} 5x-2y+3&=0\\ 3x+8y-61&=0,\end{matrix}\right. \end{align*}$$

encontramos que el ortocentro se encuentra situado en \left(\cfrac{29}{43},\cfrac{157}{23}\right).

 

17Una recta de ecuación r \equiv x + 2y -9 = 0 es mediatriz de un segmento \overline{AB} cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo.

recta mediatriz de un segmento

 

Llamemos s a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento \overline{AB} y el punto M.

 

Notemos que al ser r mediatriz del segmento \overline{AB} cumple con satisfacer r\perp s, lo cual implica que m_r\cdot m_s=-1, donde m_r y m_s son las pendientes respectivas de las rectas  r y s.

 

Del razonamiento anterior obtenemos que m_s=2, pues expresando a r  en su forma equivalente -\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}=y, sabemos que m_r=-\frac{1}{2}.

 

Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente m_s. Basta con reducir la expresión y-1=2(x-2) y obtener 2x-y-3=0.

 

Ahora observemos que M(x_M,y_M), el punto de intersección entre  r y \overline{AB}, debe satisfacer ambas ecuaciones, la que describe a r y a s. Es por ello que para encontrar las coordenadas de M, basta con resolver el sistema de ecuaciones

    $$\begin{align*}\left\{\begin{matrix} x+2y-9&=0\\ 2x-y-3&=0.\end{matrix}\right. \end{align*} $$

 

Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto M son x_M=3, y_M=3. Además, M es punto medio del segmento \overline{AB}, lo que matemáticamente significa que

    $$(x_M,y_M)=\left( \cfrac{x_A+x_B}{2},\cfrac{y_A+y_B}{2} \right )$$

donde  x_A,y_A,x_B, y_B son las coordenadas de A,B respectivamente.

 

Igualando coordenada a coordenada, se tiene que

    \begin{align*} x_M&=\cfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_M&=\cfrac{y_A+y_B}{2} . \end{align*}

 

Y sustituyendo los valores que ya conocemos de A y M se sigue que

    \begin{align*} 3&=\cfrac{2+x_B}{2}\\ 3&=\cfrac{1+y_B}{2} , \end{align*}

y luego

    \begin{align*} 6-2&=x_B\\ 6-1&=y_B. \end{align*}

 

Por lo tanto el extremo B tiene como coordenadas (4,5).

18Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r \equiv 2x + y- 12 = 0.

Llamemos s a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento \overline{AA'} y el punto M. Dadas nuestras hipótesis, se debe satisfacer que r\perp s, esto implica que m_r\cdot m_s=-1, donde m_r y m_s son las pendientes respectivas de las rectas  r y s.

 

Por otro lado, la ecuación de r en su forma explícita es y=-2x-y, y de esta manera la pendiente de r es simplemente el coeficiente que acompaña a equis, es decir -2. Con esto último podemos concluir que  m_s=\frac{1}{2}.

 

Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente m_s. Basta con reducir la expresión y-2=\frac{1}{2}(x-3) y obtener x-2y+1=0.

 

Ahora observemos que M(x_M,y_M), el punto de intersección entre  r y \overline{AA'}, debe satisfacer ambas ecuaciones: la que describe a r y a s. Es por ello que para encontrar las coordenadas de M, basta con resolver el sistema de ecuaciones

    $$\begin{align*}\left\{\begin{matrix} x-2y+1&=0\\ 2x + y- 12&=0.\end{matrix}\right. \end{align*} $$

 

Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto M son x_M=\frac{23}{5}, y_M=\frac{14}{5}. Además, M es punto medio del segmento \overline{AA'}, y en términos matemáticos es equivalente a

    $$(x_M,y_M)=\left( \cfrac{x_A+x_{A'}}{2},\cfrac{y_A+y_{A'}}{2} \right )$$

donde  x_A,y_A,x_{A'}, y_{A'} son las coordenadas de A,A' respectivamente.

 

Igualando coordenada a coordenada, se tiene que

    \begin{align*} x_M&=\cfrac{x_A+x_{A'}}{2}\\ y_M&=\cfrac{y_A+y_{A'}}{2} . \end{align*}

 

Y sustituyendo los valores que ya conocemos de A y M se sigue que

    \begin{align*} \frac{23}{5}&=\cfrac{3+x_{A'}}{2}\\ \frac{14}{5}&=\cfrac{2+y_{A'}}{2} , \end{align*}

y luego

    \begin{align*} x_{A'}&=\frac{31}{5}\\ y_{A'}&=\frac{18}{5}. \end{align*}

Por tanto, el punto simétrico A' tiene como coordenadas (\left\frac{31}{5},\frac{18}{5}\right).

Más ejercicios y problemas de la ecuación de la recta

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗