Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de la recta II

Para una ecuación de la recta expresada en su forma ordinaria y un punto , es posible calcular su distancia a través de la siguiente fórmula:

En este caso, los coeficientes y las coordenadas del punto, quedan determinados de la siguiente manera

Haciendo una sustitución de estas variables en la fórmula anterior, obtenemos

Es decir, la distancia entre y es igual a

Dadas las rectas y , sucede uno y sólo uno de los escenarios siguientes: o éstas son paralelas o tienen algún punto en común.

De ser rectas paralelas, son ajenas o coinciden. Es decir, son ajenas o son la misma recta.Es por lo anterior, que antes de calcular la distancia entre dos rectas, es necesario realizar el cálculo de su pendiente para saber en qué caso nos encontramos.

De tener la misma pendiente serán rectas paralelas y en caso contrario se cruzarán en algún punto.

Para una ecuación de la recta expresada en su forma ordinaria su pendiente está determinada por la expresión .

Entonces, particularmente   y   , tienen pendientes

y

Como ambas rectas tienen la misma pendiente, podemos concluir que son paralelas; denotamos a esta relación como

Dado que , debemos verificar si son la misma recta o son distintas. Para ello basta hallar un punto en que no pertenezca a . Con esta idea en mente, hagamos en la ecuación de para obtener ; esto implica que es un punto en la recta pero no un punto en pues

lo cual comprueba que este punto no satisface la ecuación que define a . Con ello podemos concluir que y son rectas distintas.

Ahora, buscamos un punto de cualquiera de ellas y calculamos la distancia de este punto a la recta restante. Nos valdremos de pues ya sabemos que .

Finalmente haciendo uso de la fórmula

obtenemos

Nombremos a la recta que estamos buscando como . Como sabemos, dos rectas son paralelas si los coeficientes de e respectivos son proporcionales, y  como ha de suceder que y en particular los coeficientes iguales son proporcionales, la ecuación que describe a debe ser de la forma .

Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto a una recta se puede encontrar a través de la fórmula

Si el punto resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a

Esto quiere decir que debe cumplir con

Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que

Y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por .

Comencemos notando que el área que buscamos es el resultado de multiplicar las magnitudes y . Procedamos entonces a calcular cada magnitud.

Al multiplicar los resultados anteriores se obtiene

Por lo tanto, el área del cuadrilátero es de 20.

Si y son un par de vectores no nulos, el ángulo formado entre ellos es el único número real que satisface

donde

y

Realizando los cálculos correspondientes tenemos que

Por tanto,

y así

Para calcular el ángulo que forman dos rectas podemos usar la fórmula siguiente:

donde y son las pendientes de las rectas y respectivamente.

Una vez que la ecuación de la recta se escriba de la forma , el coeficiente que acompaña a , es decir ,  es la pendiente. Con esto en mente y representado a y   como sigue

inferimos que   y 

Luego, sustituyendo  obtenemos

Por lo tanto .

Recordemos que dos rectas serán paralelas si tienen la misma pendiente. Entonces, para encontrar una recta paralela a primero debemos conocer su pendiente.

Notemos que la definición de es equivalente a

y con esta expresión fácilmente podemos conocer la pendiente de dicha recta, pues es el coeficiente que acompaña a , o sea .

Llamando a la recta paralela a que pasa por el punto y a su pendiente, hemos encontrado que donde es la pendiente de .

Ahora con las coordenadas de podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita por .

Sustituyendo se sigue que

Con estos cálculos podemos concluir que ,  con .

Para encontrar una recta perpendicular a seguiremos el mismo razonamiento anterior, pero con una condición distinta en la pendiente; nombremos a la recta perpendicular que deseamos encontrar. En este caso su pendiente debe satisfacer la condición para asegurar perpendicularidad. Entonces , pues  .

Invocando de nuevo la ecuación punto-pendiente de la recta y las coordenadas de , tenemos que

Y así queda definida por la ecuación , donde .

Dado un segmento, su mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. En términos matemáticos esto se traduce a los puntos que satisfacen la igualdad

para y extremos.Tengamos en cuenta que

y

Para encontrar la ecuación deseada, procedemos a igualar estas ecuaciones y simplificar los términos.

y multiplicando la ecuación por podemos simplificarla aún más, obteniendo la expresión

Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos tales que

Por otro lado,  la fórmula de la distancia de un punto a una recta   está dada por la expresión

De la fórmula anterior se sigue que

y

Haciendo , obtenemos

Y multiplicando ésta última por se sigue que

De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

y

donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.

Para la primera ecuación obtenemos

Mientras que para la segunda,

Notemos que la pendiente de la recta es , pues al estar expresada en la forma , la pendiente es simplemente el coeficiente que acompaña a .

Si es la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por Entonces su pendiente debe ser pues el producto de ambas pendientes debe dar como resultado -1, para obtener ortogonalidad.

Ahora con las coordenadas de podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita como

Sustituyendo, se sigue que la ecuación buscada es

o equivalentemente

Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos tales que .

Luego,

y

Haciendo , obtenemos

Y multiplicando ésta última por se sigue que

De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

   y   

donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.

Para la primera ecuación obtenemos

Mientras que para la segunda,

aComo las ecuaciones de las rectas se encuentran en su forma paramétrica, podemos identificar a sus vectores directores como los coeficientes que acompañan a sus parámetros . Es decir es vector director de , y  es vector director de .

De aquí, recurriendo a la fórmula de ángulo entre vectores

podemos calcular el ángulo que estamos buscando.

Sustituyendo las coordenadas de

bNotemos que los vectores directores de estas rectas son y respectivamente.

El ángulo formado entre ellos está determinado por la expresión

aComo primer paso debemos encontrar los vectores directores de cada una de las rectas para después calcular en ángulo entre éstos. Esto nos dará el ángulo entre y .

Una recta descrita en su ecuación cartesiana , tiene como vector director . Entonces para y tenemos vectores directores y .

El ángulo determinado entre estos dos vectores está dado por la fórmula:

Sustituyendo los vectores directores que hemos encontrado, tenemos

bEn este caso los vectores directores de las rectas y son y .

Observemos que

Esto significa que el ángulo entre y es de 90º,  pues la condición es equivalente a que .

Sean y los vectores directores de de y respectivamente, buscamos de tal manera que

pues la fórmula anterior nos ayuda a encontrar el ángulo entre dos rectas.

Sustituyendo las coordenadas de lo vectores directores  y   , obtenemos

y elevando al cuadrado toda la ecuación

multiplicando por toda la ecuación

A través de la fórmula general para ecuaciones cuadráticas

podemos resolver la ecuación anterior.

Recordemos que es el coeficiente del término cuadrático, el coeficiente del término lineal y el término independiente. Para nuestro caso se encuentran determinados de la manera siguiente

Por lo tanto, siguiendo la fórmula general

Luego, obtenemos que los posibles valores para satisfacer la condición deseada son y

Para una recta cualquiera , expresada en su forma canónica

tiene como coordenadas de su vector director .

Por otro lado, sabemos que dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son, o equivalentemente si

donde En nuestro caso, el vector director de es  .

Si llamamos a la recta deseada, siguiendo la condición del párrafo anterior, se debe tener que el vector director de tiene por coordenadas , y así .

Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto a una recta se puede encontrar a través de la fórmula

Si el punto resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a

Esto quiere decir que debe cumplir con

Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que

y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por .

Como primer paso, calculemos las ecuaciones de las alturas del triángulo definido. Llamemos y a las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos y  respectivamente.

Para tenemos que , eso quiere decir que la pendiente del segmento multiplicada por la pendiente de debe dar como resultado

Al conocer las coordenadas de los puntos y podemos obtener su pendiente a tráves de la fórmula . Por tanto

y

Con las coordenadas de , y la forma punto pendiente, podemos deducir la ecuación de la recta para .  Entonces es la ecuación que define .

Simplificando esta última se sigue que .

Siguiendo el mismo razonamiento, podemos encontrar las ecuaciones restantes.

Comenzamos por las pendientes.

Luego con la forma punto pendiente para

y para

Para encontrar las coordenadas del ortocentro es suficiente encontrar la intersección de cualesquiera dos alturas.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

encontramos que el ortocentro se encuentra situado en

Como primer paso, calculemos los puntos medios de los lados del triángulo definido. Llamemos a los puntos medios de , respectivamente

,

,

,

Calculemos las ecuaciones de las medianas del triángulo definido. Llamemos y a las ecuaciones de las medianas que pasan por los puntos y  respectivamente.

Al conocer las coordenadas de los puntos y podemos obtener su pendiente a tráves de la fórmula . Por tanto

Con las coordenadas de , y la forma punto pendiente, podemos deducir la ecuación de la recta para .  Entonces es la ecuación que define .

Simplificando esta última se sigue que .

Siguiendo el mismo razonamiento, podemos encontrar las ecuaciones restantes.

.

.

Para encontrar las coordenadas del baricentro es suficiente encontrar la intersección de cualesquiera dos medianas.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

encontramos que el baricentro se encuentra situado en

Como primer paso, calculemos los puntos medios de los lados del triángulo definido. Llamemos a los puntos medios de , respectivamente

,

,

,

Calculemos las ecuaciones de las mediatrices del triángulo definido. Llamemos y a las ecuaciones de las mediatrices que pasan por los puntos medios y  respectivamente.

Al conocer las coordenadas de los puntos y podemos obtener la pendiente de los lados a tráves de la fórmula y sabiendo que la pendiente de su perpendicular es el recíproco negativo de la pendiente, se tiene

Con las coordenadas de , y la forma punto pendiente, podemos deducir la ecuación de la recta para .  Entonces es la ecuación que define .

Simplificando esta última se sigue que .

Siguiendo el mismo razonamiento, podemos encontrar las ecuaciones restantes.

.

.

Para encontrar las coordenadas del circuncentro es suficiente encontrar la intersección de cualesquiera dos mediatrices.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

encontramos que el baricentro se encuentra situado en

Llamemos a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento y el punto .

Notemos que al ser mediatriz del segmento cumple con satisfacer , lo cual implica que donde y son las pendientes respectivas de las rectas y .

Del razonamiento anterior obtenemos que , pues expresando a   en su forma equivalente , sabemos que .

Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto y tiene pendiente . Basta con reducir la expresión y obtener .

Ahora observemos que , el punto de intersección entre y , debe satisfacer ambas ecuaciones, la que describe a y a . Es por ello que para encontrar las coordenadas de , basta con resolver el sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto son . Además, es punto medio del segmento , lo que matemáticamente significa que

donde  son las coordenadas de respectivamente.

Igualando coordenada a coordenada, se tiene que

Y sustituyendo los valores que ya conocemos de y se sigue que

y luego

Por lo tanto el extremo tiene como coordenadas .

Llamemos a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento y el punto . Dadas nuestras hipótesis, se debe satisfacer que , esto implica que , donde y son las pendientes respectivas de las rectas y .

Por otro lado, la ecuación de en su forma explícita es , y de esta manera la pendiente de es simplemente el coeficiente que acompaña a equis, es decir . Con esto último podemos concluir que  .

Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto y tiene pendiente . Basta con reducir la expresión

y obtener

.

Ahora observemos que , el punto de intersección entre y , debe satisfacer ambas ecuaciones: la que describe a y a . Es por ello que para encontrar las coordenadas de , basta con resolver el sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto son . Además, es punto medio del segmento , y en términos matemáticos es equivalente a

donde  son las coordenadas de respectivamente.

Igualando coordenada a coordenada, se tiene que

Y sustituyendo los valores que ya conocemos de y se sigue que

y luego

Por tanto, el punto simétrico tiene como coordenadas .