4 marzo 2021
Distancia entre puntos y rectas
1Calcula la distancia del punto a la recta
de ecuación
En este caso, los coeficientes y las coordenadas del punto, quedan determinados de la siguiente manera
Haciendo una sustitución de estas variables en la fórmula anterior, obtenemos
Es decir, la distancia entre y
es igual a
2Hallar la distancia entre y
su pendiente está determinada por la expresión .
Entonces, particularmente y
, tienen pendientes
y
Como ambas rectas tienen la misma pendiente, podemos concluir que son paralelas; denotamos a esta relación como
Dado que , debemos verificar si son la misma recta o son distintas. Para ello basta hallar un punto en
que no pertenezca a
. Con esta idea en mente, hagamos
en la ecuación de
para obtener
; esto implica que
es un punto en la recta
pero no un punto en
pues
lo cual comprueba que este punto no satisface la ecuación que define a . Con ello podemos concluir que
y
son rectas distintas.
Ahora, buscamos un punto de cualquiera de ellas y calculamos la distancia de este punto a la recta restante. Nos valdremos de
pues ya sabemos que
.
Finalmente haciendo uso de la fórmula
obtenemos
3Una recta es paralela a la que tiene por ecuación , y dista
unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Nombremos a la recta que estamos buscando como . Como sabemos, dos rectas son paralelas si los coeficientes de
e
respectivos son proporcionales, y como ha de suceder que
y en particular los coeficientes iguales son proporcionales, la ecuación que describe a
debe ser de la forma
.
Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto a una recta
se puede encontrar a través de la fórmula
Si el punto resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a
Esto quiere decir que debe cumplir con
Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que
Y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por .
4Se tiene el cuadrilátero cuyos vértices son
y
. Calcular su área.
Comencemos notando que el área que buscamos es el resultado de multiplicar las magnitudes y
. Procedamos entonces a calcular cada magnitud.
Al multiplicar los resultados anteriores se obtiene
Por lo tanto, el área del cuadrilátero es de 20.
Ángulos entre rectas
5Calcular el ángulo que forman las rectas y
, sabiendo que sus vectores directores son:
y
donde y
Realizando los cálculos correspondientes tenemos que
Por tanto,
y así
6Calcula el ángulo que forman las rectas y
Para calcular el ángulo que forman dos rectas podemos usar la fórmula siguiente:
donde y
son las pendientes de las rectas
y
respectivamente.
Una vez que la ecuación de la recta se escriba de la forma , el coeficiente que acompaña a
, es decir
, es la pendiente. Con esto en mente y representado a
y
como sigue
inferimos que y
Luego, sustituyendo obtenemos
Por lo tanto .
7Hallar una recta paralela y otra perpendicular a , que pasen por el punto
.
Recordemos que dos rectas serán paralelas si tienen la misma pendiente. Entonces, para encontrar una recta paralela a primero debemos conocer su pendiente.
Notemos que la definición de es equivalente a
y con esta expresión fácilmente podemos conocer la pendiente de dicha recta, pues es el coeficiente que acompaña a , o sea
.
Llamando a la recta paralela a
que pasa por el punto
y
a su pendiente, hemos encontrado que
donde es la pendiente de
.
Ahora con las coordenadas de podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita por
.
Sustituyendo se sigue que
Con estos cálculos podemos concluir que , con
.
Para encontrar una recta perpendicular a seguiremos el mismo razonamiento anterior, pero con una condición distinta en la pendiente; nombremos
a la recta perpendicular que deseamos encontrar. En este caso su pendiente
debe satisfacer la condición
para asegurar perpendicularidad. Entonces
, pues
.
Invocando de nuevo la ecuación punto-pendiente de la recta y las coordenadas de , tenemos que
Y así queda definida por la ecuación
, donde
.
8Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos y
.
para y
extremos.
Tengamos en cuenta que
y
Para encontrar la ecuación deseada, procedemos a igualar estas ecuaciones y simplificar los términos.
y multiplicando la ecuación por podemos simplificarla aún más, obteniendo la expresión
¿Y si pruebas con nuestras clases particulares matematicas?
9Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas y
.
Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos tales que
Por otro lado, la fórmula de la distancia de un punto a una recta
está dada por la expresión
De la fórmula anterior se sigue que
y
Haciendo , obtenemos
Y multiplicando ésta última por se sigue que
De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:
y
donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.
Para la primera ecuación obtenemos
Mientras que para la segunda,
10Calcular la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto
.
Notemos que la pendiente de la recta es
, pues al estar expresada en la forma
, la pendiente es simplemente el coeficiente que acompaña a
.
Si es la ecuación de la recta perpendicular a
que pasa por
Entonces su pendiente debe ser
pues el producto de ambas pendientes debe dar como resultado -1, para obtener ortogonalidad.
Ahora con las coordenadas de podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta, que está descrita como
Sustituyendo, se sigue que la ecuación buscada es
o equivalentemente
11Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
Dadas dos rectas que se intersectan, la bisectriz del ángulo que forman es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de éstas. Entonces buscamos la ecuación que describe a los puntos tales que
.
Luego,
y
Haciendo , obtenemos
Y multiplicando ésta última por se sigue que
De aquí, por el valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:
y
donde cada una nos va a describir la ecuación de las respectivas bisectrices.
Para la primera ecuación obtenemos
Mientras que para la segunda,
12Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
a
b
a
Como las ecuaciones de las rectas se encuentran en su forma paramétrica, podemos identificar a sus vectores directores como los coeficientes que acompañan a sus parámetros . Es decir
es vector director de
, y
es vector director de
.
De aquí, recurriendo a la fórmula de ángulo entre vectores
podemos calcular el ángulo que estamos buscando.
Sustituyendo las coordenadas de
b
Notemos que los vectores directores de estas rectas son y
respectivamente.
El ángulo formado entre ellos está determinado por la expresión
[latex]$$ \cos \alpha =\cfrac{|1\cdot\sqrt{3}+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}} $$[/latex]
13Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
a
b
a
Como primer paso debemos encontrar los vectores directores de cada una de las rectas para después calcular en ángulo entre éstos. Esto nos dará el ángulo entre y
.
Una recta descrita en su ecuación cartesiana , tiene como vector director
. Entonces para
y
tenemos vectores directores
y
.
El ángulo determinado entre estos dos vectores está dado por la fórmula:
Sustituyendo los vectores directores que hemos encontrado, tenemos
b
En este caso los vectores directores de las rectas y
son
y
.
Observemos que
Esto significa que el ángulo entre y
es de 90º, pues la condición
es equivalente a que
.
14Dadas las rectas y
, determinar
para que formen un ángulo de 45°.
pues la fórmula anterior nos ayuda a encontrar el ángulo entre dos rectas.
Sustituyendo las coordenadas de lo vectores directores y , obtenemos
y elevando al cuadrado toda la ecuación
multiplicando por toda la ecuación
A través de la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
podemos resolver la ecuación anterior.
Recordemos que es el coeficiente del término cuadrático,
el coeficiente del término lineal y
el término independiente. Para nuestro caso se encuentran determinados de la manera siguiente
Por lo tanto, siguiendo la fórmula general
Luego, obtenemos que los posibles valores para satisfacer la condición deseada son y
15Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación y dista
unidades del origen ¿Cuál es su ecuación?
Para una recta cualquiera , expresada en su forma canónica
tiene como coordenadas de su vector director .
Por otro lado, sabemos que dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores
lo son, o equivalentemente si
donde En nuestro caso, el vector director de
es
.
Si llamamos a la recta deseada, siguiendo la condición del párrafo anterior, se debe tener que el vector director de
tiene por coordenadas
, y así
.
Por otro lado, recordemos que la distancia de un punto a una recta
se puede encontrar a través de la fórmula
Si el punto resulta ser el origen, entonces la fórmula anterior se reduce a
Esto quiere decir que debe cumplir con
Observemos que realmente existe un par de rectas, que tienen distancia con el origen y que son paralelas entre sí, es por ello que
y así las ecuaciones de este par de rectas están dadas por .
Ejercicios avanzados
16Dado el triángulo ; calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
Como primer paso, calculemos las ecuaciones de las alturas del triángulo definido. Llamemos y
a las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos
y
respectivamente.
Para tenemos que
, eso quiere decir que la pendiente
del segmento
multiplicada por la pendiente
de
debe dar como resultado
Al conocer las coordenadas de los puntos y
podemos obtener su pendiente a tráves de la fórmula
.
Por tanto
y
Con las coordenadas de ,
y la forma punto pendiente, podemos deducir la ecuación de la recta para
. Entonces
es la ecuación que define
.
Simplificando esta última se sigue que .
Siguiendo el mismo razonamiento, podemos encontrar las ecuaciones restantes.
Comenzamos por las pendientes.
Luego con la forma punto pendiente para
y para
Para encontrar las coordenadas del ortocentro es suficiente encontrar la intersección de cualesquiera dos alturas.
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
encontramos que el ortocentro se encuentra situado en
17Una recta de ecuación es mediatriz de un segmento
cuyo extremo
tiene por coordenadas
. Hallar las coordenadas del otro extremo.
Llamemos a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento
y el punto
.
Notemos que al ser mediatriz del segmento
cumple con satisfacer
, lo cual implica que
donde
y
son las pendientes respectivas de las rectas
y
.
Del razonamiento anterior obtenemos que , pues expresando a
en su forma equivalente
, sabemos que
.
Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
. Basta con reducir la expresión
y obtener
.
Ahora observemos que , el punto de intersección entre
y
, debe satisfacer ambas ecuaciones, la que describe a
y a
. Es por ello que para encontrar las coordenadas de
, basta con resolver el sistema de ecuaciones
Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto son
. Además,
es punto medio del segmento
, lo que matemáticamente significa que
donde son las coordenadas de
respectivamente.
Igualando coordenada a coordenada, se tiene que
Y sustituyendo los valores que ya conocemos de y
se sigue que
y luego
Por lo tanto el extremo tiene como coordenadas
.
18Halla el punto simétrico , del punto
, respecto de la recta
Llamemos a la ecuación que describe la recta sobre la que descansan el segmento
y el punto
. Dadas nuestras hipótesis, se debe satisfacer que
, esto implica que
, donde
y
son las pendientes respectivas de las rectas
y
.
Por otro lado, la ecuación de en su forma explícita es
, y de esta manera la pendiente de
es simplemente el coeficiente que acompaña a equis, es decir
. Con esto último podemos concluir que
.
Con la ecuación punto pendiente, podemos encontrar la ecuación que describe a la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
. Basta con reducir la expresión
y obtener
.
Ahora observemos que , el punto de intersección entre
y
, debe satisfacer ambas ecuaciones: la que describe a
y a
. Es por ello que para encontrar las coordenadas de
, basta con resolver el sistema de ecuaciones
Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas del punto son
. Además,
es punto medio del segmento
, y en términos matemáticos es equivalente a
donde son las coordenadas de
respectivamente.
Igualando coordenada a coordenada, se tiene que
Y sustituyendo los valores que ya conocemos de y
se sigue que
y luego
Por tanto, el punto simétrico tiene como coordenadas
.
Más ejercicios y problemas de la ecuación de la recta
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
La recta que pasa por el origen y es paralela a y = −3x + 5 .
Hola Laura, si la recta es paralela, tiene la misma pendiente (-3), y si pasa por la origen, cuando x = 0, entonces y = 0 también.
y = −3x
si x = 0, entonces y= 0 también.
¡Un saludo!
Hola Laura , calcula la ecuación general de la recta que pasa por el punto p=(2,3) y es paralela ala recta y=2x+1
Hola, necesito la respuesta de esta actividad:
Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas :
r): y = 3×-2
s): y = – 1 tercio ×+2 Quintos
Halla una ecuación de recta paralela a la siguiente
ecuación: y = – 9x +2
Demostrar que la recta que pasa por losH(4,–2) y I(6,3) es paralela a la recta que pasa por los puntos J(2,0) Y K (4,5) Graficar
Hola señora necesito que me de una respuesta por fabor representa los siguientes rectas y determinar si son ll o i
Y1=2×+3
Y2=2×+5
Y1=2×+3
Y2=-1 2 ×+3 el 2 ba avajo
Hola alguien que pueda ayudarme con con este problema. Escribe la ecuación de la recta paralela de y=4/3X-7
Situada a 2 unidades arriba de ella sobre el eje y
Alquién no me puede dar un resultado que necesito de la ecuación de recta paralela a y=3-4x ?
Hola,
la recta paralela tiene la misma pendiente que la recta dada, esto es, m = -4; sin embargo te falta indicar el punto por donde pasa la recta. Indícanos cuál es el punto y con gusto te ayudamos a resolver tu duda.
Un saludo
Encontrar la ecuación de una recta que tenga origen 4 y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-2,3)y (4,-2)
Hola señorita no sé si me pueda ayudar en esto 4×2/3y=0
9x-4y-3=0
3-7x+8=0
Cual es la pendiente del segmento de la recta con extremo P1 (-2,4) P2 (4,-3)
Hola, vamos a resolver este ejercicio juntos. Sabemos que la ecuación de la recta es y = mx + b y que m corresponde a la pendiente de la recta. Vamos a sustituir x y y de cada punto del segmento en esta ecuación y vamos a obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (m y b):
Primer punto (-2, 4)
4 = -2m + b
El segundo (4, -3)
-3 = 4m + b
Como estos dos puntos están en la mima recta, m y b coinciden. El sistema es:
4 = -2m + b
-3 = 4m + b
Despejamos una de las incógnitas de la primera ecuación:
4 + 2m = b
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
-3 = 4m + 4 + 2m
-3 – 4 = 6m
-7 = 6m
m = -7/6
Vamos a sustituir este valor en una de las dos ecuaciones para averiguar el valor de b:
4 = -2(-7/6 ) + b
4 = 14/6 + b
4 – 14/6 = b
4 – 7/3 = b
12/3 – 7/3 = b
5/3 = b
Comprobamos los resultados en la segunda ecuación:
-3 = 4(-7/6) + 5/3
-3 = -28/6 + 5/3
-3 = -14/3 + 5/3
-3 = -9/3
Tenemos la ecuación de la recta:
y = -7/6 x + 5/3
¡Voilá!
¡Un saludo!
Buenas tardes
Me pueden ayudar
Encuentra la pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por los puntos A 1,3 y B 2,4
alla la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta de ecuación y = – 2x – 3
Buen día.
Dada una recta en la forma
, tenemos dos cantidades importantes
–
que es la pendiente y es igual a la tangente del ángulo formado por el eje
y la recta misma.
–
que se conoce como ordenada al origen y es el punto del eje
donde cruza la recta cuando
.
Una característica importante de las rectas es que, cualquier par de rectas que tengan la misma pendiente, pero distinta ordenada al origen, son paralelas (si tenemos que la pendiente y la ordenada son iguales en ambas rectas, entonces tenemos que son la misma recta). Dicho esto, cualquier recta dada por
es paralela a tu recta
.
Espero haber ayudado con tu duda.
Saludos
Determinar si la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 y la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 son paralelas o perpendiculares. ayuda porfis
Hola, recordemos que dos rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen que
m·m’ = – 1
por otro lado, son paralelas si
m = m’
Si tenemos la ecuación explícita de la recta
y = mx + b
La pendiente sería m, el coeficiente que acompaña a la x. Entonces para saber las pendientes de las rectas del ejercicio tenemos que pasar de su ecuación general a su ecuación explícita
3x – y + 4 = 0 y = 3x + 4
3x – y – 3 = 0 y = 3x – 3
Notamos las pendientes cumplen que m = m’ pues ambas rectas tienen pendiente 3. Se concluye que son paralelas.
Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!
Determinar si la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 y la recta 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 son paralelas o
perpendiculares.
¡Hola, Paola! Con gusto te ayudamos. A primera vista se ve que las ecuaciones son paralelas ya que la
y la
tienen el mismo coeficiente. Sin embargo, una manera de determinarlo es resolviendo el sistema:
Que es equivalente al sistema
Si la resolvemos por igualación, podemos notar que al lado izquierdo de las dos ecuaciones tenemos
por lo tanto, se debe tener que
es decir,
. Pero esto es una contradicción, ya que esos dos números no pueden ser iguales. Por lo tanto, el sistema no tiene ninguna solución. En otras palabras, las rectas nunca se intersectan, por lo que son paralelas.
Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas. ¡Un saludo!
. Hallar el valor de “a” si las rectas:
L1: ax + (a – 1)y + 18 = 0
L2: y = 3x -7/3
Son paralelas.
Hola, para que las dos rectas sean paralelas, tienen que tener la misma pendiente (m). Vamos a ordenar los términos de cada una de las ecuaciones para que tomen la forma de la ecuación explicita de la recta: y = mx + b
L1:
ax + (a – 1)y + 18 = 0
(a – 1)y = -ax – 18
y = (-ax)/(a-1) – 18/(a – 1)
y = [-a/(a-1)] · x – 18/(a – 1)
Podemos identificar que la pendiente de esta recta corresponde a: [-a/(a-1)]
L2:
y = 3x -7/3
Podemos identificar que la pendiente de esta recta corresponde a:3
Entonces,
[-a/(a-1)] debe de ser igual a 3
-a/(a-1) = 3
-a = 3(a – 1)
-a = 3a – 3
-a – 3a = -3
-4a = -3
a = -3/-4
a = 3/4
¡Un saludo!
Hola me puedes ayudar con encontrar la recta paralela a 3x+y-5 y que pasa por el origen.
Hola, ¿me podrían ayudar con este ejercicio?:
-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta y=-7.
Gracias 🙂
¡Hola!
Con gusto te apoyo con tu ejercicio.
Recuerda que la recta y=-7 es una recta horizontal, por lo que una recta perpendicular a ella debe ser vertical y se escribe de la forma x=c (Donde c es una constante). En este caso te piden que la recta vertical pase por el origen, es decir por el punto (0,0). Así la ecuación de la recta que buscamos sería x=0.
Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que tengas.
¡Saludos!
Determine la ecuación de la recta que contiene al punto P(2, 1) y que es paralela a la
recta dada por. x = 3 + t ∧ y = −2t
¡Hola!
Con gusto te apoyo con la solución de tu ejercicio
Primero, de la condición
despejamos a la variable ‘t’ y la sustituimos en la recta:
Ahora despejamos a ‘y’ de la ecuación:
De aquí deducimos que la pendiente de la recta que nos dan como referencia es m=-2
Ahora, como buscamos una recta paralela, sabemos que las pendientes son iguales, por lo que podemos sustituir el punto en la fórmula punto-pendiente:
que sería la ecuación de la recta que buscamos.
Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más dudas que puedas tener.
¡Un saludo!
Hola buenas tardes.
¿me podrían ayudar con este ejercicio?
*una recta paralela ay=2×-5 cuya ordenada sea 1/7. Escriba la ecuación de la recta que cumpla con la condicion pedida.
Calcular el angulo entre las rectas r:3x-y+1=0 y s:8x-2y-5=0
¡Hola!
Con gusto te ayudo en la resolución de tu ejercicio
Para calcular el ángulo entre 2 rectas necesitamos obtener sus pendientes, para ello, podemos despejar la ‘y’ de ambas ecuaciones
De aquí deducimos que las pendientes son:
Para calcular el ángulo entre las rectas usamos:
Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que tengas
¡Un saludo!
La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(√3,1) y Q(0,1) es:
Hola Ann, calculamos:
m = ∆y/∆x = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (1 – 1)/(0 – √3) = 0/-√3 = 0
LA pendiente es 0, la recta es paralela al eje x. ¡Un saludo!
Me pueden ayudar con este ejercicio gracias
Halla la ecuación general de la recta de los siguientes ejercicio
y=2x+5
y=7x-3
Hola Carlos, la ecuación general de la recta es:
Ax + By + C = 0
entonces:
y = 2x + 5 se convierte en
2x – y + 5 = 0
¿Podrás contestar la segunda pregunta solo?
1) a) Escribí la ecuación de una recta R paralela a la recta S: 𝑦 = 4𝑥 − 2, que pasa por el punto (0; 0). No te olvides de escribir el procedimiento.
b) Escribí una recta T perpendicular a las anteriores que pase por el origen de coordenadas. No te olvides de escribir el procedimiento) Representá las tres rectas en el mismo par de ejes.
2) Tomás asegura que la recta R, cuya ecuación es 𝑦 = −5𝑥 + 2, es paralela a la quee pasa por los puntos ( 4; −5 ) y ( 2 ; 5). ¿ Tiene razón? Justificá tu respuesta.
3) a) Volviendo a la actividad 2). Si Tomás tenía razón, escribí la ecuación de la recta perpendicular a R que pasa por el punto ( 4 ; −5) . Si no tenía razón, escribí la ecuación de la recta paralela a R que pasa por el punto ( 2 ; 5).raficá todas las rectas con las que trabajaste en esta actividad y en la anterior, en el mismo para de ejes
cartesianos.
4) a) Hallá la ordenada al origen de la recta T, que es paralela a Q: 𝑦 = 4𝑥 − 1 y que pasa por el punto ( 4 ; 8). No te olvides de escribir el procedimiento.
b) Halla la raíz de la recta Q. No te olvides de escribir el procedimiento.
c) Halla la raíz de la recta T. No te olvides de escribir el procedimiento.
5) Encontrá analíticamente la recta pedida en cada caso:
a) Es perpendicular a la que pasa por ( 0 ; 2) y ( 6 ; 5), y tiene ordenada al origen 2.
Me ayudas con todo esto
Hola, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!
Hola por favor me podrian ayudar con este ejercicio.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y es perpendicular a la recta
Hola Vania, ¿es perpendicular a qué recta?
me ayudarían a resolver este ejercicio muchas gracias
Ejemplo 3: Dados los puntos A(5, 3), B(-2, 6), C(1, -2). Halle:
a. La longitud del segmento AB
b. Las coordenadas del punto M (Punto medio del segmento AB)
c. Distancia de C a la recta que pasa por A y por B.
d. El angulo 1 con respecto a la horizontal de la recta AB.
e. Ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X= – 4 y Y= –
3; y por el punto M.
f. El angulo 2 con respecto a la horizontal de la recta anterior.
g. Grafique todo lo anterior.
calcular las ecuaciones paralelas a los eje de coordenadas que pasan por los puntos A.(3.4) B (-1.3
sera que me puede ayudar con este ejercicio:
Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, que es perpendicular a la recta
x = y 5, z = 2y 3 y que intercepta a la recta y = 2x + 1, z = x + 2.
Hola Stephani, c¿uales son las relaciones entre y y 5 y entre 2y y 3? ¡Un saludo!
2x
Tomás asegura que la recta R, cuya ecuación es 𝑦 = −5𝑥 + 2, es paralela a la quee pasa por los puntos ( 4; −5 ) y ( 2 ; 5) tiene razón?
a)Escribí la ecuación de una recta R paralela a la recta S: 𝑦 = 4𝑥 − 2, que pasa por el punto (0; 0). No te olvides de escribir el procedimiento.
b) Escribí una recta T perpendicular a las anteriores que pase por el origen de coordenadas. No te olvides de escribir el procedimiento.
c) Representá las tres rectas en el mismo par de ejes.
3) a) Volviendo a la actividad 2). Si Tomás tenía razón, escribí la ecuación de la recta perpendicular a R que pasa por el punto ( 4 ; −5) . Si no tenía razón, escribí la ecuación de la recta paralela a R que pasa por el punto ( 2 ; 5).
b) Graficá todas las rectas con las que trabajaste en esta actividad y en la anterior, en el mismo para de ejes cartesianos.
4) a) Hallá la ordenada al origen de la recta T, que es paralela a Q: 𝑦 = 4𝑥 − 1 y que pasa por el punto ( 4 ; 8). No te olvides de escribir el procedimiento.
b) Halla la raíz de la recta Q. No te olvides de escribir el procedimiento.
c) Halla la raíz de la recta T. No te olvides de escribir el procedimiento.
5) Encontrá analíticamente la recta pedida en cada caso:
a) Es perpendicular a la que pasa por ( 0 ; 2) y ( 6 ; 5), y tiene ordenada al origen 2.
b) Su raíz es x = 2 y es paralela a la recta Q: 𝑦y= −4,3 x (fracción)
Ayuda
𝑥
Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1
Hola Leidy, faltan datos en tu ejercicio. ¡Un saludo!
Dibuja una recta que pase por el punto A (5,6) y cuya ordenada en el origen sea 2
PORFA AYUDA!!!
Hola Lisa, ¿qué es la ordenada en el origen? Es simplemente el punto de corte en el eje de ordenadas de la recta. Entonces la recta pasa por el punto (0, 2) y (5, 6). Para averiguar como se encuentra la recta que pasa por dos puntos, te aconsejamos usar el buscador de arriba a la derecha y leer nuestro artículo «La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos» y echar también un vistazo a los comentarios de la página. ¡Un saludo!
Determinar la ecuación de la recta bisectriz a las
siguientes rectas: L1:x−9/6=y−11/6=z−11/7
L2: x−5/2=y−6/1=z−6/2
Hola Carol.
Primero convertiremos las ecuaciones de simétricas a vectoriales, por lo que tenemos:




en la recta
, entonces tenemos que el punto en donde se encuentran ambas rectas es:
.








representa la norma del vector
. Entonces el vector bisectriz
esta dado por:

y
es:

Primero debemos encontrar el punto en donde se interceptan las líneas, para eso igualamos las rectas y obtenemos:
Entonces si reemplazamos
Ahora necesitamos un vector director para la bisectriz, al cual lo obtenemos con los vectores directores de las rectas, en este caso:
vector director de
vector director de
Ahora calcularemos los vectores unitarios de estos, los cuales son;
Vector unitario de
Vector unitario de
Donde
Por lo que la recta bisectriz a
Cabe mencionar que hay dos rectas bisectrices, la otra recta es perpendicular a la encontrada aquí, puedes tratar de encontrarla por tu cuenta.
Saludos.
hola me podrian ayudar con este ejercicio ?
Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de sus
vértices B(-5,5) y las ecuaciones de la altura 7x + y + 5 = 0 y de la bisectriz
x – 7y + 15 = 0, trazadas desde uno de sus vértices.
Alguien que me ayude con ejercicios resueltos de ecuaciones de la recta paralela a otra porfi
Hola Melisa, te aconsejamos usar el buscador arriba a al derecha para encontrar nuestros artículos de explicaciones y ejercicios sobre el tema. ¡Un saludo! 😉
ME PODRIA AYUDAR CON ESTOS DOS EJERCICIOS?
Ejercicio 1. Encuentra la pendiente y ecuación de la siguiente recta a partir de las coordenadas de los puntos P1(-3,-2) y P2(4,5). Gráfica dicha ecuación.
Ejercicio 2. Dibuja la recta que cruza el eje vertical en el valor -3 y que tiene como pendiente 5. Encuentra también la ecuación correspondiente y gráfica dicha ecuación.
Hola Juan Manuel, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Te aconsejamos echar un vistazo al artículo explicativo y a los ejemplos resueltos en los comentarios – simplemente hace falta aplicar los mismos pasos a tus datos y el cálculo es muy fácil. Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!
Determina la ecuación general de una recta qué pasa por el punto A(-5,3) y es perpendicular a la recta 5x+2y-6=0
Cual es la respuesta de la recta (7,2) y (9,14)
hola me pueden ayudar con este ejercicio por favor
¿hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P0(2,-1,-1) y P1(1,2,3) es perpendicular al plano 2x+3y-5z-6=0?
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(17,12) y es perpendicular a la recta
5𝑥 + 12𝑦 − 60 = 0
Me ayudan.
hallar la ecuaciin de la recta
que pasa por el punto p(3.3)y forma con los ejes cordenados 20m^2
Encontrar el segmento de recta a 2/3 de la ecuación 2x + 4y = 0
Muchas gracias por sus atenciones
Hola Luis Roberto, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!
Hola que tal, me podrían apoyar con este ejercicio por favor
Determina la ecuación de la curva que pasa por el punto (2;-4) y tiene pendiente (-4x)/9y en todo punto (x,y) de ella.
Hola Diego, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Te aconsejamos echar un vistazo al artículo explicativo y a los ejemplos resueltos en los comentarios – simplemente hace falta aplicar los mismos pasos a tus datos y el cálculo es muy fácil. Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!
Determine una función paralela y otra perpendicular a la función que pase por los puntos (2/3 ,− 5/4 ) y (−1 , 0)
Buenas tardes. Tengo dos problemas sobre rectas.. me pueden ayudar?
Determina los vertices del triangulo cuyos lados tienen por ecuaciones a) X -5y +8 =0 4x -y -6=0 3x+4y+5=0
Ayudemenme con este ejercicio por fa
Para cada uno de los pares de rectas determinadas por los puntos dados, indica y prueba
analíticamente si las rectas formadas son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
a) Recta 1 formada por A(2, 3) y B(5, 6). Recta 2 formada por N(-5, 3) y P(2, -4).
b) Recta 1 formada por D(-3, -4) y E(4, -6). Recta 2 formada por R(5, 1) y S(3, -6).
c)Recta 1 formada por Q(1, -5) y F(-4, -2). Recta 2 formada por K(0, -3) y H(5, -6).
no entiendo que formula aplicar
1. Calcula el simétrico del punto A (5,2).
a) Respecto del eje «y» de las ordenadas.
a) Respecto del eje «x» de las abscisas.
2. Sea el cuadrilátero A(3, 2), B (2, 3), C (3, 5) y D (5, 4), calcula las coordenadas de los vértices
del cuadrilátero anterior respecto
a) Respecto al eje «X» de las abscisas.
b) Respecto al eje «y» de las ordenadas.
3. Sea el triángulo de vértices M (1, 3), N (2, 1) y P (4,1), calcula las coordenadas de los
vértices del triángulo anterior (una simetría central), respecto al origen de coordenadas.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −6) y es
paralela a la recta que une los puntos (8, 2) y (−8, 4) ayuda porfavor
Escribir la ecuación de la recta que corta en el eje de abscisas en 5 y al de ordenadas en -4.
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3;5) a igual distancia de los puntos A(-7;3) y B(11;-15)
Me pueden ayudar Instrucciones: Resolver algebraicamente los ejercicios propuestos. Pueden comprobar de ma
consideren pertinentes.
1. Determinar si los siguientes pares de puntos son rectas paralelas o perpendiculares:
a)
A(4, 1), B(-2, 5) y C(3, 7), D(-1, 1)
b)
A(-7, 1), B(1,-6) y C-4, -6), D(3, 2)
Una recta pasa por los puntos (-7, 5) y(-1,-3). Otra recta pasa por los puntos (0,3) y (3,-
1).¿Las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
Hola
cordial saludo para todos
quien podría ayudarme a encontrar la ecuación de la recta con las propiedades dadas :
paralela a la recta 2x _ y – 2 =0 , pasa por los puntos ( 1, -1 )
paralela a la recta x =5 , pasa por ( _2 ,4 )
perpendicular a la recta x – 2 y + 6 = 0 pasa por 1, -4)
perpendicular a la recta x =8 ; pasa por ( 3 , – 4 )
perpendicular a la recta 2x + y +4 = 0 pasa por ( – 3 , -_2 )
por favor espero que me puedan ayudar es urgente y por mas que e tratado de resolver este ejercicio no lo e logrado
agradesco de corazon al que pueda colaborarme ajolas en el menor tiempo posible
de veras es urgente
ustedes son mi ultima alternativa
confio en puedan ayudarme
es para hoy
La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-1) y es paralela a la recta y = 5x – 3
Halla la función de la recta paralela a y=2x+1, que pasa por le punto (-1 ;5)
Ángulos entre rectas.
Una recta que pasa por los puntos C (-2,5) y D (4,-1) forma un ángulo de 45º con otra recta. La pendiente de la segunda recta es:
Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a 6𝑥 − 7𝑦 + 16 = 0 y pasa por
el punto (−9, −3)
5.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0, 8𝑥 + 5𝑦 + 42 =
0; 𝑥 + 7𝑦 + 13 = 0 Hallar los vértices del triangulo
Hallar la ecuacion de la recta que pasa por (6;1) y tiene ordenada al origen igual a -5
Si P=12 y L=3 entonces el valor de T es igual a por alguien me puede decir la respuesta
Determina la pendiente de la ecuación L1 , si es perpendicular a la ecuación:
4y – 3x + 4 =0
Representar las rectas a y b y, determinar si son paralelas o perpendiculares.
𝒂:𝑦 = −3𝑥 + 5
𝒃:𝑦 = −3𝑥 + 1
me podrian ayudar
Como sería la gráfica de la recta que es perpendicular con 2x – 4y + 3 = 0.
Encuentra la pendiente y traza la gráfica de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos.
1. A (2,5) y B (-2,-1)
2. A ( 4,3) y B (-2,3)
3. A (4,-1) y B (4,4)
Es paralela a la recta r : y = -3/2 × + 5/2 y pasa por el punto p =(-1;-3)
hallar si existe el punto de corte de las siguientes rectas y=x/2+3 y=2x-3
Determine la distancia del punto
P(2,2)
a la
recta que pasa por
(5, -7)
y es paralela a la recta
6x + 3y = 4
Calcula la distancia entre las rectas r= x-2y-3= 0 y s =x-2y +1=0 p (5,1)
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2y − 3x +
= 0 ayuda por favor.
LA FUNCION LINEAL , me dan una mano..
ECUACION
Y1=2X-6
Hallar la exuacion Y2 de la recta pependicular a Y1, que pasa por el punto (6.1)
1. Dadas las siguientes ecuaciones.
a. 5x+3y-15=0, trazar una recta que pase por los puntos A cuando x= 0, y B cuando x= -3
Hallar la recta a y=2x-3 y que pase por el punto (3;8)
Hallar la ecuación de la recta r que pasa A(1,5) y es paralela a la recta 8=2r+y+2=0
Ayuda
La recta L de intersección de dos planos X e Y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre L y R es 16, y entre L y S es 12, calcular la distancia entre R y S.
Algún profe me puede ayudar con este problema, por favor?, se lo agradecería mucho.
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5 , 3) y B (-3 , 4)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(3,5) a igual distancia de 𝐴(−7,3) y
𝐵(11, −15).
Hallar la distancia del origen a cada una de las rectas paralelas 2x + 3y – 4 = 0 y 6x + 9y + 11= 0
A partir de esto calcular la distancia entre las dos rectas.
Hola, qué fórmulas se utilizan en el ejercicio 13??
Hola Camila.
Para este ejercicio usamos lo siguiente:
Primero; el vector director de una recta
esta dado por
.
Segundo; el ángulo entre dos vectores
y
esta dado por:

que satisfacen las condiciones, tal y como se muestra en la solución del ejercicio.
por lo que solo debemos sustituir los valores, desarrollar las expresiones y buscar los valores de que
Saludos.
Dados los siguientes planos:
L1: 6x + 4y + 4z + 3 = 0
L2: 2x – 3z – 7 = 0
Determine sin son paralelos o perpendiculares.
una recta corta en dos segmentos de recta de igual longitud a los ejes coordenadas y pasa por el punto (3,2).halle la ecuacion general de la recta
Encuentre el ángulo agudo entre las rectas L1: 3x − 4y + 1 = 0 , L2: 2x − 3y = 5
Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas
L1: 4x + 2y = 13, L2: 3x − 7y + 3 = 0 con pendiente 3.
Muy buenas tardes me pueden ayudar con esto;
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A= (2, 6), y es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 3x –y – 5 = 0.
La recta que pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2,2) y D(3,−4) es
La recta que pasa por los puntos (3, 4) y (-5, 0) interseca la recta que pasa por los puntos (0,0) y (-5, 0). Encuentre los ángulos de intersección.
Hola, alguien que me pueda ayudar con este ejercicio por favor.
Determinar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2+y^2-6x+10y-2=0 , cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.
calcular las ecuaciones paralelas a los eje de coordenadas que pasan por los puntos A.(3.4) B (-1.3
valor 25. determine el valor k tal que la recta kx – 5y = 7 es paralela a pasa la recta que por los puntos (2,-4) y (3,5)…. me pueden ayudar
¿Es paralela la recta 6x-3y=10 con la recta y=2x+14? Explique su respuesta: ES URGENTE Gracias!!
r:4x-y+2=0 s:y-3=2(x+1) ayúdeme con ese ejercicio porfavor
cual es la ecuacion de la recta que es paralela a la recta y=x+5 y pasa por el punto (1,0)
Dos aviones establecen sus trayectorias para realizar pruebas de acrobacia, ellos volarán en línea recta bajo las ecuaciones 2x+3y+72=0 y 2x+3y-108=0. ¿Podrán hacer las acrobacias sin que choquen en algún punto?
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,1), es paralela a la recta cuya ecuación está dada por x-5y+20=0.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 2x–y–4=0 y x+3y+3=0 y que es paralela a la recta 2x+3y+6=0.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,1), es perpendicular a la recta cuya ecuación está dada por x-5y+20=0.
1. Ejercicio sobre “Hallar la ecuación de una recta que pasa por la intersección de otras dos rectas y por un punto especificado”.
Ángulo que forman dos rectas
Las rectas r1, 4x + 3y − 5 = 0 y r2, −2x + 5y + 7 = 0, se intersecan en un punto A. Determine el ángulo A entre esas dos rectas.
Una recta ℒ determina en el eje 𝑌 un segmento de 4 unidades de longitud, y pasa por el punto 𝑃 de abscisa −5, que pertenece a la recta ℒ1: 4𝑥 − 3𝑦 + 26 = 0. Hallar la ecuación de ℒ.
Hallar la ecuación general de la recta que dista 10 unidades de la recta L: 12x-5y+13=0 y corta al eje Y positivo.
Dadas las rectas 7x-5y+27=0, 2x-9y-15=0 determina las pendientes y calcula los ángulos que se forman entre ellas.
ayuda por favor
buenas como esta por favor me ayudan
calcula x si L1//L2 y 4x+10° , 50°
Hola me ayudan con este ejercicio ,determinar la distancia entre la recta L=x-3y+6=0 y el punto de interseccion L1:x-5 , L2:x+y=0
Cómo podría yo calcular el ángulo que hay entre las rectas l1 l2 de los puntos siguientes :
a)l1 : A ( -8,9); B (9,-6)
l2 : C ( 6,5); D (-2,-8)
b) l1 : A (6,1); B (-1,7)
L2 : C (0,5); D (7,-8)
C) l1 : A (9,0); B (0,9)
L2 : C (-8,0) D (0,9)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 3) y es paralela 𝑦 = 𝑥 + 25
¿Qué relación existe entre aquella recta con la que pasa por el punto (6; 0) y por el
punto (-2;8)?. AYUDAAA
resuelve cada sistema de
ecuaciones usando el método gráfico:
1. 3x +5y =-2
7x-8y=15
2. 2x +3 = y
2x+4=y
3. 4x+5y=6
-8x-10y=-12
4. -x+4y=-11
3x+y=7
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y forma un angulo de 45° con la recta 3X – 4y + 7= 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto B (1,1) y forma un ángulo tita de 135 ° con el eje x
Una recta de pendiente −5 pasa por el punto A=(4,2). Otra recta con
pendiente 2 pasa por el punto (2,3). ¿Cuál es el punto de corte entre las dos
rectas?
Actividad N° 4: Dibuja un plano 3D en su cuaderno, marca correctamente los ejes 𝒙, 𝒚, y 𝒛.
Sobre este plano ubica los siguientes puntos.
1. (−4,0,0)
2. (0,0,0)
3. (−4, −4, 0)
4. (0, −4, 0)
5. (0, −4, 5)
6. (0, 0, 5)
7. (−4, 0 , 5)
8. (−4, −4, 5)
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,5) y es paralela al eje Y. *
Me ayudan ya realice el ejercicio pero sale que la pendiente m=1/3
Halle la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = −3x − 1 que
pase por el punto (1,3) en la forma explícita y vectorial
encontrar la ecuación de la recta paralela a la ecuación 5x-3y=1 y pasa por el punto (0,1)
Escribí la ecuación de una recta paralela a y= 4x-2, que pasa por el
punto (0;0).
Después escribí la ecuación de otra recta, perpendicular a las
anteriores, que también pase por el origen.
Sea 𝐿 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
|𝑦 = −
1
2
𝑥 + 1} Pruebe que 𝐴 = (−2,2), 𝐵 = (0,1),
𝐶 = (4, −1) pertenecen a la recta L
6m+8z+7b -3m+4b+10c
Como se resuelve
La ecuación de un plano paralelo al plano 3x-2y+z-1=0 y que esté a 3 unidades del punto (1,2,3) está dada por 3x-2y+z-1=0
Encuentra las ecuaciones y gráficas de dos rectas paralelas L1 y L2, donde L1 una pasa por los puntos A(-1,5), B(1,-5) y la recta L2 pasa por el punto (4,4)
2. Encuentra las ecuaciones y gráficas de dos rectas paralelas L1 y L2, donde L1 una pasa por los puntos A(-1,5), B(1,-5) y la recta L2 pasa por el punto (4,4)
Se tiene las dos ecuaciones 2x + y = 4 y 3x – 4y = 9, expréselo como ecuación general de la recta e
identifique sus pendientes.
Determine un valor de k para el cual las ecuaciones −10x−5ky−6=0 y 2kx+25y+4=0 representan líneas rectas paralelas.
Halla la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta 4x + 3y = 8
sean las circunferencias B1 y B2 con ecuaciones
x^2-8x+y^2+6y+16=0
x^2+y^2+4x+12y+15=0
respectivamente. encuentre la ecuación de la recta que es paralela al segmento que une los centros de B1 y B2 y pasa por el punto (1,1)