Ecuación continua hacia la ecuación general de recta

 

1 Tomamos la ecuación continua la recta

 

\frac{x-x_{1}}{v_{1}} = \frac{y-y_{2}}{v_{2}}
 

2 Despejamos los denominadores y obtenemos:

 

v_{2}(x-x_{1}) = v_{1}(y-y_{1})

v_{2}x - v_{2}x_{1} = v_{1}y - v_{1}y_{1}

 

3 Trasponemos los términos.

 

{v_2x - v_1y + v_1y_1 -v_2x_1 = 0}

 

4 Usamos A, B, y C para simplificar.

 

{\ A=v_2, \ \ \ B=-v_1, \ \ \ C=v_1y_1-v_2x_1}

 

Así es como obtenemos la siguiente ecuación, la ecuación de la recta.

 

La ecuación general de la recta

 

{Ax + By + C = 0}

 

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta.

 

Las componentes del vector director 

 

{\vec{v} = (-B, A)}

 

La pendiente de la recta 

 

{m = -\frac{A}{B}}

 

Ecuación con punto A y pendiente m hacia la ecuación general de recta

 

Como podrás notar no es complicado obtener la ecuación general de la recta, para ello basta considerar cualquier representación de la misma y despejar los elementos de manera que se obtenga una ecuación igual a cero.

Para el caso de la ecuación general de la recta a partir de la de la ecuación de la recta con punto A=(x_1,y_1) y pendiente m, tenemos: {\ y-y_1=m(x-x_1)}. Los pasos para llegar a la ecuación general de la recta son los siguientes:

 

1 Desarrollamos la multiplicación del lado derecho de la igualdad

 

{\ y-y_1=mx-mx_1}

 

2 Despejamos la ecuación e igualamos a cero

 

{\ -mx+y+mx_1-y_1=0}

 

3 Usamos A, B, y C para simplificar.

 

{ A=-m, \ \ \ B=1, \ \ \ C=mx_1-y_1}

 

4  Y obtenemos otra vez la ecuación general de la recta:

 

{Ax+By+C=0.}

 

Ejemplos de ejercicios de ecuación de la recta 

 

1 Hallar la ecuación de la que pasa por el punto $$A=(1,5)$$ y tiene como vector director $$\vec{v}=(-2,1)$$.

 

Como tenemos los valores del punto $$A$$  y del vector director  $$\vec{v}$$, sustituimos estos valores en la ecuación continua de la recta.

 

\frac{x-x_{1}}{v_{1}} = \frac{y-y_{2}}{v_{2}}

 

\frac{x-1}{-2} = \frac{y-5}{1}

 

Despejamos los denominadores y obtenemos

 

{\ x- 1= -2y +10}

 

Igualando la ecuación a cero, obtenemos la ecuación general de la recta

 

{\ x+2y-11=0}

 

 

2 Hallar la ecuación de la que pasa por el punto A=(1,5)y tiene pendiente  m=-2  

Como tenemos los valores del punto A  y de la pendiente m, sustituimos estos valores en la ecuación punto pendiente de la recta

 

{\ y-y_1=m(x-x_1)}

 

{\ y-5=-2(x-1)}

 

Desarrollamos la multiplicación

 

{\  y-5=-2x+2}

 

Igualamos a cero y obtenemos la ecuación general de la recta

 

{\ 2x+y-7=0}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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