Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.
El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano.
2 Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto y se apoya en las rectas:
.
Obtenemos un punto genérico de la recta r.
Obtenemos un punto genérico de la recta s.
Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.
Como la recta pasa por el punto , tendremos:
Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:
Operamos y simplificamos.
3 Hallar el valor de los parámetros a y b para que la recta sea coincidente con el plano
.
Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman el sistema:
Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:
Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.
4 Calcula los valores de los parámetros y
para que los planos:
pasen por una misma recta.
Para que los tres planos pasen por una misma recta tiene que ocurrir que:
.
Así bien,
De esta forma calculamos :
Y finalmente, calculamos :
En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.
Restamos a cada fila la primera:
Por lo tanto los tres planos se cortan en un punto.
Además si . Las tres ecuaciones son idénticas, por lo cual los tres planos son coincidentes.
En cambio si
Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.
6 Estudiar las posiciones relativas del plano y la recta
según los valores del parámetro .
La recta corta al plano en un solo punto.
La recta está contenida en el plano.
La recta es paralela al plano.
7 Determinar para que la recta
no corte en el plano
.
9 Calcular el valor de k para que las rectas y
se corten en un punto. Encontrar ese punto.
Después podemos considerar una de las ecuaciones definitorias de la recta para construir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y calcular la intersección de los tres planos, es decir:
Como el punto obtenido debe satisfacer las cuatro ecuaciones de los planos podemos sustituir los valores de y
, en la ecuación
para determinar
:
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Creo que hay un error en el ejercicio 5. Si a=1 el rango de la matriz normal y la ampliada sería menor de tres, por lo que no se cortarían o serían secantes en un mismo punto.
Si el rango es 1 para las dos matrices cuando a=1, por lo tanto son coincidentes y no secantes según el articulo https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/posiciones-relativas-de-dos-planos.html
Entonces no hay error.