1 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta  r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}  con el plano \pi \equiv x-2 y+5 z+1=0 y es paralelo a las rectas:

    \begin{equation*} s \equiv \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}, \quad t \equiv \frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+4}{-2} \end{equation*}

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x-2 y+1=0 \\ -x-2 z+1=0 \\ x-2 y+5 z+1=0 \end{array} \Rightarrow \quad x=1, \quad y=1, \quad z=0.\right. \end{equation*}

El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano.

    \begin{equation*} \begin{aligned} &A(1,1,0), \quad \vec{u}=(-1,2,1), \quad \vec{v}=(1,1,-2). \\ \\ &\left|\begin{array}{ccc} x-1 & -1 & 1 \\ y-1 & 2 & 1 \\ z & 1 & -2 \end{array}\right|=0 \Rightarrow \quad-5 x-y-3 z+6=0 \end{aligned} \end{equation*}

2 Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

    \begin{equation*} r \equiv \frac{x}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}, \quad s \equiv \frac{x+1}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1} \end{equation*}

.

Obtenemos un punto genérico de la recta r.

    \begin{equation*} \frac{x}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}\Rightarrow \quad\left\{\begin{array}{l} x=3 \lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=\lambda \end{array}\Rightarrow \quad P(3 \lambda,-2+\lambda, \lambda)\right. \end{equation*}

Obtenemos un punto genérico de la recta s.

    \begin{equation*} \frac{x+1}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}\Rightarrow \quad\left\{\begin{array}{l} x=-1+6 \mu \\ y=-2 \mu \\ z=\mu \end{array}\Rightarrow \quad Q(-1+6 \mu,-2 \mu, \mu)\right. \end{equation*}

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

    \begin{equation*} \frac{x-3 \lambda}{-1+6 \mu-3 \lambda}=\frac{y+2-\lambda}{-2 \mu+2-\lambda}=\frac{z-\lambda}{\mu-\lambda} \end{equation*}

Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:

    \begin{equation*} \frac{1-3 \lambda}{-1+6 \mu-3 \lambda}=\frac{2-\lambda}{-2 \mu+2-\lambda}=\frac{2-\lambda}{\mu-\lambda} \end{equation*}\\

    \Rightarrow \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} \frac{1-3 \lambda}{-1+6 \mu-3 \lambda}=\frac{2-\lambda}{-2 \mu+2-\lambda} \\ \frac{2-\lambda}{-2 \mu+2-\lambda}=\frac{2-\lambda}{\mu-\lambda} \end{array}\right. \end{equation*}\\

    \Rightarrow \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} 3 \lambda \mu-11 \mu+4 \lambda+2=0 \\ 3 \mu-2=0 \end{array}\right. \end{equation*}

    \Rightarrow \begin{equation*} \lambda=\frac{8}{9} \quad \mu=\frac{2}{3} \end{equation*}

Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

    \begin{equation*} \frac{x-3 \cdot \frac{8}{9}}{-1+6 \cdot \frac{2}{3}-3 \cdot \frac{8}{9}}=\frac{y+2-\frac{8}{9}}{-2 \cdot \frac{2}{3}+2-\frac{8}{9}}=\frac{z-\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}-\frac{8}{9}} \end{equation*}

Operamos y simplificamos.

    \begin{equation*} \frac{9 x-24}{3}=\frac{9 y+10}{-2}=\frac{9 z-8}{-2} \end{equation*}

3 Hallar el valor de los parámetros a y b para que la recta r \equiv \frac{x}{a}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1} sea coincidente con el plano \pi \equiv 2 x-3 y+z+b=0 .

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman el sistema:

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} x-a y=0 \\ y-z-1=0 \\ 2 x-3 y+z+b=0 \end{array}\right. \end{equation*}

    \begin{equation*} M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right) \quad M^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & -b \end{array}\right) \end{equation*}

Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:

    \begin{equation*} r(M)=r(M')=2 \end{equation*}

Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right|=0 \Rightarrow \quad 2 a-2=0 \Rightarrow \quad a=1 \end{equation*}

    \begin{equation*}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & b \end{array}\right|=0 \Rightarrow\quad b-1=0 \Rightarrow\quad b=1\end{equation*}

 

4 Calcula los valores de los parámetros a y b para que los planos:

\begin{aligned} &\pi_{1} \equiv x+b y+z-1=0 \\ &\pi_{2} \equiv 2 x+a y-z+b=0 \\ &\pi_{3} \equiv x-y+z+a=0 \end{aligned}

pasen por una misma recta.

Para que los tres planos pasen por una misma recta tiene que ocurrir que:

\begin{aligned} &r(M)=r(M')=2 \\ \\ &\left\{\begin{array}{c} x+b y+z=1 \\ 2 x+a y-z=-b \\ x-y+z=-a \end{array}\right. \end{aligned}.

Así bien,

M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & b & 1 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \quad M^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & b & 1 & 1 \\ 2 & a & -1 & -b \\ 1 & -1 & 1 & -a \end{array}\right)

De esta forma calculamos b:

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & 1 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|=0\Rightarrow -3b-3=0 \Rightarrow\quad b=-1 \end{equation*}

Y finalmente, calculamos a:

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -b \\ 1 & 1 & -a \end{array}\right|=0 \Rightarrow\quad 3 a+3=0 \Rightarrow\quad a=-1 \end{equation*}

5 Estudiar para los diferentes valores de a la posición relativa de los siguientes planos:

    \begin{equation*} \begin{aligned} &\pi_{1}=a x+y+z=1 \\ &\pi_{2} \equiv x+a y+z=1 \\ &\pi_{3}=x+y+a z=1 \\ \\ &M=\left(\begin{array}{lll} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right) \quad M^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{array}\right) \end{aligned} \end{equation*}

En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{lll} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a+2 & a+2 & a+2 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right|=(a+2)\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right|= \end{equation*}

Restamos a cada fila la primera:

    \begin{equation*}=(a+2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{array}\right|=(a+2)(a-1)^{2}\\  \Rightarrow a \neq-2, a \neq 1  \Rightarrow  r(M)=r\left(M^{\prime}\right)=3\end{equation*}

Por lo tanto los tres planos se cortan en un punto.

Además si a=1. Las tres ecuaciones son idénticas, por lo cual los tres planos son coincidentes.

En cambio si a=-2

    \begin{equation*} \begin{aligned} &M=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right) \quad M^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\\ &\left|\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right|=0 \Rightarrow \quad\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow \quad r(M)=2\\ &\left|\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow r(M')=3 \end{aligned} \end{equation*}

Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

6 Estudiar las posiciones relativas del plano \pi \equiv x+ay-z=1 y la recta r\equiv \left\{\begin{matrix} 2x+y-az=2\\ x-y-z=a-1 \end{matrix}\right.
según los valores del parámetro a.

Planteamos el sistema de ecuaciones:

     $$ \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} x+a y-z=1 \\ 2 x+y-a z=2 \\ x-y-z=a-1 \end{array}\right. \\ &M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right) \quad M=\left(\begin{array}{cccc} 1 & a & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ 1 & -1 & -1 & a-1 \end{array}\right) \\ &\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right|=0  \Rightarrow \quad a=\left\{\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right. \end{aligned} $$ Si $a \neq 2, a \neq-1$ entonces $r(M)=r(M)=3 $$

La recta corta al plano en un solo punto.

    Si $a=2$ $$ M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right) \quad M=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) $$ $$ \left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \neq 0 \quad r(M)=2 $$ $$ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|=0 \quad r\left(M^{\prime}\right)=2 $$

La recta está contenida en el plano.

    Si $a=-1$ $$ M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right) \quad M=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -2 \end{array}\right) $$ $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right| \neq 0 \quad r(M)=2$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2\end{array}\right| \neq 0 \quad r\left(M^{\prime}\right)=3$

La recta es paralela al plano.

7 Determinar b para que la recta r \equiv \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{b}=\frac{z}{6} no corte en el plano \pi\equiv 2x-4y+5z=6.

Primero recordemos que una recta y plano no se cortan si son paralelos.Para que una recta y un plano sean paralelos el producto escalar del vector director de la recta por el vector normal del plano es igual a 0.

    \begin{equation*}\vec{u}=(3, b, 6) \quad \vec{n}=(2,-4,5)\end{equation*}

    \begin{equation*}\vec{u} \perp \vec{n}\Rightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{n}=0\end{equation*}

    \begin{equation*}(3, b, 6) \cdot(2,-4,5)=6-4 b+30=0 \Rightarrow \quad b=9\end{equation*}

8 Hallar los valores de m y n para que las rectas r\equiv \left\{\begin{matrix} x=5+4\labda\\ y=3+\lambda\\ z=-\lambda \end{matrix}\right.\; y s\equiv \frac{x}{m}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+3}{n}.

Recordemos que si dos rectas son paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales:

    \begin{equation*}\frac{4}{m}=\frac{1}{3}=\frac{-1}{n}\Rightarrow m=12, n=-3 \end{equation*}

.

9 Calcular el valor de k para que las rectas r\equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{3}=\frac{z+1}{5}  y  s\equiv \left\{\begin{matrix} x+2y+z=k\\ 2x-y-z=-2 \end{matrix}\right. se corten en un punto. Encontrar ese punto.

Primero, podemos reescribir la ecuación de la recta r, como la intersección de dos planos:

    \begin{equation*} r \equiv\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=11 \\ 5 x-2 z=7 \end{array}\right. \end{equation*}

Después podemos considerar una de las ecuaciones definitorias de la recta s para construir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y calcular la intersección de los tres planos, es decir:

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=11 \\ 5 x-2 z=7 \\ 2 x-y-z=-2 \end{array} \quad \Rightarrow y=\frac{11}{4}, \quad x=\frac{22}{4}, \quad z=\frac{41}{4}\right. \end{equation*}

Como el punto obtenido debe satisfacer las cuatro ecuaciones de los planos podemos sustituir los valores de x,y y z, en la ecuación x+2y+z=k para determinar k:

    \begin{equation*}\Rightarrow \frac{22}{4}+2 \cdot \frac{11}{4}+\frac{41}{4}=k \Rightarrow \quad k=\frac{85}{4} \end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗