Ejercicios y problemas resueltos de posiciones relativas

1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta con el plano y es paralelo a las rectas:

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.

El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano.

2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

Obtenemos un punto genérico de la recta r.

Obtenemos un punto genérico de la recta s.

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:

Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

Operamos y simplificamos.

3. Hallar el valor de los parámetros a y b para que la recta sea coincidente con el plano .

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman el sistema:

Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:

Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.

4. Calcula los valores de los parámetros a y b para que los planos:

pasen por una misma recta.

Para que los tres planos pasen por una misma recta tiene que ocurrir que: .

5. Estudiar para los diferentes valores de a la posición relativa de los siguientes planos:

En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

Restamos a cada fila la primera:

Los tres planos se cortan en un punto.

Las tres ecuaciones son idénticas, los tres planos son coincidentes.

Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

6. Estudiar las posiciones relativas del plano y la recta según los valores del parámetro a.

La recta corta al plano en un solo punto.

La recta está contenida en el plano.

La recta es paralela al plano.

7. Determinar b para que la recta no corte el plano .

Una recta y un plano no se cortan si son paralelos.

Para que una recta y un plano sean paralelos el producto escalar del vector director de la recta por el vector normal del plano es igual a 0.

8. Hallar los valores de m y n para que la rectas y sean paralelas.

Si dos rectas son paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales.

9. Calcular el valor de k para que las rectas y se corten en un punto. Encontrar ese punto.