1 Hallar el valor de los parámetros a y b para que la recta r\equiv \cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{1}=\cfrac{z+1}{1} sea coincidente con el plano \pi=2x-2y+z+b=0.

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman el sistema:

    $$\begin{cases}x-ay=0,\\ y-z-1=0,\\ 2x-3y+z+b=0. \end{cases}$$

Sea M la matriz del sistema y M' la matriz aumentada

    $$M=\begin{pmatrix}1&-a&0\\ 0&1&-1\\ 2&-3&1\\ \end{pmatrix},\quad M'=\begin{pmatrix}1&-a&0&0\\ 0&1&-1&1\\ 2&-3&1&-b\\ \end{pmatrix}.$$

Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:

    $$r(M)=r(M')=2.$$

Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.

    $$\begin{vmatrix}1&-a&0\\ 0&1&-1\\ 2&-3&1\\ \end{vmatrix}=0\Rightarrow 2a-2=0\Rightarrow a=1.$$

    $$\begin{vmatrix}1&0&0\\ 0&-1&1\\ 2&1&-b\\ \end{vmatrix}=0\Rightarrow b-1=0\Rightarrow b=1.$$

2 Calcula los valores de los parámetros a y b para que los planos:

    $$\begin{align*}&\pi_{1}=x+by+z-1=0,\\ &\pi_{2}=2x+ay-z+b=0,\\ &\pi_{3}=x-y+z+a=0.\end{align*}$$

Formamos el siguiente sistema de ecuaciones con los tres planos:

    $$\begin{cases}x+by+z=1,\\ 2x+ay-z=-b,\\ x-y+z=-a. \end{cases}$$

Sea M la matriz del sistema y M' la matriz aumentada

    $$M=\begin{pmatrix}1&b&1\\ 2&a&-1\\ 1&-1&1\\ \end{pmatrix},\quad M'=\begin{pmatrix}1&b&1&1\\ 2&a&-1&-b\\ 1&-1&1&-a\\ \end{pmatrix}.$$

Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:

    $$r(M)=r(M')=2.$$

Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.

    $$\begin{vmatrix}1&b&1\\ 2&a&-1\\ 1&-1&1\\ \end{vmatrix}=0\Rightarrow -3b-3=0\Rightarrow b=-1.$$

    $$\begin{vmatrix}1&1&1\\ 2&-1&-b\\ 1&1&-a\\ \end{vmatrix}=0\Rightarrow 3a+3=0\Rightarrow a=-1.$$

3 Determinar b para que la recta r\equiv \cfrac{x-1}{3}=\cfrac{y-2}{b}=\cfrac{z}{6} no corte el plano \pi=2x-4y+5z=6.

Para que una recta y un plano sean paralelos el producto escalar del vector director de la recta por el vector normal del plano es igual a 0.

En este caso el vector director y el vector normal son

    $$\vec{u}=(3,b,6),\quad \vec{n}=(2,-4,5).$$

Al realizar el producto escalar obtenemos que:

    $$\vec{u}\cdot\vec{n}=(3,b,6)\cdot(2,-4,5)=6-4b+30=0\Rightarrow b=9.$$

4 Hallar los valores de m y n para que la rectas

    $$r\equiv\begin{cases}x=5+4\lambda,\\ y=3+\lambda,\\ z=-\lambda,\end{cases}$$

y s\equiv \cfrac{x}{m}=\cfrac{y-1}{3}=\cfrac{z+3}{n} sean paralelas.

Si dos rectas son paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales.

Como vectores directores tenemos a

    $$\vec{u}=(4,1,-1),\quad \vec{v}=(m,3,n).$$

Dichos vectores entonces deben cumplir la siguiente relación

    $$\cfrac{4}{m}=\cfrac{1}{3}=\cfrac{-1}{n}.$$

Por simple inspección de los posibles valores obtenemos que

    $$m=12,\quad n=-3.$$

5 Calcular el valor de k para que las rectas r\equiv \cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y+4}{3}=\cfrac{z+1}{5} y

    $$s\equiv\begin{cases}x+2y+z=k,\\ 2x-y-z=-2,\end{cases}$$

se corten en un punto. Encontrar ese punto.

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas,

    $$r\equiv\begin{cases}3x-2y=11,\\ 5x-2z=7,\end{cases}$$

con estas ecuaciones y una de las ecuaciones de la recta s formamos el siguiente sistema

    $$r\equiv\begin{cases}3x-2y=11,\\ 5x-2z=7,\\ 2x-y-z=-2.\end{cases}$$

Si f_{i} denota la i-ésima fila del sistema, entonces al realizar las siguientes operaciones con las filas, 2f_{3}, 2f_{3}-f_{1}, f_{2}-(2f_{3}-f_{1}) obtenemos que

    $$x=\cfrac{22}{4}\quad y=\cfrac{11}{4},\quad z=\cfrac{41}{4}.$$

Reemplazando estos valores en la otra ecuación de la recta s concluimos que

    $$x+2y+z=k\Rightarrow \cfrac{22}{4}+2\left(\cfrac{11}{4}\right)+\cfrac{41}{4}=k\Rightarrow k=\cfrac{85}{4}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗