Determinar la ecuación del plano

 

1 Dadas las rectas:

\displaystyle r\equiv \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1} \hspace{2cm} s \equiv \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{3}

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

 

Recordemos que un plano está definido por 1 punto y 2 vectores.

Resolviendo  \displaystyle 0= \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}  obtenemos que A=(-2,1,-1) es un punto sobre r y por lo tanto, es un punto sobre el plano.

 

Un punto en el plano es: A=(-2,1,-1)

Los vectores directores son: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(3,2,-1)\\ \vec{v}=(-2,-2,3) \end{matrix}\right.

 

Finalmente la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x+2 & 3 & -2\\ y-1 & 2 & -2\\ z+1 & -1 & 3 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} 4x-7y-2z+13=0

 

2 Hallar la ecuación del plano que contienen a las rectas:

\displaystyle  r\equiv \frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+3}{-1} \hspace{2cm} s \equiv \frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+3}{-2}

 

Recordemos que un plano está definido por 1 punto y 2 vectores.Resolviendo  \displaystyle  0= \frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+3}{-1}  obtenemos que A=(-2,1,-3) es un punto sobre r y por lo tanto, es un punto sobre el plano.

Un punto en el plano es: A=(-2,1,-3)

Los vectores generadores son: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(1,3,-1) \ \\ \vec{v}=(-1,4,-2) \end{matrix}\right.

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x+2 & 1 & -1\\ y-1 & 3 & 4\\ z+3 & -1 & -2 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} -2x+3y+7z+14=0

 

3 Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación:

\displaystyle  r\equiv \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{1}

 

De la parametrización obtenemos que un vector director es  \vec{u}=(1,3,1)
Resolviendo  \displaystyle  0=\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{1} obtenemos que B(2,1,-1) es un punto sobre r.
Entonces el otro vector generador está dado por

\overrightarrow{AB}=(2-2,1-5,-1-1)=(0,-4,-2)

 

Un punto en el plano es: A(2, 5, 1)

Los vectores directores son: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(1,3,1) \ \ \ \ \ \ \\ \overrightarrow{AB}=(0,-4,-2) \end{matrix}\right.

 

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-2 & 1 & 0\\ y-5 & 3 & -4\\ z-1 & 1 &-2 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} x-y+2z+1=0

 

4 Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta \displaystyle  \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-4}{3} y es paralelo a la recta \left\{\begin{matrix} x=1+3\lambda\\ y=1+2\lambda\\ z=\lambda \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. .

 

De la ecuación continua de la recta que está contenida en el plano y de la ecuación paremétrica de la recta paralela obtenemos 2 vectores directores del plano.

Un punto en el plano es: A(2, 2, 4)

Los vectores directores son: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(1,-2,3) \ \ \ \ \ \ \\ \vec{v}=(3,2,1) \end{matrix}\right.

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-2 & 1 & 3\\ y-2 & -2 & 2\\ z-4 & 3 &1 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} x-y-z+4=0

 

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Problemas variadas de la ecuación del plano

 

5 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta \displaystyle  r\equiv \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}.

 

Un vector director de este plano será el vector director de la recta r

El otro vector está dado por

\overrightarrow{AB}=(0-1,3-(-2),2-4)=(-1,5,-2)

 

Un punto en el plano es: A(1, −2, 4)

Los vectores directores son: \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}=(4,1,2) \ \ \ \ \ \ \\ \overrightarrow{AB}=(-1,5,-2) \end{matrix}\right.

 

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-1 & -1 & 4\\ y+2 & 5 & 1\\ z-4 & -2 & 2 \end{vmatrix}=0            \Longrightarrow \hspace{1cm} 4x-2y-7z+20=0

 

6 Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.

 

Recordemos que si conocemos los puntos en los que se intersecta un plano con los ejes

A=(a,0,0) \hspace{2cm} B=(0,b,0) \hspace{2cm} C=(0,0,c)

La ecuación canónica del plano está dada por

\displaystyle  \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos de los semiejes positivos desde el origen hasta el punto de intersección son iguales. Entonces la ecuación canónica es:

 \displaystyle  \frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1 \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} x+y+z=a

Para obtener el valor de a sólo basta sustituir las coordenadas del punto P(1, 2, 1) en la ecuación

1+2+1=a \hspace{2cm} a=4

La ecuación del plano es entonces

x+y+z=4

 

7 Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos coordenados.

 

1 Eje OX Punto sobre la recta: O(0,0,0)Vector director: \vec{i}=(1,0,0)

Ecuación continua: \displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}

Ecuación implícita: \left\{\begin{matrix} y=0\\ z=0 \end{matrix}\right.

2 Eje OY

Punto sobre la recta: O(0,0,0)

Vector director: \vec{j}=(0,1,0)

Ecuación continua: \displaystyle \frac{x}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}

Ecuación implícita: \left\{\begin{matrix} x=0\\ z=0 \end{matrix}\right.

3 Eje OZ

Punto sobre la recta: O(0,0,0)

Vector director: \vec{k}=(0,0,1)

Ecuación continua: \displaystyle \frac{x}{0}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}

Ecuación implícita: \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0 \end{matrix}\right.
4 Plano XY
Punto sobre el plano: O(0,0,0)

Los vectores directores: \left\{\begin{matrix} \vec{i}=(1,0,0)\\ \vec{j}=(0,1,0) \end{matrix}\right.

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x & 1 & 0\\ y & 0 & 1\\ z & 0 &0 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} z=0

5 Plano XZ

Punto sobre el plano: O(0,0,0)

Los vectores directores: \left\{\begin{matrix} \vec{i}=(1,0,0)\\ \vec{k}=(0,0,1) \end{matrix}\right.

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x & 1 & 0\\ y & 0 & 0\\ z & 0 &1 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} y=0

6 Plano YZ

Punto sobre el plano: O(0,0,0)

Los vectores directores: \left\{\begin{matrix} \vec{j}=(0,1,0)\\ \vec{k}=(0,0,1) \end{matrix}\right.

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x & 0 & 0\\ y & 1 & 0\\ z & 0 &1 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} x=0

 

8 Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y- z -2 = 0
y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector \vec{u}=(2,4,1)

 

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita

Con el vector director y el punto que está sobre la recta, su ecuación paramétrica es

\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda \ \\ y=-3+4\lambda \\ z=2+\lambda \ \ \ \end{matrix}\right.

2 Sustituimos en la ecuación del plano

Queremos encontrar el punto que se encuentra sobre la recta y sobre el plano, por lo que las coordenadas deben cumplir las ecuaciones que los definen. Usamos las coordenadas paramétricas y las sustituímos en la ecuación del plano

(1+2\lambda)+2(-3+4\lambda)-(2+\lambda)-2=0

Eliminamos los paréntesis

1+2\lambda-6+8\lambda-2-\lambda-2=0

Simplificamos y despejamos \lambda

 9\lambda-9=0 \hspace{2cm} 9\lambda =9 \hspace{2cm} \lambda= 1

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de \lambda

\left\{\begin{matrix} x=1+2\cdot 1 =3\ \\ y=-3+4\cdot 1 =1 \\ z=2+\cdot 1 =3\ \ \ \end{matrix}\right.

Las coordenadas del punto en común son (3,1,3)

9 Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:

\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda -3\mu \\ y=3+2\mu\ \ \ \ \ \ \ \\ z=-1-\mu \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

De la ecuación paramétrica del plano al que es paralelo, obtenemos dos vectores directores

Los vectores directores: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(2,0,0)\\ \vec{v}=(-3,2,-1) \end{matrix}\right.

Un punto sobre el plano: P(1,1,1)

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-1 & 2 & -3\\ y-1 & 0 & 2\\ z-1 & 0 &-1 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} y+2z-3=0

 

10 Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:

\displaystyle  r\equiv \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2} \hspace{2cm} s \equiv \left\{\begin{matrix} 2x-y+z=-2 \ \ \ \ \ \ \\ -x+y+3z=1 \end{matrix}\right.

y que pasa por el punto (1, 1, 2).

 

1 Obtener la ecuación paramétrica de s

De cada una de las rectas paralelas quiero obtener un vector director. Sin embargo, la ecuación implícita de  s no muestra esta información directamente. Para ello debemos obtener su ecuación paramétrica.

s \equiv \left\{\begin{matrix} 2x-y+z=-2 \ \ \ \ \ \ \\ -x+y+3z=1 \end{matrix}\right.

1. Dejamos una de las varibles del otro lado de la ecuación.

\left\{\begin{matrix} 2x-y=-2-z \\ -x+y=1-3z \end{matrix}\right.

2. Usar el método de Cramer para resolver x y y en términos de z

\displaystyle  x=\frac{\begin{vmatrix} -2-z &-1 \\ 1-3z & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}}=1-4z \hspace{1.5cm}  y=\frac{\begin{vmatrix} 2 &-2-z \\ -1 & 1-3z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}}=-7z

3. Obtenemos 2 puntos en la recta asignando 2 valores para z

z=0 \hspace{1cm} x=1 - 4\cdot 0 =1 \hspace{1cm} y=-7\cdot 0=0 \hspace{1cm} A(1,0,0)

z=1 \hspace{1cm} x=1 - 4\cdot 1 =-3 \hspace{1cm} y=-7\cdot 1=-7 \hspace{1cm} B(-3,-7,1)

4. Obtenemos un vector director

\overrightarrow{AB}=(-3-1,-7-0,1-0)=(-4,-7,1)

y así considerando el punto A sobre s

s\equiv \left\{\begin{matrix} x=1-4\lambda\\ y=-7\lambda \ \ \\ z=\lambda \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

2 Obtenemos la ecuación del plano

Un punto en el plano es: A(1, 1, 2)

Los vectores directores son: \left\{\begin{matrix} \vec{u}=(-1,1,2) \ \ \ \\ \vec{v}=(-4,-7,1) \end{matrix}\right.

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -4\\ y-1 & 1 & -7\\ z-2 & 2 &1 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} 15x-7y+11z-30=0

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗