Definición y características de las rectas perpendiculares

 

Dos rectas son perpendiculares si el ángulo que hay entre ellas es de 90^{\circ}. Observa la siguiente figura:

 

Gráfica de dos rectas perpendiculares

 

Rectas en el plano

 

Si las rectas s y r se encuentran en el plano euclidiano, entonces estas rectas serán perpendiculares si

 

1 El producto de las pendientes es -1:

 

\displaystyle m_s m_r = -1

 

que también se puede ver como

 

\displaystyle m_s = -\frac{1}{m_r}

 

2 o, también si los vectores directores \vec{v_s} y \vec{v_r} de las rectas son perpendiculares (es decir, su producto interno es 0):

 

\displaystyle \vec{v_s} \cdot \vec{v_r} = 0

 

Nota: las rectas perpendiculares en el plano siempre se cruzan en un único punto. Sin embargo, que las rectas se crucen no es suficiente para decir que las rectas son perpendiculares.

 

Rectas en el espacio

 

Cuando las rectas s y r pertenecen al espacio, entonces la única forma de poder determinar si son perpendiculares es calculando el producto interno de los vectores directores. Este producto debe ser 0:

 

\displaystyle \vec{v_s} \cdot \vec{v_r} = 0

 

Nota: en el caso de rectas en el espacio es posible que un par de rectas perpendiculares nunca se crucen.

 

Nota: dada una recta s, entonces existe un número infinito de rectas perpendiculares a esta. Si deseamos encontrar una recta r tal que r \perp s, entonces necesitamos más restricciones (por ejemplo, en el plano es suficiente con conocer algún punto por el que pase la recta).

 

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Ejemplos con rectas perpendiculares

 

1 Encuentra la recta s que es perpendicular a r \equiv x + 2y + 3 = 0 y que pasa por el punto A(3, 5).

 

Como estamos trabajando con una recta en el plano, entonces podemos encontrar la pendiente de r:

 

\displaystyle y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \quad \Longrightarrow \quad m_r = -\frac{1}{2}

 

Por tanto, la pendiente de s es

 

\displaystyle m_s = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{-1/2} = 2

 

Así, si utilizamos la fórmula punto-pendiente de la recta, obtenemos

 

\displaystyle y - 5 = 2(x - 3)

 

Por tanto, la ecuación de la recta perpendicular es

 

\displaystyle 2x - y - 1 = 0

 

2 Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a r \equiv 3x - 2y - 1 = 0 que pasa por el punto A(-2, -3).

 

Como la recta r se encuentra en el plano, entonces podemos encontrar su pendiente:

 

\displaystyle y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad m_r = \frac{3}{2}

 

Así, la pendiente de la recta tangente s será

 

\displaystyle m_s = -\frac{1}{m_r} = -\frac{2}{3}

 

Luego, utilizando la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de s, con lo que obtenemos

 

\displaystyle y + 3 = -\frac{2}{3}(x + 2) = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}

 

Por tanto, la ecuación de la recta s es

 

\displaystyle \frac{2}{3}x + y + \frac{13}{3} = 0

 

Notemos que podemos multiplica la ecuación por 3 para evitar las fracciones:

 

\displaystyle 2x + 3y + 13 = 0

 

3 Considera las rectas r \equiv 3x + 5y - 13 = 0 y s \equiv 4x - 3y + 2 = 0. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de interseción de r y s y que es, además, perpendicular a t \equiv 5x - 8y + 12 = 0.

 

Para poder encontrar la recta u que es perpendicular a t, primero debemos encontrar el punto por el que pasa. Esto se hace encontrando la intersección de r y s, la cual podemos encontrar si resolvermos el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases}3x + 5y - 13 = 0\\4x - 3y + 2 = 0\end{cases}

 

Si despejamos y de la segunda ecuación, obtenemos

 

\displaystyle y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \qquad \cdots (1)

 

Luego, sustiuimos en la primera ecuación:

 

\displaystyle 0 = 3x + 5 \left( \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \right) - 13 = \frac{29}{3}x - \frac{29}{3}

 

por lo tanto, x = 1. Luego, sustituyendo en (1), obtenemos que y = 2.

 

Así, la recta pasa por el punto P(1, 2).

 

Luego, la pendiente de t es

 

\displaystyle m_t = \frac{5}{8}

 

por lo que la pendiente de u será

 

\displaystyle m_u = -\frac{1}{m_t} = -\frac{8}{5}

 

Ahora utilizamos la fórmula punto-pendiente:

 

\displaystyle y - 2 = -\frac{8}{5}(x - 1) = -\frac{8}{5}x + \frac{8}{5}

 

Luego multiplicamos por 5 ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle 5y - 10 = -8x + 8

 

por lo que la ecuación de la recta u que es perpendicular a t es

 

\displaystyle 8x + 5y - 18 = 0

 

4 Encuentra el valor de k para que las rectas r \equiv x + 2y - 3 = 0 y s \equiv x - ky + 4 = 0 sean perpendiculares.

 

Esto lo podemos hacer al notar que el producto de las pendientes de las rectas debe ser -1. Por tanto, primero encontramos la pendientes de r,

 

\displaystyle y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \quad \Longrightarrow \quad m_r = -\frac{1}{2}

 

y de s,

 

\displaystyle y = \frac{1}{k}x + \frac{4}{k} \quad \Longrightarrow \quad m_s = \frac{1}{k}

 

Luego, si multiplicamos las pendientes, obtenemos

 

\displaystyle m_s m_r = \frac{1}{k} \left( - \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2k}

 

el cual debe ser -1, es decir,

 

\displaystyle -1 = -\frac{1}{2k}

 

Así, al despejar k, obtenemos 2k = 1 o

 

\displaystyle k = \frac{1}{2}

 

Por lo tanto, k debe valer 1/2 para que las rectas sean perpendiculares.

 

5 Considera las rectas en el espacio dadas por

 

\displaystyle r(t) = (3t + 5, 4t + 2, 2)

y

\displaystyle s(t) = (-4t + 5, 3t + 5, 6t)

 

¿Son perpendiculares s y r?

 

Observa que la recta r la podemos escribir como

 

\displaystyle r(t) = (3t, 4t, 0) + (5, 2, 2) = (3, 4, 0)t + (5, 2, 2)

 

Por tanto, el vector director de r es

 

\displaystyle v_r = (3, 4, 0)

 

De manera similar, s la podemos escribir como

 

\displaystyle s(t) = (-4t, 3t, 6t) + (5, 5, 0) = (-4, 3, 6)t + (5, 5, 0)

 

de manera que el vector director de s es

 

\displaystyle v_s = (-4, 3, 6)

 

Ahora, el producto interno de v_r y v_s es

 

\displaystyle v_r \cdot v_s = 3(-4) + 4(3) + 0(6) = -12 + 12 + 0 = 0

 

Esto es, v_r \cdot v_s = 0, por lo tanto v_r y v_s son perpendiculares.

 

Así, podemos concluir que r y s sí son perpendiculares.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗